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Fracciones y números racionales
Los números enteros son útiles para contar u ordenar objetos, pero hay veces en las que es necesario dividir la unidad en partes iguales para poder expresar una medida: la mitad, la tercera parte, etc. Estas medidas se expresan por medio de fracciones.
- Una fracción es una expresión de la forma
, o bien, 
, donde 
y 
son números enteros, siendo 
.
- Al número lo llamaremos numerador y al número , denominador.
Una fracción se puede interpretar como una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales:
- El denominador sirve para representar las partes en que se divide la unidad.
- El numerador sirve para representar las porciones que tomamos.
El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador. Según su valor, una fracción pueden ser:
- Un número entero: Si el resultado de hacer la división es exacto.
- Un número fraccionario: Si el resultado de hacer la división no es exacto.
Esta definición nos da otra forma de interpretar a una fracción, ya que nos permite verla como una "división indicada" en las que el dividendo es el numerador y el cociente el denominador.
Tutorial que explica el concepto de fracción y su representación gráfica, en partes de la unidad y en la recta numérica.
- 00:00 a 04:14: Conceptos básicos. Ejemplos introductorios.
- 04:14 a 05:38: Definición matemática de fracción.
- 05:38 a 09:45: Representación de fracciones como partes de la unidad (Ejemplos).
- 09:45 a 19:26: Representación de fracciones en la recta numérica (Ejemplos).
- 11:25 a 13:45: Aplicación del Teorema de Tales para la división de segmentos en partes iguales.
- Definición de fracción.
- Fracciones equivalentes.
- Simplificación de fracciones. Fracciones irreducibles.
Clasificación de las fracciones:
- Fracciones propias e impropias.
- Fracciones ordinarias y decimales.
- Fracciones homogeneas y heterogeneas.
- Fracciones irreducibles y reducibles.
El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:
Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.
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Actividad: Números racionales
- a) Representa el número 7/9 en forma de diagrama de tarta.
- b) Representa el número 22/6 en forma de diagrama de tarta.
- c) ¿Es -5 un número racional?
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) pie chart 7/9
- b) pie chart 22/6
- c) is -5 a rational number?
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Fracciones propias e impropias
- Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor es menor que 1.
- Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Su valor es mayor que 1.
es una fracción propia porque 3 < 5.
es una fracción impropia porque 7 > 2.
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Actividades Interactivas: Fracciones propias e impropias
Separa las fracciones propias de las impropias.
Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una fracción deberíamos realizar esa división, no obstante, podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denominador.
Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador.
- Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1.
- Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1.
- Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción vale más de 1.
Coloca cada fracción en el rectángulo que le corresponda según su valor.
Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.
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Fracción en forma mixta
Las fracciones impropias representan algo mayor que el todo, es decir, cuando trabajamos con una fracción impropia damos a entender que tenemos unidades completas de algo y, posiblemente, alguna unidad incompleta.
Esto queda de manifiesto en la proposición y en los ejemplos que damos a continuación.
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|  Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta |
Ejemplo 1:
La fracción 
es impropia.
Es mayor que la unidad y podemos expresarla como número mixto (Ver Fig. 4):
Ejemplo 2:
La frácción 
es impropia. La podemos decomponer en la suma de un entero y una fracción propia.
Para ello, dividimos 35 entre 8:
El dividendo 
, el divisor 
, el cociente 
y el resto 
.
Aplicando la proposición anterior:
y sustituyendo cada letra por su valor:
Actividades sobre el signo de las fracciones y sobre la descomposición de fracciones impropias como suma de un entero y una fracción propia.
Números mixtos
Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia como un número entero más una fracción propia, en la que se omite el signo de suma.
La fracción situada a la derecha del entero suele escribirse con una tipografía de menor tamaño para que no se confunda con una multiplicación de un número por una fracción.
Pasa a fracción el número mixto 
:
Solución:
Números mixtos. Ejemplos de paso de forma fraccionaria a mixta y viceversa.
Conversión de fracción impropia a número mixto
Conversión de fracción impropia a número mixto.
Conversión de fracción impropia a número mixto.
Escribiendo una fracción impropia com un número mixto
Convierte a número mixto la siguiente fracción impropia: 
Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón
Convierte a número mixto la siguiente fracción impropia: 
Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón
Conversión de número mixto a fracción impropia
Conversión de número mixto a fracción impropia.
Conversión de número mixto a fracción impropia.
Convierte a fracción impropia el siguiente número mixto: 
Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón
Convierte a fracción impropia el siguiente número mixto: 
Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón
Números mixtos y fracciones impropias.
Actividades de nivel variable en las que deberás obtener la forma mixta de una fracción.
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Calculadora: Fracciones mixtas
- A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta usaremos la tecla
 .
- B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos otra vez .
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Actividad: Expresar fracciones en forma de número mixto
- a) Expresa en forma de número mixto:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) mixed fraction 66/8
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Representación de fracciones en la recta numérica
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Actividades Interactivas: Representación de fracciones en la recta numérica
Haz en tu cuaderno la representación de las siguientes fracciones en la recta numérica:
Compruéba las soluciones en la siguiente escena:
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Actividad: Representación de fracciones en la recta numérica
- a) Representa los números 15/6, -2/3, 8/7 y 22/6 en la recta numérica.
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) number line {15/6, -2/3, 8/7, 22/6}
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Fracciones equivalentes
Plantilla:Fracciones equivalentes
Plantilla:Actividades fracciones equivalentes
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Actividad: Fracciones equivalentes
- a) ¿Son equivalentes las fracciones:
 y  ?
