Números complejos: Definición (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Breve historia de los números complejos
2 La unidad imaginaria
- 2.1 Potencias de la unidad imaginaria
3 El conjunto de los números complejos
4 Representación gráfica de los complejos en forma binómica
- 4.1 Familias de complejos en forma binómica
5 Ejercicios propuestos

(Pág. 148)

Breve historia de los números complejos

Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad, acabaron por ser aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.

Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501–1576) y Bombelli (1526–1572) relacionados con el cálculo de ecuaciones de tercer grado. Fue Descartes (1596–1650) quien afirmó que “ciertas ecuaciones algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo imaginarias para referirse a ellas. Leibniz decía de los números imaginarios que eran "una especie de anfibios entre el ser y la nada".

Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución de un problema resulta ser un número complejo esto se interpreta como que el problema no tiene solución. Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos. Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no se avanzó mucho en la comprensión de los números complejos.

El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se preocuparon de la naturaleza de los mismos; no se preguntaron ¿qué es un número complejo?, sino que se dijeron ¿para qué sirven?, ¿qué puede hacerse con ellos? Es Gauss quien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las matemáticas al probar en 1799 el conocido como Teorema Fundamental del álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raíz se cuenta tantas veces como su orden, n raíces que también son números complejos.

El término, hoy usado de “números complejos” se debe a Gauss, quien también hizo popular la letra “i” que Euler había usado esporádicamente.

Fig. 1: René Descartes

La unidad imaginaria

Ya vimos como el conjunto de los números reales surge a partir de la necesidad de ampliar los conjuntos numéricos, partiendo de los números naturales, y pasando por los números enteros y los números racionales.

Breve resumen de la historia de tu relación con los números (4´18") Sinopsis:

Primero aprendiste a "contar" como un autómata, a modo de mantra: uno, dos, tres, .... Aprendiste a distinguir los correspondientes "símbolos": 1, 2, 3, .... Después llegó el mágico "cero" con su símbolo 0, y con él los números negativos: -1, -2. -3, .... A continuación llegaron las fracciones (y con ellas los números racionales: enteros, decimales exactos y decimales periódicos) y los números irracionales (tienen infinitos decimales y no son periódicos). Por último, llegaron los números reales (unión de los racionales y los irracionales).

No obstante, el conjunto de los números reales también se nos queda chico.

Hay ecuaciones como

$x^2 +9 = 0 \,$

que no tienen solución en el conjunto de los números reales

$x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}$ (no existe en $\mathbb{R}$ )

Vamos a definir un nuevo conjunto que amplie al conjunto de los números reales y en el cual estas ecuaciones si tengan solución. Ese conjunto va a ser el conjunto de los números complejos. Para ello habrá que a empezar dando sentido a las raíces de números negativos.

Se denomina unidad imaginaria a $\sqrt{-1}$ . Se designa por la letra $i\,$ .

$i=\sqrt{-1}$

Con esta definición, la ecuación anterior ahora si tiene solución "imaginaria":

$x^2 +9 = 0\;$

$x=\pm \sqrt{-9} \,=\, \pm 3 \, \sqrt{-1} \,=\, \pm \, 3i$

Fig. 2: El nombre de i le fue dado por Euler en 1777, por imaginario, y llamó imaginarios a todos los números en cuya expresión aparecía la i.

Potencias de la unidad imaginaria

Potencias de i

$i^0=1\,$
$i^1=i\,$
$i^2=(\sqrt{-1} \, )^2=-1$
$i^3=i \cdot i^2=-i$
$i^4=i^2 \cdot i^2= (-1) \cdot (-1)=1$

A partir de $i^4\,$ se repiten cíclicamente los valores.

Ejemplo

$i^{21}=(i^4)^5 \cdot i=i$ (Al hacer la división entera: $21=4 \cdot 5 +1$ ).

La unidad imaginaria

Tutorial (5´58") Sinopsis:

La unidad imaginaria, i. Potencias de i.

