Ángulos (3ºESO Académicas)

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(Pág. 184)

Ángulos

Llamamos ángulo a cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas con el mismo origen.
Las semirrectas se llaman lados y el origen común de ambas, vértice.
Llamaremos amplitud del ángulo al tamaño de cada una de las regiones.

En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.

Definición de ángulo Descripción:

Actividad en la que deberás construir un ángulo usando las herramientas de dibujo que se te proporcionan.

Ángulos

Tutorial 1 (3'58") Sinopsis:

Ángulos: definición, clasificación y medida.

Tutorial 2 (10'39") Sinopsis:

Ángulos: definición, clasificación y medida.

Tutorial 3 (9'29") Sinopsis:

Concepto de ángulo. Elementos. Amplitud. Región angular

Tipos de ángulos

Clasificación de los ángulos según su amplitud

Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos:

Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
Ángulo convexo es aquel que es menor que un ángulo llano.
Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.

Clasificación de los ángulos según su amplitud Descripción:

En esta escena podrás ver una animación con los distintos tipos de ángulos según su abertura.

Clasificación de los ángulos según su amplitud

Tutorial 1 (4´07") Sinopsis:

En este video vamos a ver cómo se clasifican los ángulos según su amplitud: rectos agudos, obtusos, llanos, completos, nulos, convexos y cóncavos.

Tutorial 2 (2´34") Sinopsis:

En este video vamos a clasificar los ángulos según su amplitud de manera dinámica en: nulo, obtuso, llano, cóncavo, convexo, recto y agudo.

Tutorial 3 (5´06") Sinopsis:

En este video vamos a ver la clasificación de los ángulos de acuerdo a sus medidas: ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo llano, ángulo completo, ángulo entrante o cóncavo, ángulo negativo y ángulo nulo.

Tipos de ángulos según su amplitud Descripción:

Actividad en la que comprobarás tus conocimientos sobre los tipos de ángulos.

Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice

Plantilla:Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:

Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto de cada paralela, pero uno es interno y el otro externo a las paralelas.
Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
Ángulos conjugados externos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.

Propiedades

Ángulos alternos internos son iguales.
Ángulos alternos externos son iguales.
Ángulos correspondientes son iguales.
Ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Ángulos conjugados internos son suplementarios.
Ángulos conjugados externos son suplementarios.
Ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Tutorial 1 (2'55") Sinopsis:

Videotutorial.

Tutorial 2 (7'02") Sinopsis:

Videotutorial.

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal Descripción:

En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas mediante otra recta transversal. También podrás ver cuando estos ángulos coinciden o son suplementarios.

Alternos internos: 4=6; 3=5

Alternos externos: 1=7; 2=8

Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7

Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8

Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4

Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8

Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal Descripción:

Ángulos en los polígonos

Ángulos interiores y exteriores

Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.

En el dibujo de la derecha, el ángulo $\alpha \,$ es interno y los ángulos $\beta \,$ y $\beta' \,$ son sus correspondientes ángulos externos.

Polígonos cóncavos y convexos

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

Ángulos en un triángulo

Propiedad

Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Demostración:

Demostración (1'18") Sinopsis:

Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).

También puedes verlo en la siguiente escena de Geogebra.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la suma de los ángulos triángulo.

Tutorial (2'37") Sinopsis:

Ejemplos que ilustran la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

Problema (5'54") Sinopsis:

Los ángulos de un triángulo miden $(2x-30)^o\,$ , $(x+15)^o\,$ y $(3x+75)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

Ángulos en un cuadrilátero

Propiedad

Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

Demostración:

En la siguiente escena de Geogebra.

Suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

Ángulos en el cuadrilátero

Ejercicio 1a (6'48") Sinopsis:

Halla el ángulo que falta en los siguientes cuadriláteros.

Ejercicio 1b (5'23") Sinopsis:

Halla los ángulos que faltan en los siguientes cuadriláteros.

