Potencias (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Potencias de números racionales
2 Propiedades de las potencias de números racionales
3 Ejercicios
- 3.1 Ejercicios resueltos
- 3.2 Ejercicios propuestos

(Pág. 28)

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Potencias de números racionales

Vamos a estudiar las potencias cuya base es un número racional y cuyo exponente es un número entero. Las potencias cuya base es un número racional se definen y tiene las mismas propiedades que las que tienen como base un número entero. En el siguiente enlace puedes repasar estas últimas.

Ver: Potencias de números enteros

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Definición de potencia de un número racional

La definición de potencia de números racionales es la misma que la de números enteros.

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

$\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}$ (Se lee: " $a\;$ elevado a $b\;$ ")

El número $a\;$ se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
El número $b\;$ se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Por convenio, se establece que: $a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;$ .
Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.

bartolomecossio.com

Potencia de un número racional

Tutorial 1a (6'21") Sinopsis:

Breve repaso de las potencias de base entera y exponente natural.
Potencias de base racional y exponente natural.
Potencias de exponente 0 y 1.

Tutorial 1b (12'45") Sinopsis:

Cómo se calcula la potencia de una fracción. Ejemplos.

Tutorial 2: Potencia de exponente cero (1'35") Sinopsis:

$a^0 = 1 \ , \ \forall a \ne 0\;$ . Ejemplos.

Ejercicios (10'51") Sinopsis:

Escribe en forma de potencia los siguientes productos:

1) $\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2}\;$

2) $\cfrac{-3~}{5} \cdot \cfrac{-3~}{5} \cdot \cfrac{-3~}{5} \cdot \cfrac{-3~}{5}\;$

3) $\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3}\;$

Escribe en forma de una única potencia:

4) $\cfrac{6^7}{6^3}\;$ ; 5) $\cfrac{5^9}{5}\;$ ; 6) $\cfrac{12^2}{12^0}\;$

7) $\cfrac{25}{16}\;$ ; 8) $\cfrac{3^2}{5^2}\;$ ; 9) $\cfrac{9}{4}\;$ ; 10) $\cfrac{1000}{27}\;$

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Potencias de base negativa

Signo de la potencia

Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Signo de una potencia de base racional (3'55") Sinopsis:

Cómo se calcula el signo de la potencia de una fracción.

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Potencias de exponente entero negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}$

Como consecuencia:

Propiedad

$\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)$

Ejemplos:

Potencias de exponente negativo

Tutorial 1 (6'44") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 2 (13'40") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 3 (0'43") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 4 (6'44") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'52") Sinopsis:

$a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 6a (9'22") Sinopsis:

Exponentes negativos. Ejemplos.

Tutorial 6b (4'39") Sinopsis:

Razonando sobre el por qué de la definición de los exponentes negativos.

Ejercicio 1 (4'31") Sinopsis:

Simplifica:

a) $4^{-3} \cdot 4^5\;$

b) $a^{-4} \cdot a^2\;$

c) $\cfrac{12^{-7}}{12^{-5}}\;$

d) $\cfrac{x^{-20}}{x^5}\;$

Ejercicio 2 (5'42") Sinopsis:

Simplifica:

a) $(3^{-8} \cdot 7^3)^{-2}\;$

b) $(a^{-2} \cdot 8^7)^2\;$

c) $\left( \cfrac{2^{-10}}{4^2} \right)\;$

Ejercicio 3 (8'02") Sinopsis:

Halla el valor de:

11) $100^{-1}\;$ ; 12) $100^{-3}\;$ ; 13) $10^{-4}\;$ ; 14) $(10^{-3})^{-1}\;$

15) $(-3)^{-2}\;$ ; 16) $2^{-1}\;$ ; 17) $\left( \cfrac{1}{2} \right)^{-1}\;$ ; 18) $\left( \cfrac{1}{7} \right)^{-1}\;$ ; 19) $\left( \cfrac{-1}{5} \right)^{-1}\;$

Potencias de exponente negativo

Actividad 1 Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre potencias de exponente negativo.