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) 124/360=31/90
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Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles
- Simplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente con el numerador y denominador menores que los de partida.
- Cuando una fracción no se puede simplificar se dice que es irreducible.
Procedimiento: Simplificación
- Para simplificar fracciones se divide numerador y denominador por un mismo número, distinto de 0 y 1. Este proceso se puede repetir hasta hacer la fracción irreducible.
- Si queremos hacer la fracción irreducible en un solo paso debemos dividir numerador y denominador por el m.c.d. de ambos.
Simplifica 
:
Solución:
- Paso a paso: Dividimos por 2 y luego por 3
- En un solo paso: Calculamos el m.c.d.(24,30) = 6, y dividimos directamente por 6:
Simplificación de fracciones (3 métodos). Fracción irreducible. Ejemplos.
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica: 
Simplifica:  .
Simplifica:  .
Simplifica:  .
Simplifica:  .
Simplifica:  .
|
Simplifica:  .
Simplifica:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
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- Actividades en las que deberás simplificar fracciones con o sin ayuda.
- Actividad en la que debes emparejar cada fracción con su irreducible.
Actividad en las que deberás encontrar la fracción irreducible.
Actividades de nivel variable en las que deberás simplificar fracciones.
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Actividad: Simplicar fracciones
- a) Simplifica
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) simplify 140/26
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La simplificación de fracciones me proporciona un método para saber si dos fracciones son equivalentes.
Procedimiento
Si al simplificar dos fracciones se obtiene la misma fracción irreducible, entonces las dos fracciones son equivalentes.
Determina si 
y No se pudo entender (función desconocida\cfrc): \cfrc{54}{81}
son fracciones equivalentes.
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Actividad: Simplicar fracciones
- a) Simplifica
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) simplify 140/26
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- Actividades en las que deberás simplificar fracciones con o sin ayuda.
- Actividad en la que debes emparejar cada fracción con su irreducible.
Actividad en las que deberás encontrar la fracción irreducible.
Actividades de nivel variable en las que deberás simplificar fracciones.
Orden en el conjunto de los racionales
Una forma de comparar fracciones consistía en calcular su valor numérico, efectuando la división. A continuación vamos a ver otras formas distintas de hacerlo. Distinguiremos los siguientes casos:
Caso 1: Las fracciones tienen numeradores o denominadores iguales
En algunos casos es fácil comparar dos fracciones sin necesidad de hacer la división. Esto será posible si ambas fracciones tienen los numeradores o denominadores iguales.
Comparar fracciones con numeradores o denominadores iguales
- De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador.
- De dos fracciones con el mismo numerador, es mayor la de menor denominador.
Comparando fracciones con mismo denominador o mismo numerador.
Compara fracciones con el mismo numerador o denominador.
Caso 2: Las fracciones tienen numeradores y denominadores distintos
Veamos ahora un procedimiento para los casos en que no sean iguales ni los numeradores ni los denominadores. Lo que haremos será reducirlas a común denominador.
En la animación anterior, cuando los denominadores son distintos, no podemos comparar las piezas coloreadas de verde, pues son de tamaños distintos. Al cambiar los denominadores por 12, sí podemos hacer la comparación. Además, 12 no es un denominador cualquiera, es el mínimo común múltiplo de 3 y 4. Se podría usar cualquier otro múltiplo común, pero lo normal es usar el menor posible para no trabajar con números muy grandes.
Ordenar fracciones
- Para ordenar fracciones con distinto denominador debemos primero reducirlas a común denominador.
- Una vez reducidas a común denominador, será mayor la de mayor numerador.
Ejemplo: Ordenar fracciones
Ordena las siguientes fracciones: 
Calculamos el m.c.m. de los denominadores:
.
A continuación, las reducimos a común denominador:
Nótese que hemos multiplicado numerador y denominador por el resultado de dividir el m.c.m. , 12, por cada denominador.
Ordenamos las fracciones obtenidas, y a partir de ellas las fracciones de partida:
Ordena las siguientes fracciones:
a) 
b) 
b) 
Comparación de fracciones.
Ordenar fracciones de forma ascendente. Atención al método usado para obtener el m.c.m.
Ordenar fracciones de forma descendente.
Compara  y  mediante la comparación de los productos cruzados.
Compara  y  mediante la comparación de los productos cruzados.
Compara  y  mediante la comparación de los productos cruzados.
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Compara  y  mediante la comparación de los productos cruzados.
Compara  y  mediante la comparación de los productos cruzados.
Compara  y mediante la comparación de los productos cruzados.
Compara las fracciones:  y  .
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Actividad en la que podrás ver como se comparan fracciones reduciéndolas a común denominador, tanto si son positivas como negativas.
Actividad en la que debes ordenas varias fracciones.
Actividad en la deberás comparar fracciones.
Ejercicios de autoevaluación sobre ordenación y comparación de fracciones.
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Actividad: Ordenar fracciones
- a) Ordena de menor a mayor las fracciones:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) sort {5/12,3/6,5/8,1/3}
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Ejercicios
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Ejercicios: Fracciones equivalentes
1. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:
2. Simplifica las fracciones:
- a)
 b)  c) 
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, se puede escribir como suma de un número entero y una fracción propia.
es el cociente y 
es el resto de la división de 
entre 
.
; B) 
; B) 
, 
y 
.
, 
y 
.
b) 
c) 
