Lenguaje algebraico. Utilidad (1º ESO)

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-(Pág. 170)+{{Cita: la belleza del álgebra}}
-==Uso de letras en lugar de números==+
-{{caja_Amarilla|texto=Las matemáticas muchas veces requieren trabajar con números cuyo valor es desconocido o variable. En tales casos, los números se representan mediante letras y se operan con ellas utilizando las mismas propiedades que cuando trabajamos con números. A esto se le llama traducir al '''lenguaje algebraico'''. De su estudio se encarga la parte de las matemáticas denominada '''álgebra'''.+
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-{{Video_enlace_carreon+==Introducción==
-|titulo1=Letras en lugar de números+{{Introducción : expresiones algebraicas}}
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-|sinopsis=Letras en lugar de números. El lenguaje algebraico te permitirá plantear ecuaciones para resolver problemas.+
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-{{AI_enlace|titulo1=Exposición: ''Traducir al lenguaje algebraico''+{{Introducción: Utilidad del álgebra}}
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-En los siguientes ejemplos vamos a ver algunas situaciones en la que tenemos que recurrir a expresar los números mediante letras: 
-{{p}} 
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido= 
-*'''Expresión de propiedades o reglas''' 
-Por ejemplo, la ''propiedad conmutativa del producto'' de dos números dice que "el orden de los factores no altera el producto". Ésto lo podemos expresar usando letras, de la siguiente manera: 
-<center><math>a \cdot b = b \cdot a \;</math></center>+(Pág. 170)
-La ''regla de la división'' dice que "el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto". Ésto lo podemos expresar usando letras, de la siguiente manera:+==Uso de letras en lugar de números==
- +{{Uso de letras en lugar de números}}
-<center><math>D= d \cdot c +r \;</math></center>+
- +
-*'''Expresión de fórmulas'''+
-Por ejemplo, la fórmula del área del triángulo dice que "el área de un triángulo es igual a la base por la altura partido por 2", que podemos expresar con letras:+
- +
-<center><math>A= \cfrac{b \cdot a}{2}\;</math></center>+
-{{p}}+
- +
-*'''Generalización de relaciones numéricas'''+
-Si consideramos la siguiente sucesión numérica+
- +
-<center><math>1, \ 4, \ 9, \ 16, \ 25, \cdots \;</math></center>+
- +
-la expresión {{sube|porcentaje=25%|contenido=<math>n^2\;</math>}} sirve para generalizar sus términos, de manera que, si yo quiero obtener el término que ocupa el séptimo lugar, tan solo tendré que sustituir la letra {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>n\;</math>}} por el número 7, +
- +
-<center><math>7^2 = 49\;</math></center>+
-*'''Expresión de números desconocidos y planteamiento de ecuaciones'''+
-Por ejemplo, "la suma de dos números consecutivos es igual a 21" lo podemos expresar+
- +
-<center><math>x+(x+1)=21\;</math></center>+
- +
-donde estamos utilizando la letra <math>x\;</math> para representar al primer número y la expresión <math>x+1\;</math> para representar al segundo número.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=Expresiones algebraicas|enunciado=+
-{{Video_enlace_tutomate+
-|titulo1=Ejemplos 1+
-|duracion=5'04"+
-|sinopsis=Paso de lenguaje habitual a lenguaje algebraico y viceversa.+
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-{{Video_enlace_carreon+
-|titulo1=Ejemplos 2+
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-|sinopsis=Como se traducen expresiones del lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas y su uso en el planteamiento de ecuaciones.+
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-{{Video_enlace_julioprofe+
-|titulo1=Ejemplos 3+
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-|sinopsis=Como se traducen expresiones del lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas y su uso en el planteamiento de ecuaciones.+
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-{{AI_enlace|titulo1=Autoevaluación: ''Traducir al lenguaje algebraico''+
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Tabla de contenidos

     "La Filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante nuestros ojos; quiero decir, el Universo; pero no se puede entender si antes no aprendemos su lenguaje y distinguimos los símbolos en el que está escrito. Este libro está escrito en el lenguaje de las matemáticas ... sin las cuales uno deambula vanamente en un obscuro laberinto."