Actividad 3 Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $3^{-5}\;$ b) $5^{-3}\;$ c) $7^{-2}\;$ d) $2^{-7}\;$

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Autoevaluación 1a Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 1b Descripción:

Multiplica y divide potencias (exponentes enteros).

Autoevaluación 1c Descripción:

Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros)

Autoevaluación 1d Descripción:

Potencias de exponentes enteros.

Autoevaluación 2a Descripción:

Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación 2b Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

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Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que las potencias de números enteros.

Ver: Propiedades de las potencias de números enteros

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Propiedades de las potencias de números racionales

Tutorial 1 (27'46") Sinopsis:

Tutorial muy completo que explica las propiedades básicas de las potencias con ejemplos resueltos sencillos y alguno más complejo.

Tutorial 2 (11'54") Sinopsis:

Potencias de exponente entero de números racionales.
Propiedades.
Ejemplos

Tutorial 3a (6'20") Sinopsis:

Producto de potencias de fracciones con la misma base. Ejemplos.

Tutorial 3b (6'01") Sinopsis:

Cociente de potencias de fracciones con la misma base. Ejemplos.

Tutorial 3c (4'56") Sinopsis:

Potencia de otra potencia de una fracción. Ejemplos.

Tutorial 3d (6'08") Sinopsis:

Potencia de un producto de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 4a (3'00") Sinopsis:

Producto de potencias de la misma base: $a^n \cdot a^m=a^{m+n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 4b (2'32") Sinopsis:

Cociente de potencias de la misma base: $a^n : a^m=a^{m-n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 4c (1'58") Sinopsis:

Potencia de otra potencia: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 4d (2'48") Sinopsis:

Potencia de un producto: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\;$ . Ejemplos.

Tutorial 4e (2'48") Sinopsis:

Potencia de un cociente: $\left( \cfrac{a}{b} \right)^n = \cfrac{a^n}{b^n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 5a (8'12") Sinopsis:

Potencias de exponente 1 y 0.
Producto y cociente de potencias de la misma base.
Potencia de un producto y de un cociente.
Potencia de otra potencia.
Ejemplos.

Tutorial 5b (6'26") Sinopsis:

Potencias de base negativa.
Potencias de exponente negativo.
Ejemplos.

Ejemplos 1 (5'40") Sinopsis:

Cálculos con potencias de exponente positivo.

Ejemplos 2 (3'35") Sinopsis:

Cálculos con potencias de exponente negativo.

Ejemplos 3 (6'55") Sinopsis:

Simplificaciones de operaciones con potencias.

Cálculos con potencias de fracciones:

Ejercicio 1 (10'49") Sinopsis:

Calcula:

20) $\left( \cfrac{-2~}{3} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^9$ ; 21) $\left( \cfrac{-3~}{2} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-3~}{2} \right)^3$ ; 22) $\left( \cfrac{3}{5} \right)^6 \cdot \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2}$

23) $\left( \cfrac{1}{4} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^{-3}$ ; 24) $\left( \cfrac{1}{4} \right)^5 \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^{-3}$ ; 25) $\left( \cfrac{2}{3} \right)^7 \cdot \left( \cfrac{2}{3} \right)^{-3}$

26) $\left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-4} \cdot \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^8$ ; 27) $\left( \cfrac{2}{13} \right)^{-7} \cdot \left( \cfrac{2}{13} \right)^9$ ; 28) $\left( \cfrac{1}{9} \right)^7 \cdot \left( \cfrac{1}{9} \right)^{-6}$

Ejercicio 2 (8'36") Sinopsis:

Calcula:

29) $\left( \cfrac{3}{4} \right)^3 : \left( \cfrac{3}{4} \right)^2$ ; 30) $\left( \cfrac{4}{3} \right)^{-2} : \left( \cfrac{4}{3} \right)^4$ ; 31) $\left( \cfrac{3}{7} \right)^6 \cdot \left( \cfrac{3}{7} \right)^4$