Ejercicio 2 (1'51") Sinopsis:

Halla el ángulo que falta en el siguiente cuadrilátero.

Ejercicio 3 (3'06") Sinopsis:

Los ángulos de un cuadrilátero miden $(5x-8)^o\,$ , $(4x+4)^o\,$ , $(6x+14)^o\,$ y $(7x-2)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

Ángulos en un polígono de n lados

Propiedades

La suma de los ángulos interiores de un polígono de $n\,$ lados es igual a $(n-2) \cdot 180^\circ$ .
Si el polígono de lados es regular:
- Cada ángulo interior mide $\cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ .
- Cada ángulo exterior mide $\cfrac{360^\circ}{n}$ .

Demostración:

Desde un vértice cualquiera del polígono se pueden trazar n-3 diagonales que dividen al polígono en n-2 triángulos. Sumando los ángulos de todos esos triángulos se obtiene la fórmula, ya que la suma de los ángulos de cada triángulo es 180º.

Si además el polígono es regular:
- Al tener todos sus ángulos interiores iguales, cada uno de ellos se obtendrá dividiendo el valor del primer apartado por el número de lados, n.
- Para ver la medida del ángulo exterior restaremos a 180º el ángulo interior:

$180^\circ - \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{360^\circ}{n}$

Ángulos interiores de un polígono

Tutorial 1 (7´16") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
Ejemplos de aplicación.
Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.

Tutorial 2 (3´24") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.

Tutorial 3 (6´13") Sinopsis:

Suma de los ángulos interiores de un polígono.

Tutorial 4 (9´02") Sinopsis:

Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Cálculo de los ángulos interiores de un polígono regular y de su suma.

Tutorial 5 (5´38") Sinopsis:

Ángulos interiores de un cuadrado y de un hexágono regular.

Ejercicio (2´20") Sinopsis:

¿Existe un polígono convexo cuyos ángulos sumen 1440º? Indica su nombre y la cantidad de lados que tiene.

Ángulos exteriores de un polígono regular (1´28") Sinopsis:

Ángulo exterior de un polígono regular

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

En la figura está representado el ángulo $\widehat{AOB}$ y su arco correspondiente AB.

La medida angular del arco AB es la de su ángulo central $\widehat{AOB}$ .

Ángulo central Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo central y el arco de circunferencia que determina.

Ángulo inscrito

Se llama ángulo inscrito en una circunferencia al que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.

En la figura está representado el ángulo inscrito $\widehat{BAC}$ .

Propiedades

Propiedades

Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Demostración:

Las dos primeras propiedades se pueden comprobar (no es una demostración) en la siguiente escena:

Relación entre ángulos centrales e inscritos en una circunferencia Descripción:

En esta escena podrás comprobar la relación que hay entre ángulos centrales y ángulos inscritos en una circunferencia.

La tercera propiedad la puedes comprobar en esta otra escena:

Ángulo inscrito en una semicircunferencia Descripción:

En esta escena podrás comprobar qué propiedad tienen todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia.

Ángulo inscrito Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo inscrito y su relación con el ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito en una semicircunferencia Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Otros ángulos

Ángulos en la circunferencia (ampliación) (8'21") Sinopsis:

Ángulos en una circunferencia: Interior, central, inscrito, semiinscrito, interior y circunscrito.

Ángulos en la circunferencia (ampliación) Descripción:

En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que puede haber en una circunferencia: central, inscrito, semiinscrito, circunscrito, interior, exterior.

Ejercicios: Ángulos en la circunferencia (ampliación) Descripción:

En esta escena podrás practicar el cálculo del valor de distintos tipos de ángulos en una circunferencia.

Medida de ángulos

Sistema sexagesimal

Si dividimos el ángulo completo en 360 partes iguales, cada una de ellas decimos que mide un grado sexagesimal. Para indicar que una medida está en grados sexagesimales se acompaña la medida numérica con un superíndice en forma de circulito (º). Así tenemos que:
- El ángulo completo tiene 360º.
- El ángulo llano tiene 180º
- El ángulo recto tiene 90º.

Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos sexageximales. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').

Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos sexagesimales. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").

Sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal (19'07") Sinopsis:

El sistema sexagesimal: definición y equivalencias. Ejemplos de conversiones.

Sistema sexagesimal. Paso de forma incompleja a compleja (6'26") Sinopsis:

Sistema sexagesimal. Paso de forma incompleja a compleja.

Sistema sexagesimal. Paso de forma compleja a incompleja. (4'41") Sinopsis:

Sistema sexagesimal. Paso de forma compleja a incompleja.

Convertir grados (en decimal) a grados, minutos y segundos:

Ejercicio 1 (8'26") Sinopsis:

Convierte 63.43º a grados, minutos y segundos.

Ejercicio 2 (2'13") Sinopsis:

Convierte 27.312º a grados, minutos y segundos.

Ejercicio 3 (2'13") Sinopsis:

Convierte 29.99º a grados, minutos y segundos.

Ejercicio 4 (2'36") Sinopsis:

Convierte a grados, minutos y segundos:

a) 15.925º

b) 78.8319º

Ejercicio 5 (2'34") Sinopsis:

Convierte a grados, minutos y segundos:

a) 55.0431º

b) 239.8004º

Convertir grados, minutos y segundos a grados (decimal):

Ejercicio 1 (2'46") Sinopsis:

Convierte 72º 42' 15" a grados.

Ejercicio 2 (2'59") Sinopsis:

Convierte 98º 22' 55" a grados.

Ejercicio 3 (3'24") Sinopsis:

Convierte a grados:

a) 94º 45' 15"

b) 163º 28' 42"

Ejercicio 4 (2'47") Sinopsis:

Convierte a grados:

a) 78º 56' 11"

b) 287º 5' 9"

Convertir grados, minutos y segundos a minutos (decimal):

Ejercicio 1 (2'40") Sinopsis:

Convierte 48º 29' 18" a minutos.

Ejercicio 2 (2'35") Sinopsis:

Convierte 7º 7' 7" a minutos.

Convertir grados, minutos y segundos a segundos (decimal):

Ejercicio 1 (2'36") Sinopsis:

Convierte 31º 27' 30" a minutos.

Ejercicio 2 (2'31") Sinopsis:

Convierte 12º 24' 15" a minutos.

Actividad Interactiva: Sistema sexagesimal Descripción:

Construye en la escena ángulos de 25º, 135º, 45º, 123º, 180º, 90º, 190º, 0º, 270º, 330º, 360º. Apunta en tu cuaderno de qué tipo es cada uno de ellos.

Operaciones con ángulos

Suma

Dos o más ángulos pueden sumarse para formar otro. La operación suma de ángulos se realiza tanto gráficamente como analíticamente:

La suma gráfica se realiza colocando los ángulos en posición de consecutivos, es decir, compartiendo el vértice y un lado, para dar lugar a otro ángulo que comprende a ambos.
La suma analítica se realiza sumando las amplitudes de los ángulos para obtener la amplitud del ángulo resultante.

Suma de ángulos Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se suman ángulos gráficamente y de forma analítica en forma simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

Suma de ángulos Descripción:

Construcción gráfica de la suma de dos ángulos, con regla y compás.

Procedimiento

Para sumar analíticamente un ángulos en sexagesimal, en forma compleja:

Sumamos cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
Si la suma de los segundos es superior a 60, la transformamos en minutos, y se la añadimos a los minutos.
Si la suma de los minutos es superior a 60, la transformamos en grados, y se la añadimos a los grados.

