Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

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==Teorema de Pitágoras== ==Teorema de Pitágoras==
-Este teorema se debe a [[Pitágoras de Samos]] (aprox. 582 a.C.- 507 a.C.)+{{Teorema de Pitágoras}}
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-<br>+===Cálculo del lado desconocido en un triángulo rectángulo===
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-donde <math>a\;\!</math> y <math>b\;\!</math> son los catetos y <math>c\;\!</math> la hipotenusa.+===Cálculo de la distancia entre dos puntos===
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-----+{{p}}
-En al figura de la derecha tienes una demostración geométrica animada del teorema. Para ver otras, pulsa en [Mostrar].+==Clasificación de un triángulo atendiendo a sus ángulos conocidos sus lados==
-|celda2=[[Imagen:teorema_pitagoras_animado.gif|250px|Demostración geométrica animada]]+{{Clasificar un triángulo atendiendo a sus ángulos conocidos sus lados}}
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- +
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-<table align="center">+
-<tr>+
-<td>Fíjate en la figuar de la derecha y observa como el cuadrado grande, de lado <math>a+b</math>, puede descomponerse en un cuadrado de lado <math>c</math> y 4 triángulos rectángulos, como el de partida, de catetos <math>a</math> y <math>b</math> e hipotenusa <math>c</math>.+
-La superficie del cuadrado grande de lado <math>a+b</math> es:+
-<center><math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\;\!</math></center>+
-La superficie de los cuatro triángulos rectángulos es :+
-<center><math>4 \cdot \cfrac {b \cdot a}{2}=2ab</math></center>+
-Restando el área del cuadrado grande de lado <math>a+b</math> menos las areas de los 4 triángulos rectángulos, se obtiene el área del cuadrado de lado <math>c</math>:+
-<center><math>c^2=(a+b)^2-2ab\;\!</math></center>+
-Desarrollando el cuadrado del binomio:+
-<center><math>c^2=(a^2+b^2+2ab)-2ab\;\!</math></center>+
-De donde obtenemos, simplificando:+
-<center><math>c^2=a^2+b^2 \;\!</math></center></td>+
-<td>[[Imagen:pitagoras.png|300px|right]]</td>+
-</tr>+
-</table>+
-----[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/3_eso/Demostraciones_graficas_teorema_pitagoras/Demostraciones_1.htm#INTRODUCCIÓN Otras demostraciones gráficas]+
-}}+
{{p}} {{p}}
- 
==Ternas pitagóricas== ==Ternas pitagóricas==
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llaman '''ternas pitagóricas''' a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras, por ejemplo 3,4,5. También son ternas pitagóricas sus múltiplos: 6,8,10; 9,12,15 ...+{{Ternas pitagóricas}}
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-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Ternas pitagóricas''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Comprueba las siguientes ternas pitagóricas.+
-|actividad=+
-Comprueba que los números 10, 8 y 6 (el doble de 5, 4 y 3) también verifican la relación anterior. Cualquier múltiplo 5*k, 4*k y 3*k de esos tres números (donde k es un número positivo, cualquiera) también la verifican. En el cuadro siguiente varía los valores del parámetro k y comprueba que el triángulo cuyos lados tienen esas medidas siempre es rectángulo y que efectivamente se verifica la relación anterior. Observa que k puede tomar valores decimales.+
- +
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- +==Ejercicios y problemas==
-==Aplicaciones del teorema de Pitágoras==+{{Cálculo de medidas con el teorema de Pitágoras}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Aplicaciones del teorema de Pitágoras''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
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-Usaremos el teorema de Pitágoras:+
- +
-<center><math>c^2=a^2+b^2;\ c^2=4^2+5^2;\ c^2=16+25=13;\ c=\sqrt {41}=6,4</math></center>+
- +
-Compruébalo en la escena siguiente:+
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-|enunciado=2. Conocido un cateto a=5 cm. y la hipotenusa c=8 cm., calcular el otro cateto, b.+
-|actividad=+
-Usaremos, de nuevo, el teorema de Pitágoras:+
- +
-<center><math>c^2=a^2+b^2;\ 8^2=5^2+b^2;\ b^2=64-25=39;\ b=\sqrt {39}=6,25</math></center>+
- +
-Compruébalo en la escena siguiente:+
- +
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-</iframe></center>}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=3. Halla la altura de un triángulo equilatero de 4 cm. de lado.+
-|actividad=+
-Resuélvelo en tu cuaderno y compruébalo en la siguiente escena. Para ello tendrás que mover los vértices del triángulo y usar "la regla" (segmento negro) para medir la altura.+
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- +
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-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=4. Halla la altura de un triángulo isósceles cuyos lados miden c=5 cm. y a=b=4 cm.+
-|actividad=+
-Resuélvelo en tu cuaderno y compruébalo en la siguiente escena. Para ello tendrás que mover los vértices del triángulo y usar "la regla" (segmento negro) para medir la altura.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian9_5.html+
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- +[[Categoría: Matemáticas|Pitágoras]][[Categoría: Geometría|Pitágoras]]
-==Clasificar un triángulo atendiendo a sus ángulos, conocidos sus lados==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-En un triángulo cualquiera, si llamamos <math>a</math> al lado mayor, y a los otros dos <math>b</math> y <math>c</math>, se cumple que:+
- +
-* Si <math>a^2 > b^2 + c^2</math>, el triángulo es obtusángulo+
-* Si <math>a^2 = b^2 + c^2</math>, el triángulo es rectángulo+
-* Si <math>a^2 < b^2 + c^2</math>, el triángulo es acutángulo+
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-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Clasifica los siguientes triángulos:+
-|actividad='''Clasifica los siguientes triángulos, atendiendo a sus ángulos:'''+
- +
-'''a) Triángulo de lados 4, 5 y 2.<br>b) Triángulo de lados 5, 3 y 4.<br>c) Triángulo de lados 5, 3 y 3.'''+
- +
-Primero, en tu cuaderno, haz los cálculos necesarios para contestar a las preguntas. A continuación, en la siguiente escena, mueve los puntos para cambiar el valor de los lados y comprueba los resultados que has obtenido.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian9_3.html+
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Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]
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Teorema de Pitágoras