32) $\left( \cfrac{2}{5} \right)^{-2} : \left( \cfrac{2}{5} \right)^6$ ; 33) $\left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-5} : \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-3}$ ; 34) $\left( \cfrac{-1~}{7} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-1~}{7} \right)^{-3}$

Ejercicio 3 (10'26") Sinopsis:

Calcula:

35) $\left[ \left( \cfrac{-3~}{7} \right)^2 \right]^3$ ; 36) $\left[ \left( \cfrac{2}{3} \right)^3 \right]^5$ ; 37) $\left[ \left( \cfrac{3}{4} \right)^2 \right]^4$

38) $\left[ \left( \cfrac{2}{5} \right)^3 \right]^2$ ; 39) $\left[ \left( \cfrac{2}{3} \right)^{-2} \right]^{-3}$ ; 40) $\left[ \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2} \right]^{-7}$

41) $\left[ \left( \cfrac{-3~}{4} \right)^{-2} \right]^{-5}$ ; 42) $\left[ \left( \cfrac{-2~}{7} \right)^3 \right]^{-2}$ ; 43) $\left[ \left( \cfrac{-2~}{7} \right)^{-1} \right]^3$

44) $\left[ \left( \cfrac{2}{5} \right)^{-3} \right]^{-2}$ ; 45) $\left[ \left( \cfrac{-2~}{5} \right)^{-3} \right]^{-2}$ ; 46) $\left[ \left( \cfrac{-1~}{8} \right)^{-2} \right]^{-3}$

Ejercicio 4 (5'28") Sinopsis:

Escribe como varias potencias:

47) $\left( \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{6}{5}\right)^2$

48) $\left( \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{6}{25} \cdot \cfrac{5}{9}\right)^3$

49) $\left( \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{5}{7} \cdot \cfrac{8}{6}\right)^3$

50) $\left[ \cfrac{1}{3} \cdot \left( \cfrac{-2~}{5} \right) \cdot \left( \cfrac{-2~}{2} \right) \right]^2$

51) $\left[ \cfrac{2}{3} \cdot \left( \cfrac{-5~}{4} \right) \cdot \cfrac{8}{5} \cdot \left( \cfrac{-5~}{2} \right) \right]^{-3}$

Ejercicio 5 (13'54") Sinopsis:

Escribe como una sola potencia:

52) $\left( \cfrac{2}{5} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{7} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{9}{11} \right)^2$

53) $\left( \cfrac{1}{3} \right)^3 \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^3 \cdot \left( \cfrac{5}{6} \right)^3$

55) $\left( \cfrac{-2~}{3} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{5}{4} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{-3~}{5} \right)^2$

56) $\left( \cfrac{-2~}{5} \right)^{-3} \cdot \left( \cfrac{1}{3} \right)^{-3} \cdot \left( \cfrac{5}{4} \right)^{-3}$

57) $\left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{1}{5} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{3}{4} \right)^{-2}$

58) $\left( \cfrac{2}{4} \right)^{-1} \cdot \left( \cfrac{-3~}{5} \right)^{-1} \cdot \left( \cfrac{5}{7} \right)^{-1}$

Ejercicio 6 (9'43") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\left[\left(\cfrac{3}{5} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{9}{25} \right)^2 \right]^3$

b) $\left[\cfrac{16}{9} \cdot \left(\cfrac{56}{27} \right)^{-1} \right] \cdot \left(\cfrac{14}{9} \right)^3 \cdot \left(\cfrac{7}{12} \right)^{-2}$

Ejercicio 7 (4'05") Sinopsis:

Simplifica $\cfrac{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^5 \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-2}}{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^6}$

Ejercicio 8 (2'08") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \left( \cfrac{1}{3} \right)^{10} : \left( \cfrac{1}{3} \right)^7 \right]^2$