Ejercicio 1 (3´28") Sinopsis:

Simplifica $\sqrt{-52}\;$ .

Ejercicio 2 (6´16") Sinopsis:

Calcula:

a) $i^{100}\;$ ; b) $i^{501}\;$ ; c) $i^{7321}\;$ ; d) $i^{99}\;$ ; e) $i^{38}\;$

La unidad imaginaria

Actividad 1 Descripción:

Actividades sobre la unidad imaginaria.

Actividad 2 Descripción:

Potencias de la unidad imaginaria

Autoevaluación 1 Descripción:

Simplifica raíces de números negativos

Autoevaluación 2 Descripción:

Potencias de la unidad imaginaria

La unidad imaginaria

Actividad: La unidad imaginaria

a) Calcula: $i^{15}\;$ .

b) Resuelve la ecuación $x^2 + 9 = 0\;$ en el conjunto de los números reales.

c) Resuelve la ecuación $x^2 + 9 = 0\;$ en el conjunto de los números complejos.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) i^(15)

b) solve x^2+9=0 over the reals

c) solve x^2+9=0 o solve x^2+9=0 over the complexes

El conjunto de los números complejos

Definimos el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:

$\mathbb{C}=\big\{ a+bi \, / \, a, \, b \in \mathbb{R} \big\}$

$\mbox{Complejos} ~(\mathbb{C}) \begin{cases} \mbox{Reales} ~ (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales}~ (\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros}~(\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales}~(\mathbb{N})\\ \mbox{Enteros negativos} \\ \mbox {Cero} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ \mbox{Imaginarios} \end{cases}$

Forma binómica de un número complejo

La expresión $a+bi\,$ se denomina forma binómica de un número complejo.

Si escribimos $z=a+bi\,$ , entonces:

$a\,$ se le llama parte real o componente real y se denota $Re(z)=a\,$ .
$b\,$ se llama parte imaginaria o componente imaginaria y se denota $Im(z)=b\,$ ..

Si $b=0\,$ , lo que tenemos es un número real, por tanto $\mathbb{R} \sub \mathbb{C}$ .

Si $b \ne 0\,$ , lo que tenemos no es un número real, se llama número imaginario.

Si $a=0\,$ y $b \ne 0\,$ , se le llama número imaginario puro.

Observación:

Muchos autores llaman números "imaginarios" a los que solo tienen parte imaginaria, es decir, a los que aquí hemos llamado "imaginarios puros". Es una simple cuestión de nomenclatura, sin más importancia.

Forma binómica de un número complejo

Actividad Descripción:

Números complejos. Parte real y parte imaginaria. Números imaginarios puros.

Autoevaluación 1 Descripción:

Parte real y parte imaginaria de un número complejo.

Autoevaluación 2 Descripción:

Clasificación de los números complejos.

Igualdad de números complejos

Dos números complejos en forma binómica decimos que son iguales si tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.

$\forall z, w \in \mathbb{C}, \ z=w \iff Re(z)=Re(w) ~\wedge~ Im(z)=Im(w)$

Igualdad de números complejos (8´39") Sinopsis:

Encuentra el valor de "a" y "b"para que se cumpla la diguientye igualdad:

$2a+3bi-b+ai=2-i\;$

Opuesto y conjugado de un complejo

Se define el opuesto de un complejo $z=a+bi\,$ como el número complejo $-z=-a-bi\,$ .
Se define el conjugado de un complejo $z=a+bi\,$ como el número complejo $\bar z =a-bi\,$ .

Opuesto y conjugado de un número complejo

Actividad: Opuesto y conjugado de un número complejo

a) Halla el conjugado de $2+3i\;$ .

b) Halla el opuesto de $2+3i\;$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) conjugate (2+3i)

a) opposite (2+3i)

Proposición

Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados.