ejercicio

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:


a^2+b^2=c^2\;\!


donde a\;\! y b\;\! son los catetos y c\;\! la hipotenusa.


Este teorema se debe a Pitágoras de Samos (aprox. 582 a.C.- 507 a.C.)

Demostración geométrica animada

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras

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Cálculo del lado desconocido en un triángulo rectángulo

ejercicio

Procedimiento

A partir de la fórmula del teorema de Pitágoras:

a^2+b^2=c^2\;\!

podemos despejar cualquiera de los lados:

c=\sqrt{a^2+b^2} \qquad a=\sqrt{c^2-b^2} \qquad b=\sqrt{c^2-a^2}

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Cálculo de la distancia entre dos puntos

Conocidas las coordenadas de dos puntos del plano, el teorema de Pitágoras nos permite calcular la distancia entre ambos:

ejercicio

Proposición

La distancia entre dos puntos P(x_1,y_1)\, y Q(x_2,y_2)\, es igual a:

d(PQ)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

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Clasificación de un triángulo atendiendo a sus ángulos conocidos sus lados

En un triángulo cualquiera, si llamamos a al lado mayor, y a los otros dos b y c, se cumple que:

  • Si a2 > b2 + c2, el triángulo es obtusángulo
  • Si a2 = b2 + c2, el triángulo es rectángulo
  • Si a2 < b2 + c2, el triángulo es acutángulo

[editar]

Ternas pitagóricas

  • Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras.
  • Las ternas cuyos tres números son primos entre sí, es decir, tales que m.c.d(a,b,c)=1, reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas.

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Generando ternas pitagóricas

ejercicio

Proposición

Si (a,b,c)\; es una terna pitagórica entonces también lo es (ka,kb,kc)\;, con k \in \mathbb{N}.

ejercicio

Proposición

  • \{ (a,b,c) \ / \ a=k^2+1 \, ; \ b=2k\, ; \ c=k^2-1 \, , \ k \in \mathbb{N} \} son ternas pitagóricas.
  • \{ (a,b,c) \ / \ a=p^2-q^2 \, ; \ b=2pq \, ; \ c=p^2+q^2 \,, \ p>q \} son ternas pitagóricas.

ejercicio

Proposición

Si x_{n-1}, \, x_n, \, x_{n+1}, \, x_{n+2} \; son cuatro términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, entonces los siguientes números

a_1 = x_{n-1} x_{n+2}\, ; \ \ a_2= 2x_n x_{n+1}\, ; \ \ a_3=\sqrt{a_1^2 +a_2^2}

forman una terna pitagórica.

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Ejercicios y problemas

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