Cálculos con potencias dentro de fracciones:

Ejercicio 1 (10'23") Sinopsis:

Calcula:

59) $\cfrac{3^2 \cdot 3^3 \cdot 3}{3^4}\;$

60) $\cfrac{4^{-1} \cdot 4^{-3}}{4^{-2} \cdot 4^{-5}}\;$

61) $\cfrac{2 \cdot 2^{-3}}{2^{-2}}\;$

62) $\cfrac{(-2)^{-3} \cdot (-2)^5 \cdot (-2)}{(-2)^{-1} \cdot (-2)^3}\;$

Ejercicio 2 (7'23") Sinopsis:

Calcula:

63) $\cfrac{2^2 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5}{2^4 \cdot 2^{-1}}\;$

64) $\cfrac{6^{-1} \cdot (6^5)^2}{6^2 \cdot 6^3}\;$

65) $\cfrac{4^{-1} \cdot 4^{-3}}{4^{-2} \cdot 4^{-4}}\;$

66) $\cfrac{(-3)^{-2} \cdot (-3)^{-3}}{\left[ (-3)^2 \right]^{-2}}\;$

Ejercicio 3 (3'37") Sinopsis:

Simplifica: $\left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2$

Ejercicio 4 (3'42") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3$

Ejercicio 5 (3'40") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}$

Ejercicio 6 (2'47") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}$

Ejercicio 7 (17'31") Sinopsis:

Simplifica y expresa la solución como una única potencia:

a) $\cfrac{9^3 \cdot 27}{81}$

b) $(27^3 \cdot 9^{-1}) : (81 \cdot 9^3)^{-2}$

c) $\cfrac{16 \cdot 8^6 \cdot 2^{-3}}{(2^{-1})^{-3} \cdot 4}$

d) $6^4 \cdot 12 \cdot 9^2$

e) a) $\cfrac{5^2 \cdot (10^3)^2 \cdot 2^{-2}}{40^{-2} \cdot 10 \cdot 25}$

Ejercicio 8 (14'41") Sinopsis:

Simplifica y expresa la solución como una única potencia:

a) $4^4 \cdot 15^4 :6^4$

b) $7^3 \cdot 2^{12}$

c) $6^6 : 2^6 \cdot 81$

d) $10^8 : (8^2 \cdot 2^2)$

e) $6^6 \cdot 8^4 : 9^3$

f) $\cfrac{4^6 \cdot 9^3}{12^5}$

Ejercicio 9 (11'39") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{9^3 \cdot 3^6 \cdot 81^2}{27^5 \cdot 3^2}$

b) $\cfrac{15^6 \cdot 12^4}{10^5 \cdot 3^6 \cdot 81}$

Ejercicio 10 (13'13") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{5^{13} \cdot 5^{17}}{5^{11} \cdot 5^{16} \cdot 5^1}$

b) $\cfrac{(-4)^6 \cdot (-4)^5 \cdot (-4)^{20} \cdot (-4)^3}{(-4)^8 \cdot (-4)^{19} \cdot (-4)^4}$

c) $\left[ \cfrac{( 2^3 \cdot 2^6)^{-2} \cdot (3^4)^3 \cdot 3 }{( 2^6 \cdot 2^{10})^{-1}\cdot (3^6 \cdot 3^2 \cdot 3^5)}\right]^{10}$

Cálculos de diversos tipos:

Ejercicio 1 (10'06") Sinopsis:

Tutorial que explica la potencia de exponente entero (positivo y negativo) con fracciones y operaciones combinadas con multiplicación, división y potencias, trabajando la simplificación previa.

