Raíces
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{{p}} | {{p}} | ||
+ | {{Raíces}} | ||
- | ==Raíces== | ||
- | Sabemos que <math>3^2 = 9\;\!</math>. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como <math>\sqrt{9}=3</math> y se lee "3 es igual a la raíz cuadrada de 9". | ||
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- | En general:{{p}} | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
- | *Se define la '''raíz cuadrada''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^2 =a\;\!</math>. | ||
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- | Y escribimos: | ||
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- | <center><math>b=\sqrt{a}</math></center> | ||
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- | *Se define la '''raíz cúbica''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^3 =a\;\!</math>. | ||
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- | Y escribimos: | ||
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- | <center><math>b=\sqrt[3]{a}</math></center> | ||
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- | |||
- | *Igualmente, se define '''raíz n-sima''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^n =a\;\!</math>. <math>(n \in \mathbb{N},\ n>1)</math> | ||
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- | Y escribimos: | ||
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- | <center><math>b=\sqrt[n]{a}</math></center> | ||
- | |||
- | El número <math>a\;\!</math> se llama '''radicando''', el número <math>n\;\!</math>, '''índice''' y <math>b\;\!</math> es la '''raíz'''. | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto='''Propiedades: ''' | ||
- | *<math>\sqrt[n]{1}=1</math> y <math>\sqrt[n]{0}=0</math>, para cualquier valor del índice <math>n\;\!</math>. | ||
- | *Si <math>a>0\;\!</math>, <math>\sqrt[n]{a}</math> existe cualquiera que sea el índice <math>n\;\!</math>. | ||
- | *Si <math>a<0\;\!</math>, <math>\sqrt[n]{a}</math> sólo existe si el índice <math>n\;\!</math> es impar. | ||
- | *Si el índice <math>n\;\!</math> es par y el radicando <math>a>0\;\!</math>, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando <math>a\;\!</math>. | ||
- | }}{{p}} | ||
- | {{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido= | ||
- | #<math>\sqrt[3]{1}=1</math>. | ||
- | #<math>\sqrt[5]{0}=0</math>. | ||
- | #<math>\sqrt[4]{16}=\pm 2</math> porque <math>(\pm 2)^4=16\;\!</math>. | ||
- | #<math>\sqrt[3]{64}=4</math> porque <math>4^3=64\;\!</math>. | ||
- | #<math>\sqrt[3]{-8}=-2</math> porque <math>(-2)^3=-8\;\!</math>. | ||
- | #<math>\sqrt[4]{-8}= no \ existe</math> porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8). | ||
- | {{p}} | ||
- | Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno: | ||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_1.html | ||
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- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | }} | ||
- | |||
- | ===Raíces exactas e inexactas=== | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
- | Se llaman '''raíces exactas''' a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son '''inexactas''' y el resultado será un número irracional.{{p}} | ||
- | Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice. | ||
- | }}{{p}} | ||
- | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Raíces exactas e inexactas'' | ||
- | |enunciado= | ||
- | ::Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:{{p}} | ||
- | ::<math>a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}</math> | ||
- | |sol= | ||
- | '''a)''' Descomponemos <math>216=2^3 \cdot 3^3</math>. | ||
- | |||
- | Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice: | ||
- | |||
- | <center><math>\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6</math></center> | ||
- | |||
- | Luego <math>\sqrt[3]{216}</math> es racional. | ||
- | ---- | ||
- | '''b)''' Descomponemos <math>\cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}</math>. | ||
- | |||
- | Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice: | ||
- | |||
- | <center><math>\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4</math></center> | ||
- | |||
- | Luego <math>\sqrt[4]{0'0256}</math> es racional. | ||
- | ---- | ||
- | '''c)''' Descomponemos <math>192=2^6 \cdot 3\;\!</math>. | ||
- | |||
- | La potencia de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta. | ||
- | |||
- | Luego <math>\sqrt[3]{192}</math> es irracional. | ||
- | }}{{p}} | ||
- | |||
- | ===La raíz como potencia de exponente fraccionario=== | ||
- | {{Teorema| | ||
- | titulo=Proposición | ||
- | |enunciado= | ||
- | *Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, <math>a\;\!</math>, y el exponente es <math>\cfrac{1}{n}</math>, siendo <math>n\;\!</math> el índice de la raíz. Ésto es:{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}</math>}} | ||
- | *De forma similar, también se cumple:{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}</math>}} | ||
- | |demo= | ||
- | Para la primera parte, basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz. | ||
- | |||
- | <center><math>(a^\frac{1}{n})^n=a^{\frac{1}{n} \cdot n}=a^1=a</math></center> | ||
- | |||
- | Para la segunda parte, haremos una comprobación análoga: | ||
- | |||
- | <center><math>(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m</math></center> | ||
- | |||
- | }} | ||
- | {{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido= | ||
- | {{p}} | ||
- | Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno: | ||
- | |||
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- | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_2.html | ||
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- | </iframe></center> | ||
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- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
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- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario'' | ||
- | |enunciado= | ||
- | ::Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor: | ||
- | ::<math>a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}</math> | ||
- | |sol= | ||
- | Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario. | ||
- | {{p}} | ||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias33_2.html | ||
- | width=570 | ||
- | height=240 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias33_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto='''Propiedades: '''Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas [http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales#Propiedades_de_las_potencias_de_naturales propiedades] que con exponente natural o entero.}} | ||
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Tabla de contenidos |
Raíz n-ésima de un número
La raíz n-ésima de un número
es otro número
tal que
y que escribimos simbólicamente
.
