Números enteros: Potencias y raíces (1º ESO)

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Tabla de contenidos

Potencias de números enteros

Los siguientes videotutoriales condensan lo que vamos a ver en este apartado sobre potencias de números enteros:

video
Potencias de números enteros
Tutorial 1 (6'09")     Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero. Ejemplos.

Tutorial 2 (13'07")     Sinopsis:

Ejemplos de potencias de números enteros.

Tutorial 3 (19'28")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica a través de varios ejemplos la potencia con números enteros y las operaciones combinadas con multiplicación, división y potencia de números enteros.

  • 00:00 a 05:55: Potencia de número enteros, definición.
  • 05:55 a 09:15: Ejercicios simples de Potencias.
  • 09:15 a 13:07: Ejercicios de Combinadas de Multiplicación, División y Potencias.
Tutorial 4 (9'54")     Sinopsis:

Potencias de números enteros.

Tutorial 5 (18'37")     Sinopsis:

Potencias de base entera y exponente natural. Producto de potencias. División de potencias. Potencias de una potencia. Potencia de un producto. Signo de una potencia.

Definición de potencia

La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números naturales.

Ver: Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

nota
Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.
bartolomecossio.com

Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

ejercicio
Ejemplos: 

video
Potencias de números enteros
Actividad 1     Descripción:

Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros.

Actividad 2     Descripción:

Actividades sobre potencias de números enteros.

Signo de la potencia

ejercicio

Signo de la potencia

Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

  • Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
  • Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

video
Signo de la potencia
Tutorial (3'23")     Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero negativo. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'58")     Sinopsis:

1) Completa la tabla. En ella debes indicar la base, el exponente, el valor y la cómo se leen las siguientes potencias de números enteros:

4^2 \ , \ 6^3 \ , \ 2^6 \ , \ (-5)^2 \ , \ 2^3 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ 8^4

2) Escribe en forma de potencia:

a) 3 \cdot 3 \;
b) (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \;
c) 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\;
d) (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \;

3) Escribe cómo se leen las siguientes potencias:

7^4 \ , \ 2^6 \ , \ 5^2 \ , \ 2^3
Ejercicio 3 (9'38")     Sinopsis:

4) Escribe las siguientes potencias en forma de producto:

15^2 \ , \ 6^4 \ , \ 8^4

5) Escribe cada producto en forma de potencia, calcula su valor e indica cuál es la base y el exponente.

3 \cdot 3 \ , \ 6 \cdot 6 \cdot 6

6) Calcula:

a) Doce elevado al cuadrado.
b) Once elevado al cubo.
c) Tres elevado a la quinta.
d) Dos elevado a la cuarta.

7) Desarrolla las siguientes potencias:

(-2)^4 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ (-5)^2

8) Calcula las siguientes potencias y razona cuánto valen todas las potencias de base 1:

1^0 \ , \ 1^1 \ , \ 1^2 \ , \ 1^3 \ , \ 1^5 \ , \ 1^{1000}

video
Signo de la potencia
Actividad 1     Descripción:
  1. Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros con base positiva o negativa.
  2. Actividad para practicar las potencias de enteros.
Actividad 2     Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) ( − 3)4    b) ( − 4)5    c) ( − 10)5    d) ( − 2)10

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Actividad 3     Descripción:

Actividad sobre potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación en los que debes determinar el signo de la potencia cuya base es un número entero.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 3     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 4     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Propiedades de las potencias de enteros

Las potencias de números enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Ver: Propiedades de las potencias de números naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

video
Propiedades de las potencias de números enteros
Tutorial 1a (6'46")     Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

  • Potencias de exponente 0.
  • Potencias de exponente 1.
  • Producto de potencias de la misma base.
  • Cociente de potencias de la misma base.
Tutorial 1b (5'05")     Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

  • Potencia de otra potencia.
  • Potencia de un producto.
  • Potencia de un cociente.
Ejercicio 1 (7'58")     Sinopsis:

Calcula:

a) (-2)^4 \cdot (-2)^3\; ;      b) (-6)^9 : (-6)^4\;
c) (-8)^2 \cdot (-8)^3\; ;      d) (-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)\;
e) (-3)^7 : (-3)^4\; ;      f) (-2)^5 \cdot (-2)^2\;
g) (-7)^{12} : (-7)^{10}\; ;      h) (-10)^3 : (-10)^2\;
Ejercicio 2 (12'23")     Sinopsis:

10) Escribe en forma de una sola potencia:

a) [(-2)^3]^5\; ;      b) [(-3)^2]^3\;
c) [(-5)^2]^4\; ;      d) [(-6)^3]^3\;
e) (2^4)^5\; ;      f) (3^4)^2\;
g) [(-2)^1]^6\; ;      h) [(-2)^2]^6\;
i) (3^{10})^2\; ;      j) (3^2)^{10}\;

11) Expresa en forma de producto de varias potencias:

a) [(-3) \cdot (-2) \cdot (-5)]^4\;
b) [(-2) \cdot 5 \cdot (-6)]^2\;
c) [2 \cdot 7 \cdot 6]^3\;
a) [(-2) \cdot (-3) \cdot (-6)]^3\;

11) Expresa en forma de una sola potencia:

a) (-2)^3 \cdot (-3)^3 \cdot (-4)^3\;
b) (-2)^4 \cdot 3^4\;
c) 2^6 \cdot 4^6 \cdot 5^6\;
d) (-3)^6 \cdot (-10)^6\;

12) Calcula los cuadrados de los cinco primeros números positivos.

