Números enteros: Operaciones

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Indice
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Calculadora

Las operaraciones con enteros son similares a las operaciones con naturales, pero con las peculiaridades que aportan los números negativos.

Tabla de contenidos

Opuesto de un entero

El opuesto de un número entero, a\;\!, es otro número entero, -a\;\!, simétrico de a\;\! respecto del cero. En consecuencia, se encuentra a la misma distancia del cero que a\;\!, pero tiene signo contrario. Lo escribiremos Op(a)=-a\;.

nota
Observación:

Es obvio que si Op(a)=-a\; entonces Op(-a)=a\;, y viceversa. Por eso, también se dice que a\; y -a\; son números opuestos.

ejercicio
Ejemplos
  • Op(3)=-3\;    (El opuesto de 3 es -3).
  • Op(-7)=7\;    (El opuesto de -7 es 7).
  • Op(0)=0\;    (El opuesto de 0 es 0).

video
Opuesto de un número entero
Tutorial 1 (2'11")     Sinopsis:

Concepto de opuesto de un número entero. Ejemplos.

Tutorial 2 (4'08")     Sinopsis:

Concepto de opuesto de un número entero. Ejemplos.

Tutorial 3a (5'22")     Sinopsis:

Opuesto de un número entero. Representación en la recta numérica.

Tutorial 3b (7'11")     Sinopsis:

Uso del signo "menos" para la obtención del opuesto de un número entero.

Ejercicios (4'34")     Sinopsis:

Ejercicios sobre números opuestos.

video
Opuesto de un número entero
Actividad 1     Descripción:
  • Actividad en la que podrás ver la relación entre un número y su opuesto mediante su representación en la recta real.
  • Actividad en la que deberás obtener el opuesto de un número entero.
Actividad 2     Descripción:

Números opuestos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Actividad 3     Descripción:

Números opuestos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Autoevaluación 1     Descripción:

Números opuestos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Autoevaluación 2     Descripción:

Números opuestos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

wolfram
Opuesto de un número entero
wolfram

Actividad: Opuesto de un número entero

a) Calcula el opuesto de 3
b) Calcula el opuesto de -5
c) Represénta los números del apartado anterior en la recta real.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) opposite 3
b) opposite -5
c) number line {-5,5}

Valor absoluto de un entero

El valor absoluto de un número entero a\; se representa por |a|\; y se define de la siguiente manera:

  • Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo.
  • Si el número es negativo, su valor absoluto es igual a su opuesto.

ejercicio
Ejemplos
  • |-3|=3 \,\!
  • |+5|=5 \,\!
ejercicio

Propiedades

  • El valor absoluto de un número es la distancia que lo separa del cero en la recta numérica.
  • El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
  • El valor absoluto de cero es cero.

video
Valor absoluto de un número entero
Tutorial 1 (2'43")     Sinopsis:

Valor absoluto de un número entero. Interpretación métrica.

Tutorial 2 (2'43")     Sinopsis:
  • Representación de los números enteros en la recta real.
  • Valor absoluto de un número entero. Interpretación métrica.
Tutorial 3 (4'01")     Sinopsis:

Valor absoluto de un número entero. Ejemplos.

Tutorial 4 (4'05")     Sinopsis:

Valor absoluto de un número entero. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'36")     Sinopsis:

Valor absoluto de un número entero. Ejemplos.

Tutorial 6 (16'21")     Sinopsis:

En este video vamos a ver lo que es el valor absoluto de un número entero y también vamos a aprender a calcularlo.

Tutorial 7 (1'14")     Sinopsis:

Valor absoluto de un entero.

Tutorial 8: Distancia entre dos puntos (5'33")     Sinopsis:

Valor absoluto como distancia entre números.

Ejercicio 1 (2'25")     Sinopsis:

Halla |x|\;, cuando x=5\;, x=-10\; y x=-12\;.

Ejercicio 2 (4'08")     Sinopsis:

Compara:

a) |-9|\; y |-7|\;
b) |2|\; y |3|\;
c) |-8|\; y |8|\;
d) |-1|\; y |2|\;.
Ejercicio 3 (2'25")     Sinopsis:

Ordena de menor a mayor: |5|\;, |9-7|\;, |5-15|\;, |0|\; y |-3|\;.

video
Valor absoluto de un número entero
Actividad 1     Descripción:
  • Actividad en la que puedes obtener el valor absoluto de un número entero.
  • Actividad en la que deberás obtener el valor absoluto de un número entero.
Actividad 2     Descripción:
Actividad 3     Descripción:

Aprende a pensar el valor absoluto como la distancia a cero, y practica encontrar valores absolutos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Autoevaluación 1     Descripción:

Halla el valor absoluto.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Autoevaluación 2     Descripción:

Compara valores absolutos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Autoevaluación 3     Descripción:

Cálculo de distancias mediante valores absolutos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

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Valor absoluto de un número entero
wolfram

Actividad: Valor absoluto de un número entero

Calcula
a) |-7|\!
b) |23|\!

