Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

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Tabla de contenidos

1 Teorema de Pitágoras
2 Ternas pitagóricas
3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras
4 Clasificar un triángulo atendiendo a sus ángulos, conocidos sus lados

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual al cuadrado de la suma de los catetos

$a^2+b^2=c^2\;\!$

donde $a\;\!$ y $b\;\!$ son los catetos y $c\;\!$ la hipotenusa.

En al figura de la derecha tienes una demostración geométrica animada del teorema. Para ver otras, pulsa en [Mostrar].

Demostración:

Fíjate en la figuar de la derecha y observa como el cuadrado grande, de lado

a + b

, puede descomponerse en un cuadrado de lado

c

y 4 triángulos rectángulos, como el de partida, de catetos

a

b

e hipotenusa

c

La superficie del cuadrado grande de lado $a + b$ es:

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\;\!$

La superficie de los cuatro triángulos rectángulos es :

$4 \cdot \cfrac {b \cdot a}{2}=2ab$

Restando el área del cuadrado grande de lado $a + b$ menos las areas de los 4 triángulos rectángulos, se obtiene el área del cuadrado de lado $c$ :

$c^2=(a+b)^2-2ab\;\!$

Desarrollando el cuadrado del binomio:

$c^2=(a^2+b^2+2ab)-2ab\;\!$

De donde obtenemos, simplificando:

$c^2=a^2+b^2 \;\!$

Otras demostraciones gráficas

Ternas pitagóricas

Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras, por ejemplo 3,4,5. También son ternas pitagóricas sus múltiplos: 6,8,10; 9,12,15 ...

Actividades Interactivas: Ternas pitagóricas

1. Comprueba las siguientes ternas pitagóricas.

Actividad:

Comprueba que los números 10, 8 y 6 (el doble de 5, 4 y 3) también verifican la relación anterior. Cualquier múltiplo 5*k, 4*k y 3*k de esos tres números (donde k es un número positivo, cualquiera) también la verifican. En el cuadro siguiente varía los valores del parámetro k y comprueba que el triángulo cuyos lados tienen esas medidas siempre es rectángulo y que efectivamente se verifica la relación anterior. Observa que k puede tomar valores decimales.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Actividades Interactivas: Aplicaciones del teorema de Pitágoras

1. Conocidos los catetos: a=4 cm. y b=5 cm., calcular la hipotenusa, c.

Actividad:

Usaremos el teorema de Pitágoras:

$c^2=a^2+b^2;\ c^2=4^2+5^2;\ c^2=16+25=13;\ c=\sqrt {41}=6,4$

Compruébalo en la escena siguiente:

2. Conocido un cateto a=5 cm. y la hipotenusa c=8 cm., calcular el otro cateto, b.

Actividad:

Usaremos, de nuevo, el teorema de Pitágoras:

$c^2=a^2+b^2;\ 8^2=5^2+b^2;\ b^2=64-25=39;\ b=\sqrt {39}=6,25$

Compruébalo en la escena siguiente:

3. Halla la altura de un triángulo equilatero de 4 cm. de lado.

Actividad:

Resuélvelo en tu cuaderno y compruébalo en la siguiente escena. Para ello tendrás que mover los vértices del triángulo y usar "la regla" (segmento negro) para medir la altura.

4. Halla la altura de un triángulo isósceles cuyos lados miden c=5 cm. y a=b=4 cm.

Actividad:

Resuélvelo en tu cuaderno y compruébalo en la siguiente escena. Para ello tendrás que mover los vértices del triángulo y usar "la regla" (segmento negro) para medir la altura.

Clasificar un triángulo atendiendo a sus ángulos, conocidos sus lados

En un triángulo cualquiera, si llamamos $a$ al lado mayor, y a los otros dos $b$ y $c$ , se cumple que:

Si $a 2 > b 2 + c 2$ , el triángulo es obtusángulo
Si $a 2 = b 2 + c 2$ , el triángulo es rectángulo
Si $a 2 < b 2 + c 2$ , el triángulo es acutángulo

Actividad Interactiva: Clasificar un triángulo conocidos sus lados

1. Clasifica los siguientes triángulos:

Actividad:

Clasifica los siguientes triángulos, atendiendo a sus ángulos:

a) Triángulo de lados 4, 5 y 2.
b) Triángulo de lados 5, 3 y 4.
c) Triángulo de lados 5, 3 y 3.

Primero, en tu cuaderno, haz los cálculos necesarios para contestar a las preguntas. A continuación, en la siguiente escena, mueve los puntos para cambiar el valor de los lados y comprueba los resultados que has obtenido.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Teorema_de_Pit%C3%A1goras._Aplicaciones"

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 donde <math>a\;\!</math> y <math>b\;\!</math> son los catetos y <math>c\;\!</math> la hipotenusa.
-|celda2=[[Imagen:teorema_pitagoras_animado.gif|200px|Demostración geométrica animada]]
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+En al figura de la derecha tienes una demostración geométrica animada del teorema. Para ver otras, pulsa en [Mostrar].
+|celda2=[[Imagen:teorema_pitagoras_animado.gif|250px|Demostración geométrica animada]]
 }}

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Ternas pitagóricas

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