Ejemplo: Suma de ángulos

Calcula la siguiente suma de ángulo en sexagesimal en forma compleja:

$22^\circ \, 48' \, 35'' + 56^\circ \, 45' \, 30''$

Solución:

Solución:

Si sumamos por separado los grados, los minutos y los segundos, resulta:

  22º  48'  35"
+ 56º  45'  30"
 _______________
  78º  93'  65"

Pero 65" equivalen a 1' (60") y 5", luego la suma se puede escribir así:

78º  94'  5"

De la misma forma, 94' equivalen a 1º (60') y 34'. Luego la suma es:

79º 34' 5"

Suma de ángulos

Actividad 1 Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" + 37º 42' 15"

b) 125º 15' 30" + 24º 50' 40"

c) 33º 33' 33" + 17º 43' 34"

Actividad 2 Descripción:

Suma de ángulos en sexagesimal.

Suma de ángulos en forma compleja

Tutorial (6'25") Sinopsis:

Suma de ángulos en forma compleja.

Ejercicio 1 (3'37") Sinopsis:

Calcula: (26º 42' 51") + (11º 30' 14")

Ejercicio 2 (2'48") Sinopsis:

Calcula: (26º 14' 41") + (24º 59")

Ejercicio 3 (2'42") Sinopsis:

Calcula: (38º 47') + (19º 54' 10")

Resta

La resta o diferencia de ángulos puede hacerse, igual que la suma, de dos formas: gráfica y analítica.

La resta gráfica, consiste en colocar los dos ángulos de manera que compartan el vértice y un lado. Así, el ángulo mayor comprende al menor, y el exceso es la diferencia entre ambos.
La resta analítica se realiza restando la amplitud del ángulo menor de la del mayor.

Resta de ángulos Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se restan ángulos de forma gráfica y de forma analítica simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

Resta de ángulos Descripción:

Construcción gráfica de la resta de dos ángulos, con regla y compás.

Procedimiento

Para restar analíticamente ángulos en sexagesimal, en forma compleja:

Restamos cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
Si al restar los segundos, el minuendo es menor que el sustraendo, transformaremos un minuto en 60" y se lo sumaremos a los segundos.
Si al restar los minutos, el minuendo es menor que el sustraendo, transformaremos un grado en 60' y se lo sumaremos a los minutos.
Terminaremos restando los grados normalmente.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Resta de ángulos

Calcula la siguiente resta de ángulo en sexagesimal en forma compleja :

$62^\circ - 56^\circ \, 48' \, 35''$

Solución:

Debemos hacer la siguiente operación:

  62º   0'   0" 
− 56º  48'  35" 
 _______________

Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una grado en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, los 60º se convierten en 61º 59' 60".

  61º 59' 60" 
− 56º 48' 35" 
 _____________
  5º  11' 25"

Resta de ángulos

Actividad 1 Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes restas de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" - 37º 42' 15"

b) 125º 15' 30" - 24º 50' 40"

c) 33º 33' 33" - 17º 43' 34"

Actividad 2 Descripción:

Calcula el complementario y el suplementario de los siguientes ángulos y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40"

b) 37º 42' 15"

c) 125º 15' 30"

Actividad 3 Descripción:

Resta de ángulos en sexagesimal.

Actividad 4 Descripción:

Resta de ángulos en sexagesimal.

Actividad 5 Descripción:

Cálculo del complementario y del suplementario.

Actividad 6 Descripción:

Cálculo del complementario y del suplementario.

Resta de ángulos en forma compleja

Tutorial (5'08") Sinopsis:

Resta de ángulos en forma compleja.

Ejercicio 1 (2'58") Sinopsis:

Calcula: (213º 17' 25") - (122º 35' 48")

Ejercicio 2 (2'52") Sinopsis:

Calcula: (49º 12') - (15º 27' 50")

Ejercicio 3 (2'16") Sinopsis:

Calcula: (100º 18") - (31º 20' 10")

Ejercicio 4 (2'55") Sinopsis:

Calcula: (147º) - (23º 52' 3")

Ejercicio 5 (3'45") Sinopsis:

¿Cuál es el complementario de 53º41'28"

Ejercicio 6 (3'43") Sinopsis:

¿Cuál es el suplementario de 75º16'49"

Ejercicio 7 (2'34") Sinopsis:

Calcula: (131º 45' 36") - (31º 58' 26")

Suma y resta de ángulos

Tutorial 1 (7'37") Sinopsis:

Suma y resta de ángulos en forma compleja, en el sistema sexagesimal.