![\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a](/wikipedia/images/math/f/f/7/ff79017c635440f207b67b250c3660fb.png)
El número se llama radicando, el número
índice y
la raíz.
Si el índice es 2 las llamaremos raíces cuadradas; si el índice es 3, raíces cúbicas; si es 5, 6, ..., raíces cuartas, quintas, ....
Propiedades de las raíces
Propiedades
;
, para cualquier valor del índice
.
- Si
,
existe cualquiera que sea el índice
.
- Si
,
sólo existe si el índice
es impar.
- Si el índice
es par y el radicando
, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
- Si el índice
es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando
.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial que explica la definición de raíz (radical) realizando el cálculo de alguna raíces exactas de números racionales (enteros y decimales).
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos más complejos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
- Raíces de un número entero.
- Raíces cuadradas y cúbicas.
- Partes de una raíz.
- Raíces de números positivo, negativos y del cero.
- Raíz exacta y raíz entera.
- Calculo manual de raíces cuadradas.
- Los radicales.
- Extracción de factores de un radical.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
1) Completa:
- 1a)
- 1b)
- 1c)
- 1d)
2) Completa:
- 2a)
- 2b)
- 2c)
- 2d)
- 2e)
- 2f)
3) Completa:
- 3a)
- 3b)
- 3c)
- 3d)
- 3e)
- 3f)
- 3g)
4) Contesta:
- 4a) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -25? ¿Existe
?
- 4b) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -36? ¿Existe
?
- 4c) ¿hay algún número que elevado al cuadrado dé un número negativo?
- 4d) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -27? ¿Existe
?
- 4e) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -64? ¿Existe
?
- 4f) ¿hay algún número que elevado al cubo dé un número negativo?
- 4g) ¿Hay algún número que elevado a la cuarta dé -81? ¿Existe
?
- 4h) ¿Hay algún número que elevado a la quinta dé -243? ¿Existe
?
- 4i) ¿De qué depende que exista una raíz de radicando negativo?
5) Calcula:
- 5a)
;
- 5b)
;
- 5c)
;
- 5d)
;
- 5e)
;
- 5f)
;
- 5g)
;
- 5h)
;
- 5i)
;
- 5j)
;
6) Calcula:
- 6a)
;
- 6b)
;
- 6c)
;
- 6d)
;
- 6e)
;
6) Calcula:
- 7a)
;
- 7b)
;
- 7c)
;
- 7d)
;
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
8) Indica, en cada caso, la raíz, el índice y el radicando:
- 8a)
- 8b)
- 8c)
9) Completa:
- 9a)
- 9b)
- 9c)
- 9d)
- 9e)
- 9f)
- 9g)
- 9f)
10) Calcula las raíces enteras por exceso y por defecto:
- 10a)
;
- 10b)
;
- 10c)
;
11) Calcula a mano las siguientes raíces:
- 11a)
- 11b)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
11) Calcula a mano las siguientes raíces:
- 11c)
- 11d)
- 11e)
- 11f)
![](/wikipedia/images/thumb/1/17/Melide.jpg/22px-Melide.jpg)
Actividades para que aprendas a calcular la raíz n-ésima de un número entero.