Ejercicio 3 (10'07")     Sinopsis:

14) Escribe las cuartas potencias de: -3, -2, -5, 3, 2 y 5.

15) Calcula:

a) 2 \cdot (-3)^2\; ;      b) 3 \cdot (-2)^2\;
c) -1 \cdot (-3)^2\; ;      d) -1 \cdot (-2)^2\;
e) -2 \cdot (-3)^2\; ;      f) -5 \cdot (-5)^2\;
g) 2 \cdot (-3)^2\;
Ejercicio 4 (12'24")     Sinopsis:

16) Escribe como potencias de base positiva:

(-3)^2 \ , \ (-3)^3 \ , \ (-5)^2 \ , \ (-5)^3 \ , \ (-7)^2 \ , \ (-7)^3\;

17) Escribe el resultado como potencia de base positiva:

a) (-5)^8 : (-5)^5\; ;      b) (-10)^5 : (-10)^3\;
c) (-20)^5 \cdot (-20)^3\; ;      d) (-6)^2 \cdot 6^3\;
e) (-3)^4 \cdot 3^2\; ;      f) (-2)^5 \cdot 2^3\;
Ejercicio 5 (2'09")     Sinopsis:

Simplifica: 2 a^3 \cdot a^5

Ejercicio 6 (3'37")     Sinopsis:

Simplifica: \left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2

Ejercicio 7 (3'42")     Sinopsis:

Simplifica: \left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3

Ejercicio 8 (3'40")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}

Ejercicio 9 (2'47")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}

video
Propiedades de las potencias de enteros
Actividad 1: Potencias de productos y cocientes     Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de productos y cocientes.

Actividad 2: Producto y cociente de potencias     Descripción:

Actividades para aprender a calcular productos y cocientes de potencias.

Actividad 3: Potencia de otra potencia     Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de otra potencia.

Actividad 4: Ejercicios resueltos     Descripción:

Ejercicios resueltos sobre las propiedades de las potencias de números entero.

Actividad 5     Descripción:

Actividades sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

video
Autoevaluación 3
2.1. Potencia de un producto     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.2. Potencia de un cociente     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.3.Potencia de una potencia     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.4. Producto de potencias de la misma base     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

Raíces de números enteros

La definición de raíz cuadrada de un número entero es la misma que la dada para números naturales:

La raíz cuadrada de un número a\; es otro número b\; que elevado al cuadrado da a\;. Simbólicamente:

\sqrt{a}=b \ \iff \ b^2=a

Al número a\; se le llama radicando y al número b\; se le llama raíz.

Número de soluciones de una raíz cuadrada

Dependiendo del signo del número entero, su raíz puede existir o no. Tenemos los dos casos siguientes:

ejercicio

Número de soluciones de la raíz cuadrada

  • La raíz cuadrada de un número entero positivo tiene dos soluciones iguales pero opuestas en signo, que no siempre son números enteros.
  • La raíz cuadrada de un número entero negativo no existe.

ejercicio
Ejemplos: 
  • \sqrt{+9}=\pm 3, porque 3^2=9\,  y  (-3)^2=9\,.
  • \sqrt{-9}  no existe, porque no hay níngún número cuyo cuadrado sea negativo, -9.

Raíces cuadradas con la calculadora

Ten cuidado porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva.


Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

Ejemplo:
  • Operación: \sqrt {16}


  • Procedimiento: Raíz cuadrada 16\;\! Obtener resultado


  • Solución: 4\;\!
ejercicio
Advertencia:

Ten cuidado, si trabajas con números enteros, porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva.

Ejercicios y videotutoriales

Operaciones combinadas con números enteros (19'37")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica a través de varios ejemplos el orden en el que hay que realizar las operaciones con números, lo que se llama la jerarquía de operaciones.

  • 00:00 a 03:47 : Conceptos básicos. Jerarquía de operaciones.
  • 03:47 a 19:37 : Ejercicios de Operaciones Combinadas.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Potencias y raíces de números enteros

    (Pág. 77)

     2; 3; 4; 6a,c,e; 8a,c,d,e; 9a,c; 10; 12; 14

     1; 5; 6b,d,f; 8b,d,f; 9b,d; 15; 16

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