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) |-7|
b) |23|

Suma y resta de enteros

Suma y resta de números enteros (25'27")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica a través de varios ejemplos la suma y resta de números enteros, desde el caso en el que sólo intervienen dos números hasta cuando intervienen más, con o sin paréntesis.

  • 00:00 a 10:45: Suma y Resta simple de número enteros.
  • 10:45 a 12:50: Ejercicios de Suma y Resta simple.
  • 12:50 a 21:21: Suma y Resta compuesta de números enteros.
  • 21:21 a 25:27: Ejercicios de Suma y Resta compuesta.

Suma y resta de dos números enteros

Sabemos que los números enteros pueden tener signo positivo (un más o nada delante del número) o signo negativo (un menos delante del número). Sin embargo, cuando dos enteros aparecen juntos, sus signos expresan una operación.

  • Suma: Siempre que vemos dos enteros juntos, sin más separación entre ellos que sus signos, lo que tenemos delante es una suma. Para realizar esa suma puedes guiarte por la lógica: los números negativos representan pérdidas, los positivos ganancias y el resultado de la operación es el balance entre ganancias y pérdidas.
  • Resta: La resta de números enteros es el resultado de sumar el primero con el opuesto del segundo.

ejercicio
Ejemplo

Por ejemplo, si vemos escrito:

-3+5\;

sabemos que uno es negativo y el otro es positivo, pero al mismo tiempo estamos indicando una cuenta. Algo así como "perdemos 3, pero ganamos 5". Lógicamente, el resultado es que "ganamos 2", es decir:

-3+5=+2\;

Lo que realmente sucede es que estamos haciendo una suma de número enteros, pero omitimos el símbolo de la operación, por economía del lenguaje. En realidad deberíamos escribir:

(-3)+(+5)=+2\;

Siguiendo esa lógica de balance entre pérdidas y ganancias, para sumar números enteros seguiremos las siguientes reglas:

ejercicio

Procedimiento: Suma de números enteros

Dependiendo del signo de los dos números a sumar, tenemos que:

  • Si tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo que tenían los números.
  • Si tienen distinto signo, se restan los valores absolutos (el mayor valor absoluto menos el menor) y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

ejercicio
Ejemplos
a) +5 + 2 = +7\;
b) -4 - 5 = -9\;
c) +2 - 8 = -6\;
d) -2 + 8 = +6\;

¿Qué pasa en cada situación?

  • En el primero los dos son positivos (ganancias) y el resultado es la suma de esas ganancias.
  • En el segundo los dos son negativos (pérdidas) y el resultado es la suma de esas pérdidas.
  • En el tercero tienen signos distintos, pero las pérdidas son mayores que las ganancias, así que el resultado es negativo.
  • En el cuarto tienen signos distintos, pero las ganancias son mayores que las pérdidas, así que el resultado es positivo.

video
Suma y resta de dos números enteros
Tutorial 1a (3'43")     Sinopsis:

Tutorial que usa el símil de las batallas entre soldados para explicar la suma de números enteros, según tengan o no el mismo signo.

Tutorial 1b (1'54")     Sinopsis:

Ejemplo sobre lo explicado en el tutorial anterior.

Tutorial 1c (1'45")     Sinopsis:

El mismo ejemplo del tutorial 1b por otro método (agrupando primero los del mismo signo).

Tutorial 1d (1'31")     Sinopsis:

Un error frecuente.

Tutorial 2 (4'02")     Sinopsis:

Ejemplos de como se suman números enteros, según tengan o no el mismo signo.

Tutorial 3 (5'59")     Sinopsis:

Ejemplos de como se suman números enteros, según tengan o no el mismo signo, usando la recta numérica.

Tutorial 4a (suma) (12'21")     Sinopsis:

Suma de números enteros.

Tutorial 4b (resta) (9'59")     Sinopsis:

Resta de números enteros.

Tutorial 5a (suma) (15'01")     Sinopsis:

Suma de números enteros.

