Números enteros: Operaciones

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Las operaraciones con enteros son similares a las operaciones con naturales, pero con las peculiaridades que aportan los números negativos.

Tabla de contenidos

1 Opuesto de un entero
2 Valor absoluto de un entero
3 Suma y resta de enteros
- 3.1 Métodos para sumar números enteros
- 3.2 Sumas y restas con paréntesis
4 Jerarquía de las operaciones con enteros
5 Multiplicación o producto de números enteros
- 5.1 Regla de los signos
6 División o cociente de números enteros
7 Calculadora
8 Ejercicios y problemas
- 8.1 Ejercicios
- 8.2 Problemas

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Opuesto de un entero

El opuesto de un número entero $a\;\!$ es otro número entero $-a\;\!$ .

Ejemplos

El opuesto de 3 es -3.
El opuesto de -7 es 7.
El opuesto de 0 es 0.

Actividad Interactiva: Opuesto de un número entero

Actividad 1. Calcula el opuesto de un número entero.

Actividad:

Cambia, utilizando el pulsador, los valores y contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:

Click aquí si no se ve bien la escena

a) ¿Cuál es el opuesto de cero?

b) Si el número es negativo ¿qué signo tiene su opuesto?

c) Si el número es positivo ¿qué signo tiene su opuesto?

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Valor absoluto de un entero

El valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe $|a|\;\!$ y se define del siguiente modo:

$|a|= \begin{cases} \ \ a & \mbox{si }a>0 \\ -a & \mbox{si }a<0 \end{cases}$

Por tanto, el resultado siempre es un número positivo.

Ejemplos

$|-3|=3 \,\!$
$|+5|=5 \,\!$

Actividad Interactiva: Valor absoluto de un número entero

Actividad 1. Calcula el valor absoluto de un número entero.

Actividad:

Cambia, utilizando el pulsador, los valores y contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:

Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el valor absoluto de cero?

b) ¿Qué signo tiene el valor absoluto de un número negativo? ¿Y de uno positivo?

c) ¿El valor absoluto de un número puede ser negativo?

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Suma y resta de enteros

La suma de números enteros es otro número entero.
La resta de números enteros es otro número entero resultado de sumar el primero con el opuesto del segundo.

Al sumar números enteros debemos tener en cuenta los casos siguientes:

Cuando los dos números llevan el mismo signo: Se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo que tenían los números.
Cuando los dos números llevan distinto signo: Se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplos

+5 +2 = +7
-1 -5 = -6
-2 +8= +6
+3 -5 = -1

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Métodos para sumar números enteros

Cuando sumemos más de dos números enteros podemos proceder de dos formas:

Método 1: Sumar los positivos por un lado y los negativos por otro y, después, efectuar la resta de los resultados.
Método 2: Ir sumando o restando paso a paso, de izquierda a derecha.

Actividad Interactiva: Suma de números enteros

Actividad 1. Practica la suma de dos números enteros.

Actividad:

Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Suma de dos enteros:

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2. Practica la suma de tres números enteros (Agrupando los que tienen el mismo signo).

Actividad:

Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Suma de tres enteros (Agrupando los que tienen el mismo signo):

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3. Practica la suma de tres números enteros (Súmandolos de izquierda a derecha).

Actividad:

Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Suma de tres números enteros (Súmandolos ´de izquierda a derecha):

Click aquí si no se ve bien la escena

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Sumas y restas con paréntesis

Para operar con paréntesis, éstos se quitarán siguiendo las siguientes reglas:

$+(+a)=+a\,$
$+(-a)=-a\,$
$-(+a)=-a\,$
$-(-a)=+a\,$

Actividad Interactiva: Sumas y restas con paréntesis

Actividad 1. Operaciones con paréntesis sencillas.

Actividad:

Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2. Operaciones con paréntesis más complejas.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Si dentro del paréntesis tenemos varias sumas y restas podemos proceder de dos formas:

Método 1: Efectuar las operaciones dentro del paréntesis hasta que quede un solo número entero en su interior y a continuación proceder siguiendo las reglas anteriormente vistas.
Método 2: Si delante del paréntesis hay un signo más (+), se quitaran los paréntesis dejando los números del interior con el mismo signo. Pero si delante hay un signo menos, los números de dentro cambiarán de signo.

Ejemplos

Método 1: $-(3-2-6)=-(-5)=+5\,$
Método 2: $-(3-2-6)=-3+2+6=+5\,$

Si hay paréntesis dentro de otros paréntesis (o corchetes), se efectuaran primero los más interiores.

Ejemplo

$11-[7-(3-6)+(6-4)]=11-[7-(-3)+2]=11-[7+3+2]=11-12=-1\,$

Actividad Interactiva: Sumas y restas de enteros

Actividad 1. Autoevaluación: Sumas y restas con o sin paréntesis.