Galileo Galilei

Introducción

Hasta ahora nos ha bastado con utilizar números (enteros, fracciones, decimales...) y operaciones entre ellos para resolver multitud de problemas. Sin embargo, el lenguaje matemático no puede limitarse a números y operaciones. En muchas ocasiones necesitaremos pasar de lo concreto a lo general (abstracción) para intentar resolver no sólo un problema, sino un conjunto de problemas del mismo tipo. Muchas situaciones requieren manejar una infinidad de números al mismo tiempo, y como mencionarlos a todos, uno a uno, no es una opción, necesitamos una herramienta que nos facilite la tarea.

Sello ruso representando a Muhammad ibn Musa al-JwarizmiWikipedia
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Sello ruso representando a Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi

Wikipedia

Los primeros matemáticos que intentaron describir métodos generales para la resolución de problemas se apoyaron en el lenguaje convencional. La idea era redactar los pasos para la solución de un problema utilizando las palabras del idioma propio. Fíjate en el siguiente extracto de una traducción del Libro del Álgebra, escrito por el matemático Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, que vivió entre finales del siglo VIII y comienzos del siglo IX:

"Un hombre muere y deja dos hijos, y lega a un amigo un tercio del capital. Y deja diez dirhams de capital y una deuda de diez dirhams a uno de sus hijos. La solución está en tomar como cosa lo extraído de la deuda, y lo sumamos sobre el capital (que es diez dirhams), y tenemos diez más la cosa. Después pones aparte un tercio (porque legó un tercio de su capital), que es tres dirhams más un tercio más un tercio de la cosa..."

El fragmento está incompleto, pero más allá de eso, resulta difícil seguir su explicación, pese a que el objetivo de la obra era facilitar la transmisión de los métodos de resolución de problemas conocidos en la época. Sí puedes apreciar que utiliza varias veces la palabra "cosa" para referirse a lo que se quiere calcular. Es lo que nosotros llamamos en la actualidad incógnita o variable. Esta obra fue uno de los primeros pasos en la creación del lenguaje algebraico, que ha cambiado mucho a lo largo del tiempo, hasta llegar a lo que es hoy en día, un lenguaje universal (no depende de traducciones, es igual en cualquier parte del mundo) y conciso (elimina todos lo elementos superfluos, propios del lenguaje habitual, y se centra en los elementos necesarios para resolver el problema que corresponda).

Es difícil definir el lenguaje algebraico con pocas palabras. Podríamos decir, por ejemplo, que es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la transmisión de ideas matemáticas. Es una definición demasiado amplia, pero lo que realmente nos interesa es aprender a usarlo. Muchos de esos símbolos y reglas ya los conoces (los números, el orden de las operaciones, las propiedades de las operaciones, ...) y otros los estudiaremos en breve (monomios, polinomios, operaciones con polinomios, ...). (Extraido de aquí)

Empecemos el tema con un toque divertido:

(Pág. 170)

Uso de letras en lugar de números

Muchas veces, las Matemáticas requieren trabajar con números cuyo valor es desconocido o variable. En tales casos, los números se representan mediante letras y se operan con ellas utilizando las mismas reglas que cuando trabajamos con números. Estamos traduciendo al "lenguaje de las Matemáticas".

Llamaremos lenguaje algebraico al conjunto de símbolos (números, letras, símbolos de operación) y reglas que se utilizan para la transmisión de ideas matemáticas. De su estudio se encarga la parte de las matemáticas denominada álgebra.

Cómo se traduce al lenguaje algebraico

Al pasar del lenguaje convencional al lenguaje algebraico, debemos tener en cuenta algunas cosas:

  • Los elementos desconocidos o aquellos que no tienen un valor fijo (variables) se representan mediante letras, mientras que aquellos que tienen su valor completamente determinado (constantes) se suelen expresar con números.
  • Si un enunciado habla de dos números que pueden ser diferentes, es necesario usar una letra distinta para cada uno. Cuando una letra aparece repetida en un mismo enunciado, se entiende que son varias referencias a un mismo número.
  • Las relaciones entre números y variables se expresan mediante operaciones matemáticas.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Traducir al lenguaje algebraico


Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones del lenguaje habitual:

a) El doble de un número menos cuatro unidades.
b) La mitad de sumarle 5 al triple de un número.
c) El perímetro y el área de un terreno rectangular.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Uso de letras en vez de números


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