Raíces

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Tabla de contenidos

1 Raíces cuadradas de números enteros
- 1.1 Número de soluciones de una raíz cuadrada
2 Raíz n-ésima de un número
- 2.1 Propiedades de las raíces
3 La raíz como potencia de exponente fraccionario
4 Raíces exactas e inexactas
5 Raíces de fracciones
6 Calculadora

Raíces cuadradas de números enteros

La definición de raíz cuadrada de un número entero es la misma que la dada para números naturales.

Ver: Raíz de un número natural

La raíz cuadrada de un número $a\;$ es otro número $b\;$ que elevado al cuadrado da $a\;$ . Simbólicamente:

$\sqrt{a}=b \ \iff \ b^2=a$

Al número $a\;$ se le llama radicando y al número $b\;$ se le llama raíz.

Número de soluciones de una raíz cuadrada

Dependiendo del signo del número entero, su raíz puede existir o no. Tenemos los dos casos siguientes:

Número de soluciones de la raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número entero positivo tiene dos soluciones iguales pero opuestas en signo, que no siempre son números enteros.

La raíz cuadrada de un número entero negativo no existe.

Ejemplos:

$\sqrt{+9}=\pm 3$ , porque $3^2=9\,$ y $(-3)^2=9\,$ .

$\sqrt{-9}$ no existe, porque no hay níngún número cuyo cuadrado sea negativo, -9.

Raíz cuadrada de un número entero

Tutorial 1 (5'07") Sinopsis:

Raíz cuadrada de un número entero. Ejemplos

Tutorial 2 (para ampliar) (7'00") Sinopsis:

Simplificando raíces ccuadradas no exactas: 5\,\sqrt{117}

Raíces cuadradas de números enteros

Actividad 1 Descripción:

Actividad para aprender a calcular raíces de números enteros.
Actividad para practicar las raíces de números enteros.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre raíces cuadradas exactas y enteras.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre raíces de números enteros.

Raíz n-ésima de un número

La raíz n-ésima $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$ de un número $a \;$ es otro número $b \;$ tal que $b^n =a\;\!$ y que escribimos simbólicamente $b=\sqrt[n]{a}$ .

$\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a$

El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ índice y $b\;\!$ la raíz.

Nomenclatura:

Si el índice es 2 las llamaremos raíces cuadradas; si el índice es 3, raíces cúbicas; si es 5, 6, ..., raíces cuartas, quintas, ....

Ejemplo

$\sqrt[5]{32}=2\;$ porque $2^5 =32\;$ .

Es una raíz quinta porque el índice es 5, su radicando es 32 y la raíz es 2.

Propiedades de las raíces

Propiedades

$\sqrt[n]{1}=1$ ; $\sqrt[n]{0}=0$ , para cualquier valor del índice $n\;\!$ .

Si $a>0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ existe cualquiera que sea el índice $n\;\!$ .

Si $a<0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ sólo existe si el índice $n\;\!$ es impar.

Si el índice $n\;\!$ es par y el radicando $a>0\;\!$ , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.

Si el índice $n\;\!$ es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando $a\;\!$ .

Ejemplos

$\sqrt[3]{1}=1$ .

$\sqrt[5]{0}=0$ .

$\sqrt[4]{16}=\pm 2$ porque $(\pm 2)^4=16\;\!$ .

$\sqrt[3]{64}=4$ porque $4^3=64\;\!$ .

$\sqrt[3]{-8}=-2$ porque $(-2)^3=-8\;\!$ .

$\sqrt[4]{-8}= no \ existe$ porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

La raíz n-ésima

Tutorial 1 (9´53") Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de raíz (radical) realizando el cálculo de alguna raíces exactas de números racionales (enteros y decimales).

Tutorial 2a (6´38") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 2b (6´38") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos más complejos.

Tutorial 3 (4´54") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 4 (32´48") Sinopsis:

Raíces de un número entero.
Raíces cuadradas y cúbicas.
Partes de una raíz.
Raíces de números positivo, negativos y del cero.
Raíz exacta y raíz entera.
Calculo manual de raíces cuadradas.
Los radicales.
Extracción de factores de un radical.