Exponente positivo:

a) $\left( \cfrac{2}{5} \right)^3$ ; b) $\left( \cfrac{-3}{7} \right)^2$ ; c) $\left( \cfrac{-5}{3} \right)^3$ ; d) $\cfrac{4^3}{3}$ ; e) $-\cfrac{5^2}{8}$

Exponente negativo:

f) $\left( \cfrac{2}{5} \right)^{-3}$ ; g) $\left( -\cfrac{3}{7} \right)^{-2}$ ; h) $\left( \cfrac{-5}{3} \right)^{-3}$ ; i) $4^{-3}\;$ ; j) $-\cfrac{2^{-3}}{3}$

Operaciones combinadas:

k) $\cfrac{5^2}{3} \cdot \left( \cfrac{4}{18} \right)^{-1} : 5$ ; l) $\cfrac{6}{10} \cdot \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2} : \left( \cfrac{5}{2} \right)^2 \cdot 2^{-1}$

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Ejercicios

Potencias de racionales

Operaciones y propiedades Descripción:

Actividades en las que podrás aprender a operar con potencias y a aplicar sus propiedades.

Autoevaluación Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO para ver el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena (de forma que la base no sea una potencia) y pulsas el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Actividad Descripción:

Potencia de números racionales con exponente entero. Potencia de exponente negativo. Propiedades de las potencias.
Ejercicios resueltos.

Ejercicios Descripción:

Operaciones con potencias de racionales con exponente entero.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones con potencias de números racionales.

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Ejercicios resueltos

Ejercicios con potencias

Actividades: Potencias

1. Simplifica:

$a)\ (x^2)^5 \quad b)\ x^3 \cdot x^4 \cdot x^2 \quad c)\ (x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a)(x^2)^5 b) x^3*x^4*x^2 c) (x^3)^2*(x^2)^4*x

2. Simplifica dejando en forma de potencias:

$a)\ \cfrac{3^5}{3^2} \quad b)\ \cfrac{5^4}{5^2} \quad c) \cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) factor 3^5/3^2 b) factor 5^4/5^2 c) factor (2^3*5^4)/(2*5^2)

3. Calcula las siguientes potencias con números enteros:

$a)\ (-2)^3 \quad b)\ -2^4 \quad c)\ (-2)^6 \quad d)\ (-1)^{10} \quad e)/ (-1)^{11} \quad f)\ -2^0$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) (-2)^3 b) -2^4 c) (-2)^6 d) (-1)^10 e) (-1)^11 f) -2^0

4. Simplifica:

$a)\ \cfrac{-5^2}{5^5} \quad b)\ \cfrac{0,001}{10^2} \quad c)\ \cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) (-5^2)/(5^5) b) 0,001/(10^2) c) a^3*(b^(-2))^2)/(a^4*b^(-3))

Ejercicios: Operaciones con potencias

Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

$a)\ \frac{6^3 \cdot 8^4}{3^0 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 2^2} \quad b)\ \frac{25^3 \cdot 3^{-2}}{15^4 \cdot 3^{-3} \cdot 5^4} \quad c)\ \frac{10^3 \cdot 16 \cdot 5^2}{100 \cdot 8 \cdot 25}$

Solución:

$a)\ \frac{6^3 \cdot 8^4}{3^0 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 2^2}= \frac{(2 \cdot 3)^3 \cdot (2^3)^4}{1 \cdot 3^3 \cdot 2^6}= \frac{2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^{12}}{3^3 \cdot 2^6}= \frac{2^{15} \cdot 3^3}{3^3 \cdot 2^6}=2^9$

$b)\ \frac{25^3 \cdot 3^{-2}}{15^4 \cdot 3^{-3} \cdot 5^4}= \frac{(5^2)^3 \cdot 3^{-2}}{(3 \cdot 5)^4 \cdot 3^{-3} \cdot 5^4}= \frac{5^6 \cdot 3^{-2}}{3^4 \cdot 5^4 \cdot 3^{-3} \cdot 5^4}= \frac{5^6 \cdot 3^{-2}}{3 \cdot 5^8}= 5^{-2} \cdot 3^{-3}= \frac{1}{5^2 \cdot 3^3}$