La raíz como potencia de exponente fraccionario
Proposición: La raíz como potencia de exponente fraccionario
Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:
|
Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:
![(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m](/wikipedia/images/math/2/1/f/21fac79fcc6243fefc3448f1dae31079.png)
Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario
Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario y calcula su valor:
a)
![100^{-\frac{3}{2}} = (10^2)^{-\frac{3}{2}} = 10^{-\frac{6}{2}} = \pm 10^{-3} = \pm \cfrac{1}{1000}](/wikipedia/images/math/c/4/0/c4098b24eaabc5f7e295a2e394cdc888.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Expresa como potencia de exponente fraccionario:
- a)
- b)
- c)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Averigua el valor de a:
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Averigua el valor de k:
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.
Propiedades de las potencias de exponente fraccionario
Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Calcula:
- a)
- b)
- c)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Calcula:
- a)
- b)
- c)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Calcula:
- a)
- b)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Actividades para que aprendas a operar con raíces expresadas en forma de potencias de exponente fraccionario y a utilizar sus propiedades.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Simplifica expresiones radicales
Raíces exactas e inexactas
Se llaman raíces exactas de un número a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.
Raíces exactas e inexactas
Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, los exponentes de éstos deben ser todos divisibles por el índice de la raíz.
Ejemplo: Raíces exactas e inexactas
Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:
a) Descomponemos .
Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, la regla práctica consiste en dividir cada exponente entre el índice. A continuación se explica el porqué de forma detallada:
![\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=(2^3 \cdot 3^3)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6](/wikipedia/images/math/9/0/f/90ff62c218ce74b95403e00069fa46ec.png)
Luego es racional.
b) Descomponemos .
Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:
![\sqrt[4]{0.0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\pm \cfrac{2^2}{10^1}=\pm \cfrac{4}{10}=\pm 0'4](/wikipedia/images/math/2/1/1/2111a7f15ed884cde82acb4bee2152c1.png)
Luego es racional.
c) Descomponemos .
El exponente de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.
Luego![\sqrt[3]{192}](/wikipedia/images/math/b/d/f/bdfe841e1073096ee42922125fc7e19d.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Tutorial que explica las raíces exactas e inexactas y pone ejemplos de ambas.
Raíces exactas:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Calcula:
- a)
- b)
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Calcula:
- a)
- b)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Calcula:
- a)
- b)
Raíces de fracciones
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Cómo se calculan las raíces de fracciones. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Cómo se suman y restan las raíces de fracciones. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Cómo se multiplican raíces de fracciones. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Cómo se dividen raíces de fracciones. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Cómo se calculan las potencias de raíces de fracciones. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Cómo se calculan las raíces de raíces de fracciones. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Suma y resta de raíces de fracciones:
- 1)
- 2)
- 3)
- 4)
- 5)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Suma y resta de raíces de fracciones:
- 6)
- 7)
- 8)
- 9)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Multiplicaciones de raíces de fracciones:
- 10)
- 11)
- 12)
- 13)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Multiplicaciones de raíces de fracciones:
- 14)
- 15)
- 16)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Multiplicaciones de raíces de fracciones:
- 17)
- 18)
- 19)
- 20)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Multiplicaciones de raíces de fracciones:
- 21)
- 22)
- 23)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Multiplicaciones de raíces de fracciones:
- 24)
- 25)
- 26)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
División de raíces de fracciones:
- 27)
- 28)
- 29)
- 30)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
División de raíces de fracciones:
- 31)
- 32)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
División de raíces de fracciones:
- 33)
- 34)
- 35)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
División de raíces de fracciones:
- 36)
- 37)
- 38)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Potencias de raíces de fracciones:
- 39)
- 40)
- 41)
- 42)
- 43)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Convierte en potencias de exponente fraccionario:
- 44)
; 45)
; 46)
- 47)
; 48)
; 49)
- 50)
; 51)
; 52)
- 53)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Convierte la potencia en raíz:
- 54)
; 55)
; 56)
- 57)
; 58)
; 59)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Raíces de una raíz de una fracción:
- 60)
; 61)
; 62)
- 63)
; 64)
; 65)
- 66)
; 67)
Calculadora
Raíz cuadrada
Calculadora: Raíz cuadrada |
Raíz cúbica
Calculadora: Raíz cúbica |
Otras raíces
Calculadora: Otras raíces |