Ejercicio 1a (30´30") Sinopsis:

1) Completa:

1a) $Como \ \ 6^2=36 \ \ y \ \ (-6)^2 =36 \rightarrow \sqrt{36}= ...$

1b) $Como \ \ 7^2=49 \ \ y \ \ (-7)^2 =49 \rightarrow \sqrt{49}= ...$

1c) $Como \ \ 9^2=81 \ \ y \ \ (-9)^2 =81 \rightarrow \sqrt{81}= ...$

1d) $Como \ \ 3^2=9 \ \ y \ \ (-3)^2 =9 \rightarrow \sqrt{9}= ...$

2) Completa:

2a) $Como \ \ 6^3=216 \rightarrow \sqrt[3]{216}= ...$

2b) $Como \ \ (-6)^3=-216 \rightarrow \sqrt[3]{-216}= ...$

2c) $Como \ \ 5^3=125 \rightarrow \sqrt[3]{125}= ...$

2d) $Como \ \ (-5)^3=-125 \rightarrow \sqrt[3]{-125}= ...$

2e) $Como \ \ 7^3=343 \rightarrow \sqrt[3]{343}= ...$

2f) $Como \ \ (-7)^3=-343 \rightarrow \sqrt[3]{-343}= ...$

3) Completa:

3a) $Como \ \ 6^4=216 \ \ y \ \ (-6)^4 =216 \rightarrow \sqrt[4]{216}= ...$

3b) $Como \ \ 2^5=32 \ \ y \ \ (-2)^5 =32 \rightarrow \sqrt[5]{32}= ... \ \ y \ \ \sqrt[5]{-32}= ...$

3c) $Como \ \ 3^6=729 \ \ y \ \ (-3)^6 =729 \rightarrow \sqrt[6]{729}= ...$

3d) $Como \ \ 2^7=128 \ \ y \ \ (-2)^7 =-128 \rightarrow \sqrt[7]{128}= ... \ \ y \ \ \sqrt[7]{-128}= ...$

3e) $Como \ \ 3^8=6561 \ \ y \ \ (-3)^8 =6561 \rightarrow \sqrt[8]{6561}= ...$

3f) $Como \ \ 2^9=512 \ \ y \ \ (-2)^9 =-512 \rightarrow \sqrt[9]{512}= ... \ \ y \ \ \sqrt[9]{-512}= ...$

3g) $Como \ \ 2^{10}=1024 \ \ y \ \ (-2)^{10} =1024 \rightarrow \sqrt[10]{1024}= ...$

4) Contesta:

4a) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -25? ¿Existe $\sqrt{-25}\;$ ?

4b) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -36? ¿Existe $\sqrt{-36}\;$ ?

4c) ¿hay algún número que elevado al cuadrado dé un número negativo?

4d) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -27? ¿Existe $\sqrt[3]{-27}\;$ ?

4e) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -64? ¿Existe $\sqrt[3]{-64}\;$ ?

4f) ¿hay algún número que elevado al cubo dé un número negativo?

4g) ¿Hay algún número que elevado a la cuarta dé -81? ¿Existe $\sqrt[4]{-81}\;$ ?

4h) ¿Hay algún número que elevado a la quinta dé -243? ¿Existe $\sqrt[5]{-243}\;$ ?

4i) ¿De qué depende que exista una raíz de radicando negativo?

5) Calcula:

5a) $\sqrt{1}\;$ ; $\sqrt{-1}\;$

5b) $\sqrt{4}\;$ ; $\sqrt{-4}\;$

5c) $\sqrt{9}\;$ ; $\sqrt{-9}\;$

5d) $\sqrt{16}\;$ ; $\sqrt{-16}\;$

5e) $\sqrt{25}\;$ ; $\sqrt{-25}\;$

5f) $\sqrt{36}\;$ ; $\sqrt{-36}\;$

5g) $\sqrt{49}\;$ ; $\sqrt{-49}\;$

5h) $\sqrt{64}\;$ ; $\sqrt{-64}\;$

5i) $\sqrt{81}\;$ ; $\sqrt{-81}\;$

5j) $\sqrt{100}\;$ ; $\sqrt{-10}\;$

6) Calcula:

6a) $\sqrt[3]{1}\;$ ; $\sqrt[3]{-1}\;$

6b) $\sqrt[3]{8}\;$ ; $\sqrt[3]{-8}\;$

6c) $\sqrt[3]{27}\;$ ; $\sqrt[3]{-27}\;$

6d) $\sqrt[3]{64}\;$ ; $\sqrt[3]{-64}\;$

6e) $\sqrt[3]{125}\;$ ; $\sqrt[3]{-125}\;$

6) Calcula:

7a) $\sqrt[4]{1}\;$ ; $\sqrt[4]{-1}\;$

7b) $\sqrt[5]{32}\;$ ; $\sqrt[5]{-32}\;$

7c) $\sqrt[6]{729}\;$ ; $\sqrt[6]{-729}\;$

7d) $\sqrt[7]{128}\;$ ; $\sqrt[7]{-128}\;$

Ejercicio 1b (28´06") Sinopsis:

8) Indica, en cada caso, la raíz, el índice y el radicando:

8a) $\sqrt{25}\;$

8b) $\sqrt[3]{-64}\;$

8c) $\sqrt[4]{81}\;$

9) Completa:

9a) $\sqrt{4}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9b) $\sqrt{9}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9c) $\sqrt[3]{-8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9d) $\sqrt[3]{8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9e) $\sqrt[4]{16}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9f) $\sqrt[5]{32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9g) $\sqrt[5]{-32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9f) $\sqrt[6]{1}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

10) Calcula las raíces enteras por exceso y por defecto:

10a) $\sqrt{14}\;$ ; $\sqrt[3]{14}\;$

10b) $\sqrt{20}\;$ ; $\sqrt[3]{20}\;$

10c) $\sqrt{39}\;$ ; $\sqrt[3]{39}\;$

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11a) $\sqrt{4069}\;$

11b) $\sqrt{8315}\;$

Ejercicio 1c (31´57") Sinopsis:

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11c) $\sqrt{49625}\;$

11d) $\sqrt{987654}\;$

11e) $\sqrt{448056}\;$

11f) $\sqrt{865432}\;$

La raíz n-ésima Descripción:

Actividades para que aprendas a calcular la raíz n-ésima de un número entero.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

Proposición: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

$\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$

Demostración:

Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:

$(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m$

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario y calcula su valor:

$a)\ \sqrt[3] {125^4} \quad b)\ \sqrt {100^{-3}}$

Solución:

a) $125^\frac{4}{3} = (5^3)^\frac{4}{3} = (5)^\frac{12}{3} = 5^4 = 625$

b) $100^{-\frac{3}{2}} = (10^2)^{-\frac{3}{2}} = 10^{-\frac{6}{2}} = \pm 10^{-3} = \pm \cfrac{1}{1000}$ (por ser el índice par tiene dos soluciones de signos opuestos)

Potencias de exponente fraccionario

Tutorial 1 (5'29") Sinopsis:

Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.

Tutorial 2 (5´32") Sinopsis:

Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.

Tutorial 3 (7´34") Sinopsis:

Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.

Ejercicio 1 (7´43") Sinopsis:

Expresa como potencia de exponente fraccionario:

a) $\sqrt[5]{b^9}$

b) $\sqrt[6]{g^5}$

c) $\cfrac{1}{\sqrt[7]{x}}$

Ejercicio 2 (4´08") Sinopsis:

Averigua el valor de a:

$3^a=\sqrt[5]{3^2}$

Ejercicio 3 (3´59") Sinopsis:

Averigua el valor de k:

$\cfrac{m^{\frac{7}{9}}}{m^{\frac{1}{3}}}=m^{\frac{k}{9}} \ \ (m>0)$

Ejercicio 4 (7´33") Sinopsis:

Simplifica:

$\left(r^{\frac{2}{3}} s^3\right)^2 \cdot \sqrt{20\,r^4s^5}$