Estudio y representación de funciones (1ºBach)
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==Estudio y representación gráfica de funciones== | ==Estudio y representación gráfica de funciones== | ||
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado= | + | {{Estudio y representación gráfica de funciones (1ºBach)}} |
- | En el estudio y representación gráfica de una función, f(x),tendremos que determinar los siguientes apartados: | + | |
- | #'''Dominio''' de definición de la función f(x). | ||
- | #'''Puntos de corte''' con los ejes de coordenadas, especialmente con el eje de abscisas (eje X). Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0). | ||
- | #'''Signo''' de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad. Éstos determinarar una serie de zonas en el dominio de la función en los que ésta tiene signo constante. Tomando un punto cualquiera de cada zona y sustituyéndolo en f(x), tendremos el signo de la función en cada zona. | ||
- | #'''Puntos singulares''' de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f'(x)=0. | ||
- | #'''Intervalos de crecimiento y decrecimiento''' de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f'(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x). | ||
- | #'''Asíntotas y ramas infinitas''' de f(x): se estudió en temas anteriores. | ||
- | #'''Simetrías''': ver si f(x) es par (f(x)=f(-x)) o impar (f(x)=-f(-x)). | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
- | {{ejemplo2 | ||
- | |titulo=Estudio y representación gráfica de funciones | ||
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- | |titulo1=Signo de una función | ||
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- | |sinopsis=A la hora de representar la gráfica de la función "f", el estudio del signo del número real f(x) nos permite conocer la posición de la gráfica respecto al eje de abcisas. | ||
- | |||
- | *La gráfica está por encima del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es positivo. | ||
- | *La gráfica está por debajo del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es negativo. | ||
- | *La gráfica toca al eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) = 0. | ||
- | |||
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/34-signo-de-una-funcion-4#.WGOh0EZ9U6c | ||
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- | {{Video_enlace_fonemato | ||
- | |titulo1=Simetrías de una función | ||
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- | *La función "f" se dice "par" si f(-x) = f(x), y se dice "impar" si f(-x) = -f(x). | ||
- | :*Si "f" es par, su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas. | ||
- | :*Si "f" es impar, su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas. | ||
- | :*Obvio: si Dom f. no es simétrico respecto al punto "0", la función "f" no es par ni impar. | ||
- | |||
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- | {{Video_enlace_fonemato | ||
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- | }} | ||
- | {{Video_enlace_fonemato | ||
- | |titulo1=Contacto de una curva con los ejes | ||
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- | |sinopsis=Los puntos en que la gráfica de la función "f" "toca" al eje de abcisas (cortándolo o no) son las soluciones de la ecuación f(x) = 0. | ||
- | La gráfica de "f" corta al eje de ordenadas en f(0). | ||
- | |||
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real/37-contacto-de-una-curva-con-los-ejes#.WGOf9UZ9U6c | ||
- | }} | ||
- | {{Video_enlace_fonemato | ||
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==Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas== | ==Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas== | ||
Línea 113: | Línea 30: | ||
==Estudio y representación gráfica de funciones racionales== | ==Estudio y representación gráfica de funciones racionales== | ||
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado= | + | {{Estudio y representación gráfica de funciones racionales (1ºBach)}} |
- | En el estudio y representación gráfica de una función racional, <math>f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}</math>,tendremos que determinar los siguientes apartados: | + | |
- | #'''Dominio''': <math>\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R} \ / \ Q(x)=0 \}</math>. | ||
- | #'''Puntos de corte''': Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver la ecuación polinómica P(x)=0 usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0). | ||
- | #'''Signo''' de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad, que son los puntos donde se anula el denominador, es decir, donde Q(x)=0. | ||
- | #'''Puntos singulares''' de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f'(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica. | ||
- | #'''Intervalos de crecimiento y decrecimiento''' de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f'(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x). | ||
- | #'''Asíntotas y ramas infinitas''': | ||
- | ##A.V.: Son "candidatos" a asíntota vertical los puntos donde Q(x)=0. Habrá que estudiar el límite de f(x) cuando x tiende a esos puntos candidatos. Aquellos para los que ese límite sea + o - infinito serán puntos con A.V. | ||
- | ##A.H.: Cuando el grado de Q(x) sea mayor o igual que el grado de P(x) tendremos asíntota horizontal. | ||
- | ##A.O.: Cuando el grado de P(x) sea igual al grado de Q(x) más uno, tendremos asíntota oblicua. | ||
- | ##Cuando no haya A.H. ni A.O. tendremos ramas infinitas. | ||
- | #'''Simetrías''': ver si f(x) es par o impar. | ||
- | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{ejemplo | ||
- | |titulo=Ejercicios resueltos: ''Estudio y representación gráfica de funciones racionales'' | ||
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- | :a) <math>y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}</math>. | ||
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- | |sol=Utiliza la siguiente escena para comprobar los resultados. | ||
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- | |descripcion=En la siguiente escena puedes ver la representación gráfica de distintas funciones. | ||
- | |enlace=[https://ggbm.at/HpscNJJu Representación gráfica de funciones] | ||
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- | {{p}} | + | |titulo=Ejercicios propuestos: ''Estudio y representación de funciones racionales'' |
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Línea 187: | Línea 57: | ||
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Revisión actual
Tabla de contenidos[esconder] |
Estudio y representación gráfica de funciones
En este tema vamos a hacer uso de toda la artillería de la que disponemos y que hemos ido viendo a lo largo de los temas anteriores.