$c)\ \frac{10^3 \cdot 16 \cdot 5^2}{100 \cdot 8 \cdot 25}= \frac{(2 \cdot 5)^3 \cdot 2^4 \cdot 5^2}{2^2 \cdot 5^2 \cdot 2^3 \cdot 5^2}= \frac{2^7 \cdot 5^5}{2^5 \cdot 5^4}=2^2 \cdot 5$

(Pág. 28)

Ejercicios resueltos

Reducir a una sola potencia:

a) $5^2 \cdot 5^6 \cdot 5^3$ b) $(2^3)^4\;$

c) $\cfrac{5^8}{5^6}$ d) $\cfrac{14^5}{7^5}$

e) $2^7 \cdot 5^7$ f) $(7^4 \cdot 7^5) : (7 \cdot 7^3)^2$

Solución:

a) $5^{11}\;$ ; b) $2^{12}\;$ ; c) $5^2\;$ ; d) $2^5\;$ ; e) $10^7\;$ ; f) $7\;$ ;

(Pág. 29)

Ejercicios resueltos

1. Expresa como potencia de base 10:

$0.000\,000\,000\,000\,1$

2. Simplifica:

a) $\left( \cfrac{3}{5} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{9}{5} \right)^{-3}$ b) $\left[ \left( \cfrac{5}{2} \right)^{-2} \right]^{-3}$ c) $\cfrac{2^{-6} \cdot 4^3 \cdot 3^4 \cdot 9^{-2}}{2^{-4} \cdot 8 \cdot 9 \cdot 3^{-5}}$

Solución:

1. $10^{-13}\;$

2. a) $\cfrac{1}{45}\;$ ; b) $\cfrac{15625}{64}$ ; c) $54\;$

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Potencias

(Pág. 28-29)

1, 2, 3, 4, 5

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Potencias_%283%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categoría: Ejercicios de Matemáticas