Tutorial 5b (resta) (11'34")     Sinopsis:

Resta de números enteros.

Tutorial 5c (suma con recta numérica) (10'42")     Sinopsis:

Interpretación geométrica de la suma de números enteros.

Tutorial 6 (5'14")     Sinopsis:

Suma y resta de números enteros.

Ejercicio 1 (5'49")     Sinopsis:

Calcula:

a) -2+10\;         b) -5-5\;         c) -3+4\;         d)9+1\;

e) -3+3\;         f) -8+1\;         g) 1-8\;     h) -1+8\;         i) -6-10\;

video
Suma y resta de dos números enteros
Actividad 1     Descripción:
  1. Actividad en la que se te plantean problemas para practicar la suma y resta de dos números enteros.
  2. Actividad para calcular la suma o resta de dos números enteros.
Autoevaluación 1     Descripción:

Suma y resta de dos números enteros.

Autoevaluación 2     Descripción:

Sumas y restas con 2 números enteros.

ejercicio
Aviso:

Si tienes problemas con la actividad a la hora de escribir las soluciones en los recuadros, haz lo siguiente:

  1. Haz click con el ratón en el cuadro donde va la repuesta.
  2. Pulsa "Enter".
  3. Te aparecerá el cursor y ya podrás escribir la solución.
Autoevaluación 3     Descripción:

Suma y resta de dos números enteros.

Autoevaluación 4     Descripción:

Suma de dos números enteros.

Suma y resta de más de dos números enteros

Cuando sumemos más de dos números enteros podemos proceder de dos formas:

  • Método 1: Sumar los positivos por un lado y los negativos por otro y, después, efectuar la resta de los resultados.
  • Método 2: Ir sumando o restando paso a paso, de izquierda a derecha.

ejercicio
Ejemplo:
Calcula: 2 -7 + 6 -3\;
Solución:
Método 1:    2-7+6-3+7 = 2+6-7-3 = 8-10 = -2\;
Método 2:    2-7+6-3 = -5+6-3 = 1-3 = -2\;

video
Suma y resta de más de dos números enteros
Tutorial 1 (4'02")     Sinopsis:

Ejemplos de como se suman más de dos números enteros por los 2 métodos antes descritos.

Tutorial 2 (3'59")     Sinopsis:

Ejemplos de como se suman números enteros, según tengan o no el mismo signo, usando la recta numérica.

Ejercicio 1 (8'20")     Sinopsis:

Calcula:

a) -2+1+5-3-2+5+1-5+3\;

b) 1+9-2-8+3-7+4+6-5\;

Ejercicio 2 (5'40")     Sinopsis:

Calcula:

a) 2-5+3+1-2+4\;

b) 1-4+3+3-8-2\;

c) 2+4-1-6+2-4-2+1+8\;

video
Suma y resta de más de dos números enteros
Actividad 1     Descripción:
  1. Actividad en la que se te plantean problemas para practicar la suma y resta de tres números enteros por dos métodos.
  2. Actividad para calcular la suma o resta de tres números enteros.
Actividad 2     Descripción:

Actividad para calcular la suma de más de tres números enteros.

Actividad 3     Descripción:

Actividad para calcular la suma de más de tres números enteros.

Sumas y restas con paréntesis

Al operar, no pueden juntarse dos signos. Se deben separar con paréntesis y se aplicarán las siguientes reglas:

ejercicio

Reglas

  • +(+a)=+a\,
  • +(-a)=-a\,
  • -(+a)=-a\,
  • -(-a)=+a\,

ejercicio
Ejemplos
  • 5+(+6) = 5 + 6 = 11\;
  • 5+(-6) = 5 - 6 = -1\;
  • 5-(-2) = 5 + 2 = 7\;
  • -3-(+2) = -3 - 2 = -5\;

video
Suma y resta de números enteros (casos sencillos)
Tutorial 1 (2'17")     Sinopsis:

Sumas y restas de números enteros con paréntesis. Ejemplos.

Tutorial 2 (5'51")     Sinopsis:

Sumas y restas de números enteros cambiando el signo de los números que hay dentro del parentesis antes de operar.

Tutorial 3 (8'27")     Sinopsis:

Sumas y restas de números enteros. Ejemplos.

Tutorial 4 (36'57")     Sinopsis:

Escritura simplificada de la suma y resta de los números enteros. Equivalencia de los números enteros positivos con los números naturales. Cómo sacar los paréntesis en las sumas y en las restas. Cómo aplicar la regla de los signos de la multiplicación para eliminar los paréntesis en sumas y restas.