Actividad:

Completa los recuadros y cuando termines pulsa en el botón "Corregir" que tienes en la parte inferior de la escena.

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Click aquí si no se ve bien la escena

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Jerarquía de las operaciones con enteros

A la hora de operar con números enteros seguiremos las mismas pautas que con números naturales:

Se efectúan primero el contenido de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
Las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
- Primero las potencias.
- Segundo las multiplicaciones y las divisiones.
- Tercero, las sumas y las restas.

Actividad Interactiva: Jerarquía de las operaciones

Actividad 1. Operaciones combinadas

Actividad:

En esta actividad debes marcar en la ventana bajo la escena el número que sigue al resolver la expresión. Cuando el número marcado sea el correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto no aparecerá.

Debes hacerlo sucesivamente, paso a paso, para ello debes borrar el número anterior. No se trata de que halles directamente el resultado final.

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Click aquí si no se ve bien la escena

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Multiplicación o producto de números enteros

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Regla de los signos

Si dos números enteros tienen el mismo signo su producto es un entero positivo.
Y si tienen distinto signo, el producto es un entero negativo.

Esto es:

$(+) \cdot (+) = (+)$

$(-) \cdot (-) = (+)$

$(+) \cdot (-) = (-)$

$(-) \cdot (+) = (-)$

Ejemplos

$(-2) \cdot (-4)=+8$
$(+2) \cdot (+4)=+8$
$(+2) \cdot (-4)=-8$
$(-2) \cdot (+4)=-8$

Actividad Interactiva: Multiplicación de números enteros

Actividad 1. Practica el producto de números enteros.

Actividad:

Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Click aquí si no se ve bien la escena

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División o cociente de números enteros

La división de números enteros, al igual que la división de números naturales, no siempre es otro número entero. Con la división , al igual que con la multiplicación, se aplica la misma regla de los signos.

$(+) : (+) = (+)\,$

$(-) : (-) = (+)\,$

$(+) : (-) = (-)\,$

$(-) : (+) = (-)\,$

Actividad Interactiva: División de números enteros

Actividad 1. Practica el cociente de números enteros.

Actividad:

Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad Interactiva: Multiplicación y división de números enteros

Actividad 1. Autoevaluación.

Actividad:

Introduce el resultado y cuando termines pulsa el botón "Corregir" de la parte inferior de la escena.

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Click aquí si no se ve bien la escena

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Calculadora

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Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas , , y .

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {4}{2}- 3+7 \cdot 8$

Procedimiento: $4\;\!$ $2\;\!$ $3\;\!$ $7\;\!$ $8\;\!$

Solución: $55\;\!$

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Opuesto

Calculadora: Opuesto

Para poner el opuesto de un número usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $-2+3\;\!$

Procedimiento: $2\;\!$ $3\;\!$

Solución: $1\;\!$

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Paréntesis

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas y.

Ejemplo:

Operación: $(2+3) \cdot 4$

Procedimiento: $2\;\!$ $3\;\!$ $4\;\!$

Solución: $20\;\!$

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Potencias

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {4^3}{2^4}$

Procedimiento: $4\;\!$ $3\;\!$ $2\;\!$ $4\;\!$

Solución: $4\;\!$

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Wiris

WIRIS: Operaciones con números naturales

Revisa los siguientes ejemplos:

Ejemplos:

Click aquí si no se ve bien la escena

Y utiliza el editor para calcular:

$\cfrac{14 \cdot(5-3)^2}{9-2}$

Comprueba el resultado también con tu calculadora. (Solución: 8)

Editor:

Click aquí si no se ve bien la escena

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Ejercicios y problemas

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Ejercicios

Ejercicios: Operaciones con enteros

1. Calcula:

a) $16-(9-5)-5+2= \,\!$

b) $(-15-13)-9-(2-12+6)= \,\!$

c) $(-3) \cdot [5 \cdot (8-6) -3 \cdot (3-7)]=$

Solución:

a) 9 b) -33 c) -66

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Problemas

Problemas: Operaciones con enteros

1. Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos?

Solución:

1' 12"

2. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. ¿Cuántos años han pasado hasta el año 2007 d.C.?

Solución:

2.588 años, ya que no existió el año 0.

3. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m?

Solución:

2.300 m.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_enteros:_Operaciones"

Categorías: Matemáticas | Números

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Opuesto de un entero

Valor absoluto de un entero

Suma y resta de enteros

Métodos para sumar números enteros

Sumas y restas con paréntesis

Jerarquía de las operaciones con enteros

Multiplicación o producto de números enteros

Regla de los signos

División o cociente de números enteros

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

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