Números enteros: Operaciones

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Las operaraciones con enteros son similares a las operaciones con naturales, pero con las peculiaridades que aportan los números negativos.

Tabla de contenidos

Opuesto de un entero

El opuesto de un número entero, a\;\!, es otro número entero, -a\;\!, que tiene el mismo valor absoluto pero signo contrario.

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Propiedad


El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero en la recta numérica. Por tanto, está a la misma distancia del cero pero del lado contrario.

Valor absoluto de un entero

El valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe |a|\;\! y se define del siguiente modo:

|a|= \begin{cases} \ \ a & \mbox{si } a \ge 0 \\ -a & \mbox{si }a<0 \end{cases}

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Propiedades


El valor absoluto de un número es la distancia que lo separa del cero en la recta numérica. En consecuencia:
  • El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
  • El valor absoluto de cero es cero.

Suma y resta de enteros

Suma y resta de dos números enteros

  • La suma de números enteros es otro número entero.
  • La resta de números enteros es otro número entero resultado de sumar el primero con el opuesto del segundo.

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Propiedades


  • Cuando los dos números llevan el mismo signo: Se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo que tenían los números.
  • Cuando los dos números llevan distinto signo: Se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Suma y resta de más de dos números enteros

Cuando sumemos más de dos números enteros podemos proceder de dos formas:

  • Método 1: Sumar los positivos por un lado y los negativos por otro y, después, efectuar la resta de los resultados.
  • Método 2: Ir sumando o restando paso a paso, de izquierda a derecha.

Sumas y restas con paréntesis

Al operar, no pueden juntarse dos signos. Se deben separar con paréntesis y se aplicarán las siguientes reglas:

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Reglas


  • +(+a)=+a\,
  • +(-a)=-a\,
  • -(+a)=-a\,
  • -(-a)=+a\,

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Procedimiento para quitar paréntesis


A) Si dentro del paréntesis tenemos varias sumas y restas podemos proceder de dos formas:

  • Método 1: Efectuar las operaciones dentro del paréntesis hasta que quede un solo número entero en su interior y a continuación proceder siguiendo las reglas anteriormente vistas.
  • Método 2: Si delante del paréntesis hay un signo más (+), se quitaran los paréntesis dejando los números del interior con el mismo signo. Pero si delante hay un signo menos (-), los números de dentro cambiarán de signo.
B) Si hay paréntesis dentro de otros paréntesis (o corchetes), se efectuaran primero los más interiores.

Jerarquía de las operaciones con enteros

A la hora de operar con números enteros seguiremos las mismas pautas que con números naturales:

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Jerarquía de las operaciones


  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones.
  3. Las sumas y las restas.

Multiplicación o producto de números enteros

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Regla de los signos para el producto


  • Si dos números enteros tienen el mismo signo su producto es un entero positivo.
  • Si dos números enteros tienen distinto signo, el producto es un entero negativo.
(+) \cdot (+) = (+)
(-) \cdot (-) = (+)
(+) \cdot (-) = (-)
(-) \cdot (+) = (-)

Propiedades del producto de números enteros

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Propiedades del producto de números enteros


Los números enteros tiene las mismas propiedades para el producto que los números naturales: (Ver propiedades)
  • Conmutativa
  • Asociativa
  • Distributiva


División o cociente de números enteros

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Regla de los signos para el cociente


Con la división , al igual que con la multiplicación, se aplica la misma regla de los signos:

(+) : (+) = (+)\,
(-) : (-) = (+)\,
(+) : (-) = (-)\,
(-) : (+) = (-)\,

Propiedades de la división de números enteros

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Propiedades de la división de números enteros


  • La división de de números enteros no siempre es un número entero.
  • La división de números enteros no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.

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Actividad: Operaciones combinadas


Calcula:
a) 12+3 \cdot 2^3-(5-3)


Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división


Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

Opuesto

Calculadora

Calculadora: Opuesto


Para poner el opuesto de un número usaremos la tecla Cambio de signo.

Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis


Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

Potencias

Calculadora

Calculadora: Potencias


Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Wiris

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WIRIS: Operaciones con números naturales


Utiliza el editor para calcular:

\cfrac{14 \cdot(5-3)^2}{9-2}

Comprueba el resultado también con tu calculadora. (Solución: 8)

Ejercicios y problemas

Ejercicios

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Actividad: Operaciones con enteros


Calcula:
a) 16-(9-5)-5+2= \,\!
b) (-15-13)-9-(2-12+6)= \,\!
c) (-3) \cdot [5 \cdot (8-6) -3 \cdot (3-7)]=

Problemas

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Problemas: Operaciones con enteros


1. Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos?
2. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. ¿Cuántos años han pasado hasta el año 2007 d.C.?
3. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m?
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