Tutorial 5 (1'35")     Sinopsis:

¿Por qué restar un negativo equivale a sumar un positivo?

Ejercicio 1 (17'28")     Sinopsis:

Sumas de enteros con el mismo signo:

  1.   (+35)+(+18)\;
  2.   (-12)+(-17)\;
  3.   +14+8+5+16\;
  4.   -9-17-13\;

Sumas de enteros con distinto signo:

  1.   (-54)+(+19)\;
  2.   (-11)+(+18)\;
  3.   +22-33\;
  4.   -63+87\;
  5.   (-5)+(+8)+(+3)+(+4)+(-7)\;
Ejercicio 2 (3'50")     Sinopsis:

Sumas y restas con enteros:

  1.   -13+11\;
  2.   -27+(-7)\;
  3.   -21+ 43\;
  4.   35+(-40)\;
  5.   7-21\;
  6.   -22-(-22)\;
  7.   14-(-18)\;
  8.   -29-31\;

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Sumas y restas de números enteros con paréntesis (casos sencillos)
Actividad 1     Descripción:
  1. Actividad en la que se te muestran ejemplos de expresiones sencillas de números enteros con paréntesis.
  2. Actividad para calcular expresiones sencillas de números enteros con paréntesis.
Actividad 2     Descripción:
  1. Actividad en la que se te muestran ejemplos de sumas y restas de dos números enteros con paréntesis.
  2. Actividad para calcular sumas y restas de dos números enteros con paréntesis.

Suma y resta de 2 números enteros:

Autoevaluación 1 (suma)     Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre sumas de dos números enteros.

Autoevaluación 2 (suma)     Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre sumas de dos números enteros.

Autoevaluación 3 (suma y resta)     Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre sumas y restas de dos números enteros.

Autoevaluación 4 (suma)     Descripción:

Suma de dos números enteros.

Autoevaluación 5 (resta)     Descripción:

Resta de dos números enteros.

Autoevaluación 6 (suma y resta)     Descripción:

En esta escena podrás practicar las sumas y restas con 2 números enteros.

ejercicio
Aviso:

Si tienes problemas con la actividad a la hora de escribir las soluciones en los recuadros, haz lo siguiente:

  1. Haz click con el ratón en el cuadro donde va la repuesta.
  2. Pulsa "Enter".
  3. Te aparecerá el cursor y ya podrás escribir la solución.

Suma y resta de 3 o más números enteros:

Autoevaluación 1 (suma y resta)     Descripción:

Suma y resta de tres números enteros.

Autoevaluación 2 (suma)     Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre sumas de cuatro números enteros.

Autoevaluación 3 (resta)     Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre restas de cuatro números enteros.

Autoevaluación 4 (resta)     Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre restas de cuatro números enteros.

Autoevaluación 5 (suma y resta)     Descripción:

En esta escena podrás practicar las sumas y restas con 4 números enteros.

ejercicio
Aviso:

Si tienes problemas con la actividad a la hora de escribir las soluciones en los recuadros, haz lo siguiente:

  1. Haz click con el ratón en el cuadro donde va la repuesta.
  2. Pulsa "Enter".
  3. Te aparecerá el cursor y ya podrás escribir la solución.

ejercicio

Procedimiento para quitar paréntesis

A) Si dentro del paréntesis tenemos varias sumas y restas podemos proceder de dos formas:

  • Método 1: Efectuar las operaciones dentro del paréntesis hasta que quede un solo número entero en su interior y a continuación proceder siguiendo las reglas anteriormente vistas.
  • Método 2: Si delante del paréntesis hay un signo más (+), se quitaran los paréntesis dejando los números del interior con el mismo signo. Pero si delante hay un signo menos (-), los números de dentro cambiarán de signo.
B) Si hay paréntesis dentro de otros paréntesis (o corchetes), se efectuaran primero los más interiores.

ejercicio
Ejemplos

Caso A:

  • Método 1: -(3-2-6)=-(-5)=+5\,
  • Método 2: -(3-2-6)=-3+2+6=+5\,

Caso B:

11-[7-(3-6)+(6-4)]\,

11-[7- (-3) + 2]\,

11-[7 + 3 + 2]\,

11-12\,

-1\,

video
Ejercicios de sumas y restas de números enteros con paréntesis
Ejercicio 1 (23'48")     Sinopsis:

Sumas de enteros con paréntesis:

  1.   5+(8)\;
  2.   13+(-6)\;
  3.   7+(-8-2+5)\;
  4.   10+(-21+4)+(+5-3)\;

Restas de enteros con paréntesis:

  1.   9-(15)\;
  2.   5-(-8)\;
  3.   18-(-3-8+13)\;
  4.   -{13-[-(23-12)+18]-27}\;

Sumas y restas de enteros con paréntesis:

  1.   (10-15)-[9-(23-12)]+(-27)\;
Ejercicio 2 (3'35")     Sinopsis:

Sumas y restas de enteros con paréntesis.

