Potencias (3ºESO Académicas)
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Vamos a estudiar las potencias cuya base es un número racional y cuyo exponente es un número entero. | Vamos a estudiar las potencias cuya base es un número racional y cuyo exponente es un número entero. | ||
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===Definición de potencia=== | ===Definición de potencia=== | ||
La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números enteros. | La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números enteros. | ||
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Ver: [[Potencias y raíces (1º ESO)#Potencias de números enteros|'''Potencias de números enteros''']] | Ver: [[Potencias y raíces (1º ESO)#Potencias de números enteros|'''Potencias de números enteros''']] | ||
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Tabla de contenidos |
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Potencias de números racionales
Vamos a estudiar las potencias cuya base es un número racional y cuyo exponente es un número entero.
Definición de potencia
La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números enteros.
Ver: Potencias de números enteros
Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:
![\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}](/wikipedia/images/math/b/0/1/b01a268d18e3274ba1a3e03620c5b165.png)
![a\;](/wikipedia/images/math/e/7/8/e780d261259a4c13b4267da3aef4b78d.png)
![b\;](/wikipedia/images/math/0/6/f/06fef6cf9cd6d4b3c27115712d7f9f89.png)
- El número
se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
- El número
se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
- Por convenio, se establece que:
.
- Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.
Cómo se leen las potencias:
Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".
Potencias de exponente entero negativo
Se define la potencia de exponente negativo como:
![a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}](/wikipedia/images/math/4/a/0/4a037cc7e5a8e8ec63c8862e08392b64.png)
Como consecuencia:
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Potencias de exponente negativo. Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Potencias de exponente negativo. Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/c/c2/Angelmartinez.jpg/22px-Angelmartinez.jpg)
Potencias de exponente negativo. Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Potencias de exponente negativo. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Exponentes negativos. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Razonando sobre el por qué de la definición de los exponentes negativos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Simplifica:
- a)
- b)
- c)
- d)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Simplifica:
- a)
- b)
- c)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Halla el valor de:
11) ; 12)
; 13)
; 14)
15) ; 16)
; 17)
; 18)
; 19)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Potencias de exponente negativo.
![](/wikipedia/images/thumb/1/17/Melide.jpg/22px-Melide.jpg)
Actividades sobre potencias de exponente negativo.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:
a) b)
c)
d)
Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.
Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Potencias de exponente negativo.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Multiplica y divide potencias (exponentes enteros).
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Potencias de exponentes enteros.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.
Propiedades de las potencias con números racionales
Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que las potencias de números enteros:
Propiedades de las potencias
- 1. Producto de potencias de la misma base:
- 2. Cociente de potencias de la misma base:
- 3. Potencia de un producto:
- 4. Potencia de un cociente:
- 5. Potencia de otra potencia:
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial muy completo que explica las propiedades básicas de las potencias con ejemplos resueltos sencillos y alguno más complejo.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Potencias de exponente entero de números racionales.
- Propiedades.
- Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Producto de potencias de fracciones con la misma base. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Cociente de potencias de fracciones con la misma base. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Potencia de otra potencia de una fracción. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Potencia de un producto de fracciones. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Producto de potencias de la misma base: . Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Cociente de potencias de la misma base: . Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Potencia de otra potencia: . Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Potencia de un producto: . Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Potencia de un cociente: . Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
- Potencias de exponente 1 y 0.
- Producto y cociente de potencias de la misma base.
- Potencia de un producto y de un cociente.
- Potencia de otra potencia.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
- Potencias de base negativa.
- Potencias de exponente negativo.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Cálculos con potencias de exponente positivo.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Cálculos con potencias de exponente negativo.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Simplificaciones de operaciones con potencias.