Ejemplo:

$z^2-4z+13=0\,$

$z=\cfrac{4 \pm \sqrt{16-4 \cdot 13}}{2}=\cfrac{4 \pm \sqrt{-36}}{2}=\cfrac{4 \pm 6i}{2}= \begin{cases} z_1=2+3i \\ z_2=2-3i \end{cases}$

El conjunto de los números complejos

Tutorial (10´20") Sinopsis:

Necesidad y definición de los números complejos.
La unidad imaginaria.
Forma binómica de un complejo.
Números imaginarios puros.
Conjugado y opuesto de un complejo.
Igualdad de números complejos.

Ejercicios (8´06") Sinopsis:

1.Resuelve las siguiente ecuaciones:

a) $4x+3i=8+3i\;$

b) $5+2xi=(x+2)+6i\;$

c) $5+2xi=(x-2)+6i\;$

2. Calcula:

a) El conjugado del opuesto de $3-4i\;$

b) El opuesto del conjugado de $-3+6i\;$

c) El conjugado del conjugado de $6-2i\;$

d) El opuesto del opuesto de $5-\pi i\;$

Resolución de ecuaciones polinómicas en el campo complejo

Ejercicio 1 (10´48") Sinopsis:

Resuelve en el campo de los números complejos:

$x^3-4x^2-3x-10\;$

Ejercicio 2 (17´47") Sinopsis:

Resuelve en el campo de los números complejos:

$x^4-7x^3+13x^2+23x-78\;$

Ejercicio 3 (9´24") Sinopsis:

Resuelve las siguientes ecuaciones con soluciones complejas:

a) $x^2-6x+13=0\;$

b) $x^2+2x+17=0\;$

c) $x^4+3x^2-4=0\;$

(Pág. 149)

Representación gráfica de los complejos en forma binómica

Para representar los números reales utilizabamos una recta, la recta real.

Para representar los números complejos vamos a utilizar un plano, el plano complejo.

Un número complejo en forma binómica $a+bi\,$ queda determinado por un par de números reales: su parte real, $a\,$ y su parte imaginaria, $b\,$ .

El par $(a,b)\,$ representa las coordenadas de un punto del plano. Lo llamaremos el afijo del número complejo $a+bi\,$ .

También podemos representar al número complejo mediante un vector de origen $(0,0)\,$ y extremo $(a,b)\,$ . Al módulo de dicho vector lo llamaremos módulo del número complejo, y lo notaremos $|z|\;$ . Por el teorema de Pitágoras, $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Llamaremos plano complejo a la conjunto de todos los puntos (a,b) que hemos descrito.

Al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.

Propiedades

Los números complejos situados en el eje real son números reales.
Los números complejos situados en el eje imaginario son números imaginarios puros.

El plano complejo

Tutorial 1 (3´50") Sinopsis:

El eje de abcisas lo llamamos "eje real": es la visualización del conjunto de los números reales.
El eje de ordenadas los llamamos "eje imaginario": es la viasualización del conjunto de los números imaginarios puros.
El número complejo "a+b.i" corresponde al punto que tiene abcisa "a" y ordenada "b". De tal punto se dice "afijo" del complejo "a+b.i".

Tutorial 2 (5´05") Sinopsis:

El conjunto de los números complejos.
Números imaginarios.
Parte real y parte imaginaria de un número complejo.
El plano complejo.

Tutorial 3a (12´20") Sinopsis:

En este video podremos ver una introducción a los números complejos y algunos aspectos geométricos interesantes.

Tutorial 3b (10´10") Sinopsis:

Segunda parte de esta introducción a los números complejos.

Ejercicio (1´38") Sinopsis:

Reprsenta en el plano complejo los números: a) -5 + 4i ; b) 2 - i ; c) 4 + 4i ; d) 5 - 2i

El plano complejo

Actividad Descripción:

Aprende a representar gráficamente en el plano complejo.

Autoevaluación Descripción:

Aprende a representar gráficamente en el plano complejo.