 __TOC__
 (Pág. 28)
-==Potencias de xponente entero==
+==Potencias de números racionales==
-===Potencias de exponente entero positivo===
+Vamos a estudiar las potencias cuya base es un número racional y cuyo exponente es un número entero. Las potencias cuya base es un número racional se definen y tiene las mismas propiedades que las que tienen como base un número entero. En el siguiente enlace puedes repasar estas últimas.
-{{def potencia natural}}
 {{p}}
-{{Casio FX-100MS: Potencias}}
+Ver: [[Números enteros: Potencias y raíces (1º ESO)#Potencias de base un número entero|'''Potencias de números enteros''']]
 {{p}}
-{{potencias de base negativa}}
+===Definición de potencia de un número racional===
+La definición de potencia de números racionales es la misma que la de números enteros.
 {{p}}
+{{Definición de potencia}}
+{{p}}
+{{Videos: Potencia de un racional}}
+===Potencias de base negativa===
+{{Signo de una potencia}}
+{{p}}
+{{Video_enlace_escuela
+|titulo1=Signo de una potencia de base racional
+|duracion=3'55"
+|sinopsis=Cómo se calcula el signo de la potencia de una fracción.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=bhVLuMq_AQA&list=PLw7Z_p6_h3oxskBUdR5nmGa6YMySFNSY-&index=3
+}}
 ===Potencias de exponente entero negativo===
 {{AI potencias exponente entero}}
 {{p}}
-==Propiedades de las potencias con números enteros==
-Las potencias con números enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales:
+==Propiedades de las potencias de números racionales==
+Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que las potencias de números enteros.
+Ver: [[Números enteros: Potencias y raíces (1º ESO)#Propiedades de las potencias de enteros|'''Propiedades de las potencias de números enteros''']]
 {{p}}
 {{Propiedades potencias naturales}}
 {{p}}
-{{Videos ejemplos propiedades potencias enteros}}
+{{Videos ejemplos propiedades potencias racionales}}
-==Actividades y videotutoriales==
-{{AI_cidead
-|titulo1=Potencias de exponente entero
-|descripcion=*Definición de potencia. Potencia de exponente negativo. Propiedades de las potencias.
-*Ejercicios resueltos.
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena1/3quincena1_contenidos_3a.htm
-}}
-{{AI_cidead
-|titulo1=Ejercicios 1
-|descripcion=Operaciones sencillas con potencias
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena1/ejemplo3b1.htm
-}}
-{{AI_cidead
-|titulo1=Ejercicios 2
-|descripcion=Transformar números en potencias
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena1/ejemplo3b2.htm
-}}
-{{AI_cidead
-|titulo1=Ejercicios 3
-|descripcion=Productos y cocientes de potencias de igual base.
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena1/ejemplo3b3.htm
-}}
-{{AI_cidead
-|titulo1=Ejercicios 4
-|descripcion=Potencias de igual exponente.
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena1/ejemplo3b4.htm
-}}
-----
-{{Videotutoriales|titulo=Las propiedades de las potencias|enunciado=
-{{Video_enlace_virtual
-|titulo1=Producto de potencias de la misma base
-|duracion=3'00"
-|sinopsis=<math>a^n \cdot a^m=a^{m+n}\;</math>. Ejemplos.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=SDxP8TZMFnw&index=1&list=PLo7_lpX1yruM4Eki_2jP4vJRepj5j2QS3
-}}
-{{Video_enlace_virtual
-|titulo1=Cociente de potencias de la misma base
-|duracion=2'32"
-|sinopsis=<math>a^n : a^m=a^{m-n}\;</math>. Ejemplos.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zUqq436AzxA&index=2&list=PLo7_lpX1yruM4Eki_2jP4vJRepj5j2QS3
-}}
-{{Video_enlace_virtual
-|titulo1=Potencia de exponente negativo
-|duracion=2'52"
-|sinopsis=<math>a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}\;</math>. Ejemplos.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=HCRNrY6htKs&list=PLo7_lpX1yruM4Eki_2jP4vJRepj5j2QS3&index=3
-}}
-{{Video_enlace_virtual
-|titulo1=Potencia de exponente cero
-|duracion=1'35"
-|sinopsis=<math>a^0 = 1 \ , \ \forall a \ne 0\;</math>. Ejemplos.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2eGY2XDiz0E&list=PLo7_lpX1yruM4Eki_2jP4vJRepj5j2QS3&index=4
-}}
-{{Video_enlace_virtual
-|titulo1=Potencia de otra potencia
-|duracion=1'58"
-|sinopsis=<math>(a^n)^m = a^{n \cdot m}\;</math>. Ejemplos.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=5QNCSxB2D6A&list=PLo7_lpX1yruM4Eki_2jP4vJRepj5j2QS3&index=5
-}}
-{{Video_enlace_virtual
-|titulo1=Potencia de un producto
-|duracion=2'48"