Ejercicio 3 (6'37")     Sinopsis:

Sumas y restas de números enteros con paréntesis y corchetes.

video
Suma y resta de números enteros con paréntesis
Autoevaluación 1     Descripción:

Completa los recuadros y cuando termines pulsa en el botón "Corregir" que tienes en la parte inferior de la escena. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.


Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre sumas y restas de enteros con paréntesis con dificultad seleccionable.

Jerarquía de las operaciones con enteros

Al operar con números enteros se atiende a la misma jerarquia de las operaciones con naturales.

ejercicio

Actividad Interactiva: Uso del paréntesis

1. Operaciones con paréntesis:
Actividad:
Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

  • Operaciones sencillas con paréntesis:
Click aquí si no se ve bien la escena
  • Más operaciones con paréntesis:
Click aquí si no se ve bien la escena
2. Operaciones combinadas:
Actividad:
En esta actividad debes marcar en la ventana bajo la escena el número que sigue al resolver la expresión. Cuando el número marcado sea el correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto no aparecerá.

Debes hacerlo sucesivamente, paso a paso, para ello debes borrar el número anterior. No se trata de que halles directamente el resultado final.

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Click aquí si no se ve bien la escena

Multiplicación de enteros

Plantilla:Multiplicación de números enteros

División de enteros

La división de números enteros, al igual que la división de números naturales, no siempre es otro entero. Con la división , al igual que con la multiplicación, se aplica la misma regla de los signos.

ejercicio

Actividad Interactiva: División de números enteros

1. Practica el cociente de números enteros.
Actividad:
Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Aplicaremos la regla de lo signos al igual que con el producto:

(+) : (+) = (+)\;\!
(-) : (-) = (+)\;\!
(+) : (-) = (-)\;\!
(-) : (+) = (-)\;\!

Click aquí si no se ve bien la escena

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

Ejemplo:
  • Operación: \cfrac {4}{2}- 3+7 \cdot 8


  • Procedimiento: 4\;\! División 2\;\! Resta 3\;\! Suma 7\;\! Multiplicación 8\;\! Obtener resultado


  • Solución: 55\;\!

Opuesto

Calculadora

Calculadora: Opuesto

Para poner el opuesto de un número usaremos la tecla Cambio de signo.

Ejemplo:
  • Operación: -2+3\;\!


  • Procedimiento: Cambio de signo2\;\! Suma3\;\! Obtener resultado


  • Solución: 1\;\!

Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

Ejemplo:
  • Operación: (2+3) \cdot 4


  • Procedimiento: Abre paréntesis2\;\! Suma 3\;\!Cierra paréntesis Multiplicación 4\;\! Obtener resultado


  • Solución: 20\;\!

Potencias

Calculadora

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Ejemplo:
  • Operación: \cfrac {4^3}{2^4}


  • Procedimiento: 4\;\! Elevado a 3\;\! División 2\;\! Elevado a 4\;\! Obtener resultado


  • Solución: 4\;\!

Wiris

ejercicio

WIRIS: Operaciones con números naturales

Revisa los siguientes ejemplos:

Ejemplos: 
Click aquí si no se ve bien la escena

Y utiliza el editor para calcular:

\cfrac{14 \cdot(5-3)^2}{9-2}

Comprueba el resultado también con tu calculadora. (Solución: 8)

Editor:
Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios y problemas

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios: Operaciones con enteros

1. Calcula:

a) 16-(9-5)-5+2= \,\!
b) (-15-13)-9-(2-12+6)= \,\!
c) (-3) \cdot [5 \cdot (8-6) -3 \cdot (3-7)]=

Solución:
a) 9 b) -33 c) -66

Problemas

ejercicio

Problemas: Operaciones con enteros

1. Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos?
Solución:
1' 12"
2. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. ¿Cuántos años han pasado hasta el año 2007 d.C.?
Solución:
2.588 años, ya que no existió el año 0.
3. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m?
Solución:
2.300 m.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_enteros:_Operaciones"
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