Procedimiento
En el estudio y representación gráfica de una función, f(x), tendremos que considerar los siguientes apartados:
- Dominio de definición.
- Puntos de corte con los ejes de coordenadas, especialmente con el eje de abscisas (eje X). Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
- Signo: para su estudio usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad. Éstos determinaran una serie de intervalos en el dominio de la función en los que ésta tiene signo constante. Tomando un punto cualquiera de cada zona y sustituyéndolo en f(x), tendremos el signo de la función en cada zona.
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos: hallando los puntos singulares ( f '(x)=0 ) para estudiar el signo de f '(x).
- Concavidad* de f(x): a partir de los puntos singulares de f '(x) y estudiando el signo de f "(x). Es como estudiar el crecimiento de f '(x).
- Asíntotas y ramas infinitas.
- Simetrías: ver si f(x) es par ( f(x) = f(-x) ) o impar ( f(x) = - f(-x) ).
(*) El estudio de concavidad se verá en 2º de bachillerato, aunque se verá como se hace en algún vídeo.
Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas
Procedimiento
En el estudio y representación gráfica de una función polinómica, f(x),tendremos que determinar los siguientes apartados:
- Dominio:
.
- Puntos de corte: Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver una ecuación polinómica usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
- Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos sólo los puntos de corte ya que una función polinómica no tiene discontinuidades.
- Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f '(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica.
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares de f(x) y estudiando el signo de f '(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
- Concavidad* de f(x): a partir de los puntos singulares de f '(x) y estudiando el signo de f "(x). Es como estudiar el crecimiento de f '(x).
- Asíntotas y ramas infinitas: Las funciones polinómicas no tienen ningún tipo de asíntotas. Tan sólo habrá que estudiar el límite cuando x tiende a +/- infinito.
- Simetrías: ver si f(x) es par o impar.
(*) El estudio de concavidad se verá en 2º de bachillerato, aunque se verá como se hace en algún vídeo.
Ejercicios resueltos: Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas
Estudia y representa:
- a)
.
- b)
.
- c)
.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Estudio y representación de funciones polinómicas |
Estudio y representación gráfica de funciones racionales
Procedimiento
En el estudio y representación gráfica de una función racional, ,tendremos que determinar los siguientes apartados:
- Dominio:
.
- Puntos de corte: Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver la ecuación polinómica P(x)=0 usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
- Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad, que son los puntos donde se anula el denominador, es decir, donde Q(x)=0.
- Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f '(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica.
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f '(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
- Concavidad* de f(x): a partir de los puntos singulares de f '(x) y estudiando el signo de f "(x). Es como estudiar el crecimiento de f '(x).
- Asíntotas y ramas infinitas:
- A.V.: Son "candidatos" a asíntota vertical los puntos donde Q(x)=0. Habrá que estudiar el límite de f(x) cuando x tiende a esos puntos candidatos. Aquellos para los que ese límite sea + o - infinito serán puntos con A.V.
- A.H.: Cuando el grado de Q(x) sea mayor o igual que el grado de P(x) tendremos asíntota horizontal.
- A.O.: Cuando el grado de P(x) sea igual al grado de Q(x) más uno, tendremos asíntota oblicua.
- Cuando no haya A.H. ni A.O. tendremos ramas infinitas.
- Simetrías: ver si f(x) es par o impar.
(*) El estudio de concavidad se verá en 2º de bachillerato, aunque se verá como se hace en algún vídeo.
Ejercicios resueltos: Estudio y representación gráfica de funciones racionales
Estudia y representa:
- a)
.
- b)
.
- c)
.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Estudio y representación de funciones racionales |