Esta forma de representar los números complejos se la debemos a Gauss, matematico del siglo XIX. No obstante, en el siglo XVIII, el matemático danés Caspar Wessel había tenido la misma idea y la plasmó en sus tesis doctoral, aunque pasó absolutamente inadvertida. En 1806 Argand interpreta los números complejos como vectores en el plano.

Propiedades

Un número complejo y su conjugado tienen representaciones simétricas respecto del eje real (eje X)
Un número complejo y su opuesto tienen representaciones simétricas respecto del origen de coordenadas O.

Ejemplo:

$z=3+5i\;$

$-z=-3-5i\;$

$\bar{z}=3-5i\;$

Fig. 3: Representación de complejos en forma binómica.

Fig. 4: Sello alemán con el sistema de representación de Gauss

Representación del opuesto y conjugado de un complejo

Tutorial (6´14") Sinopsis:

Opuesto y conjugado de un número complejo. Representación en el plano complejo.

Ejercicios (8´00") Sinopsis:

Representa los complejos $z_1=3-2i\;$ , $z_2=-1+3i\;$ , sus opuestos y sus conjugados.

Representación del opuesto y conjugado de un complejo Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan los números complejos en forma binómica y su relación con su opuesto y con su conjugado.

Representación gráfica de las potencias de i Descripción:

Calcula las siguientes potencias de i en tu cuaderno, representa gráficamente los resultados y compruébalo todo en la escena:

$i^{189} \, , \quad i^{134} \, , \quad i^{275} \, , \quad i^{1284}$

En esta escena puedes ver $i^n\,$ , y su representación gráfica.

Cambia el valor de n en la parte inferior para ver las sucesivas potencias de $i\,$ .

Familias de complejos en forma binómica

Ejemplos: Familias de complejos en forma binómica

Averigua qué conjunto de puntos del plano complejo verifican las siguientes condiciones:

a) $Im(z)=-2\;$

b) $Re(z)=2\;$

c) $Re(z)=Im(z)\;$

d) $-1<Re(z)<=3\;$

e) $Im(z)<=2\;$

Solución:

Llamando $x=Re(z)\;$ e $y=Im(z)\;$ , las condiciones requeridas se traducen de la siguiente manera:

a) $y=-2\;$ , cuya representación gráfica es una recta horizontal.

b) $x=2\;$ , cuya representación gráfica es una recta vertical.

c) $y=x\;$ , cuya representación gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

d) $-1 < x \le 3$ , cuya representación gráfica es una franja vertical comprendida entre las rectas x=-1 y x=3.

e) $y \le 2$ , cuya representación gráfica es un semiplano de extremo la recta y=2.

Soluciones Descripción:

En esta escena de Geogebra podrás ver como se representan gráficamente las soluciones.

Familias de complejos

Ejercicio 1 (7´21") Sinopsis:

Representa los números complejos z tales que:

a) $z+\overline{z}=-3$

b) $\overline{z}=-z$

c) $|z+\overline{z}|=3$

d) $|z-\overline{z}|=4$

Ejercicio 2 (4´04") Sinopsis:

Escribe las condiciones que deben cumplir la familia de números complejos a partir de su representación gráfica.

Fractales... la geometría del caos (18´) Sinopsis:

El ordenador los ha puesto de moda. Y sin embargo ya eran conocidos a principios de siglo. Nos referimos a los fractales. Son los objetos matemáticos más atractivos, espectaculares y enigmáticos. A medio camino entre la linea y el plano, entre el plano y el espacio, rompen hasta con el concepto clásico de dimensión. Sus dimensiones no son números enteros, de ahí su extraño nombre. Y sin embargo se pueden obtener mediante simples iteracciones, es decir, repitiendo indefinidamente procedimientos geométricos o funcionales muy simples. Han dado origen a una nueva geometría: la geometría fractal. Una nueva herramienta matemática capaz de arrojar un poco de luz sobre los fenómenos caóticos y de mostrarnos que incluso en el caos es posible encontrar un determinado orden. Algunos fractales son representados en el plano complejo, como los conjuntos de Mandelbrot y de Julia.