-|sinopsis=<math>(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\;</math>. Ejemplos.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Ab5Mzr-whqM&index=6&list=PLo7_lpX1yruM4Eki_2jP4vJRepj5j2QS3
-}}
-{{Video_enlace_virtual
-|titulo1=Potencia de un cociente
-|duracion=2'48"
-|sinopsis=<math>\left( \cfrac{a}{b} \right)^n = \cfrac{a^n}{b^n}\;</math>. Ejemplos.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=oAcdsF4fO94&list=PLo7_lpX1yruM4Eki_2jP4vJRepj5j2QS3&index=7
-}}
-}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Potencias''|enunciado=
-{{Video_enlace_matemovil
-|titulo1=Ejercicios 1
-|duracion=48'10"
-|sinopsis=Ejercicios con potencias.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=6m-Qzh3NDjk&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=2
-}}
-{{Video_enlace_matemovil
-|titulo1=Ejercicios 2
-|duracion=29'10"
-|sinopsis=Ejercicios con potencias.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=njtfAFTbjNs&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=3
-}}
-{{Video_enlace_matemovil
-|titulo1=Ejercicio 3
-|duracion=5'30"
-|sinopsis=Ejercicio con potencias.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TlcjTy6IkCI&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=4
-}}
-{{Video_enlace_matemovil
-|titulo1=Ejercicio 4
-|duracion=13'12"
-|sinopsis=Ejercicio con potencias.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8NmvyActE5o&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=5
-}}
-{{Video_enlace_matemovil
-|titulo1=Ejercicios 5
-|duracion=11'19"
-|sinopsis=Ejercicios con potencias.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=tqATketubq8&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=6
-}}
-}}
-{{Video_enlace_clasematicas
-|titulo1=Potencias con fracciones
-|duracion=10'06"
-|sinopsis=Tutorial que explica la potencia de exponente entero (positivo y negativo) con fracciones y operaciones combinadas con multiplicación, división y potencias, trabajando la simplificación previa.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=MFqwHDRFj3k&list=PLZNmE9BEzVIlaXmK5LnHeDaCapzj-V198&index=4
+==Ejercicios==
-}}
+{{Actividades potencias de racionales con exponente entero}}
 {{p}}
-{{Wolfram ejercicios potencias}}
-{{p}}
-{{Ejercicios con potencias}}
-==Ejercicios==
 ===Ejercicios resueltos===
 {{ejercicios resueltos con potencias}}
 (Pág. 28)
 {{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos|enunciado=
-:Reducir a una sola potencia:
+Reducir a una sola potencia:
-::a) <math>5^2 \cdot 5^6 \cdot 5^3</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>(2^3)^4\;</math>
+:a) <math>5^2 \cdot 5^6 \cdot 5^3</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>(2^3)^4\;</math>
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+:c) <math>\cfrac{5^8}{5^6}</math>{{b4}}{{b4}}d) <math>\cfrac{14^5}{7^5}</math>
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+:e) <math>2^7 \cdot 5^7</math>{{b4}}{{b4}}f) <math>(7^4 \cdot 7^5) : (7 \cdot 7^3)^2</math>
 |sol= a) <math>5^{11}\;</math>;{{b4}}b) <math>2^{12}\;</math>;{{b4}}c) <math>5^2\;</math>;{{b4}}d) <math>2^5\;</math>;{{b4}}e) <math>10^7\;</math>;{{b4}}f) <math>7\;</math>;
 }}
 {{p}}
 {{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos|enunciado={{p}}
-:1. Expresa como potencia de base 10:
+. Expresa como potencia de base 10:
-::<math>0.000\,000\,000\,000\,1</math>
+:<math>0.000\,000\,000\,000\,1</math>
-:2. Simplifica:
+. Simplifica:
-::a)<math>\left( \cfrac{3}{5} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{9}{5} \right)^{-3} </math>{{b4}}{{b4}}b) <math>\left[ \left( \cfrac{5}{2} \right)^{-2} \right]^{-3}</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>\cfrac{2^{-6} \cdot 4^3 \cdot 3^4 \cdot 9^{-2}}{2^{-4} \cdot 8 \cdot 9 \cdot 3^{-5}}</math>
+:a)<math>\left( \cfrac{3}{5} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{9}{5} \right)^{-3} </math>{{b4}}{{b4}}b) <math>\left[ \left( \cfrac{5}{2} \right)^{-2} \right]^{-3}</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>\cfrac{2^{-6} \cdot 4^3 \cdot 3^4 \cdot 9^{-2}}{2^{-4} \cdot 8 \cdot 9 \cdot 3^{-5}}</math>
 |sol=

Potencias (3ºESO Académicas)

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Potencias de números racionales

Definición de potencia de un número racional

Potencias de base negativa

Potencias de exponente entero negativo

Propiedades de las potencias de números racionales

Ejercicios

Ejercicios resueltos

Ejercicios propuestos

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