Cálculos con potencias de fracciones:
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Calcula:
20) ; 21)
; 22)
23) ; 24)
; 25)
26) ; 27)
; 28)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Calcula:
29) ; 30)
; 31)
32) ; 33)
; 34)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Calcula:
- 35)
; 36)
; 37)
- 38)
; 39)
; 40)
- 41)
; 42)
; 43)
- 44)
; 45)
; 46)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Escribe como varias potencias:
- 47)
- 48)
- 49)
- 50)
- 51)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Escribe como una sola potencia:
- 52)
- 53)
- 55)
- 56)
- 57)
- 58)
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Simplifica:
- a)
- b)
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Simplifica
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Simplifica:
Cálculos con potencias dentro de fracciones:
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Calcula:
- 59)
- 60)
- 61)
- 62)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Calcula:
- 63)
- 64)
- 65)
- 66)
![](/wikipedia/images/thumb/c/cb/Tuprofesorvirtual.jpg/22px-Tuprofesorvirtual.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cb/Tuprofesorvirtual.jpg/22px-Tuprofesorvirtual.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cb/Tuprofesorvirtual.jpg/22px-Tuprofesorvirtual.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cb/Tuprofesorvirtual.jpg/22px-Tuprofesorvirtual.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Simplifica y expresa la solución como una única potencia:
a)
b)
c)
d)
e) a)
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Simplifica y expresa la solución como una única potencia:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Simplifica:
- a)
- b)
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Simplifica:
- a)
- b)
- c)
Cálculos de diversos tipos:
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial que explica la potencia de exponente entero (positivo y negativo) con fracciones y operaciones combinadas con multiplicación, división y potencias, trabajando la simplificación previa.
Exponente positivo:
- a)
; b)
; c)
; d)
; e)
Exponente negativo:
- f)
; g)
; h)
; i)
; j)
Operaciones combinadas:
- k)
; l)
Plantilla:Ejercicios con potencias
Actividades y videotutoriales
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Actividades en las que podrás aprender a operar con potencias y a aplicar sus propiedades.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Pulsa el botón EJERCICIO para ver el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena (de forma que la base no sea una potencia) y pulsas el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.
- Potencia de números racionales con exponente entero. Potencia de exponente negativo. Propiedades de las potencias.
- Ejercicios resueltos.
Operaciones con potencias de racionales con exponente entero.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones con potencias de números racionales.
Plantilla:Videotutoriales potencias enteros
Actividades: Potencias
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
|
Ejercicios
Ejercicios resueltos
Actividades: Potencias
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
|
Ejercicios: Operaciones con potencias Calcula utilizando las propiedades de las potencias:
Solución: ![]()
![]() |
(Pág. 28)
Ejercicios resueltos
- Reducir a una sola potencia:
- a)
b)
- a)
- c)
d)
- c)
- e)
f)
- e)
a)
![5^{11}\;](/wikipedia/images/math/6/3/6/6365fc01b662afa997846c8fc3220270.png)
![2^{12}\;](/wikipedia/images/math/f/1/2/f124445cbb832125d1a5cc3afdf08c8a.png)
![5^2\;](/wikipedia/images/math/e/c/2/ec25a1c414d3f400c0e473d2bc10eac6.png)
![2^5\;](/wikipedia/images/math/5/8/8/588528c0d44f0203e06383e7e5bb0cf5.png)
![10^7\;](/wikipedia/images/math/b/d/5/bd52323a2877f683b53522c75d365ce3.png)
![7\;](/wikipedia/images/math/d/a/a/daa7b8eef4016414ec1578455757c3c5.png)
(Pág. 29)
Ejercicios resueltos
- 1. Expresa como potencia de base 10:
- 2. Simplifica:
- a)
b)
c)
- a)
1.
![\cfrac{1}{45}\;](/wikipedia/images/math/7/f/1/7f1b16b96c6d2bbdf212c2cda1b50e63.png)
![\cfrac{15625}{64}](/wikipedia/images/math/c/5/5/c55e2f3b6b2ef2055e1baaa033dad53e.png)
![54\;](/wikipedia/images/math/6/0/5/6058c6db17925c99fae0919292193fea.png)
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Potencias |