Tutorial 2 (2'12") Sinopsis:

Suma y resta de ángulos en forma compleja, en el sistema sexagesimal.

Multiplicación por un número natural

Multiplicar un ángulo por un número natural equivale a sumar el ángulo consigo mismo tantas veces como indique el número.

La multiplicación gráfica de un ángulo por un número natural se hace colocando el ángulo en posición de consecutivo consigo mismo tantas veces como indique el número.
La multiplicación analítica se realiza multiplicando el número por la amplitud del ángulo.

Multiplicación de un ángulo por un número Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se multiplican ángulos por números naturales de forma gráfica y de forma analítica en forma simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

Procedimiento

Para multiplicar analíticamente un ángulo en sexagesimal, en forma compleja, por un número natural:

Multiplicamos por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
Si los segundos resultantes son superiores a 60, los transformamos en minutos, y se lo añadimos a los minutos.
Si los minutos resultantes son superiores a 60, los transformamos en grados, y se lo añadimos a los grados.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Multiplicación de un ángulo por un número

Calcula la siguiente multiplicación de un ángulo en sexagesimal en forma compleja por un número natural:

$3 \cdot (18^\circ \, 26' \, 35'')$

Solución:

  18º  26'  35" 
x             3    
 _______________
  54º  78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego

 54º 79' 45"

Pero 79' = 1º 19', luego

 55º 19' 45"

Actividades: Multiplicación de un ángulo por un número Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" x 2

b) 37º 42' 15" x 4

c) 125º 15' 30" x 3

Multiplicación de un ángulo por un número, en forma compleja

Tutorial (2'06") Sinopsis:

Multiplicación de ángulos por un número en forma compleja en sexagesimal.

Ejercicio 1 (3'34") Sinopsis:

Calcula: (25º 12' 37")· 5

Ejercicio 2 (3'04") Sinopsis:

Calcula: (50º 18")· 20

Ejercicio 3 (2'54") Sinopsis:

Calcula: (72º 31')· 17

División por un número natural

La división de un ángulo por un número natural es una operación que consiste en separar el ángulo en tantas partes iguales como nos indique el número.

La división se realiza de forma analítica dividiendo la amplitud del ángulo entre el número natural correspondiente.
La división gráfica resulta más compleja ya que no siempre se puede hacer con regla y compás.

Por ejemplo, la división de un ángulo en tres partes iguales (el famoso problema de la trisección del ángulo), es imposible para la mayor parte de los ángulos. En cambio, siempre es posible calcular la división de un ángulo en dos partes iguales gráficamente, mediante el trazado de la bisectriz del ángulo.

Trisección de un ángulo recto Descripción:

Construcción gráfica de la trisección de un ángulo recto, con regla y compás.

División de un ángulo por un número Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se dividen ángulos por números naturales. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

Procedimiento

Para dividir analíticamente un ángulo en sexagesimal, en forma compleja, entre un número natural:

Dividimos los grados entre ese número.
Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos.
Dividimos los minutos.
Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. #Dividimos los segundos.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: División por un número en forma compleja

Calcula la siguiente división de un ángulo en sexagesimal en forma compleja entre un número natural:

$(66^\circ \, 45' \, 36''):4$

Solución:

Actividad: División de ángulos por un número Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" : 5

b) 37º 42' 15" : 4

c) 125º 15' 30" : 3

División un ángulo entre un número en forma compleja

Tutorial (7'13") Sinopsis:

División de un ángulo entre un número en forma compleja en sexagesimal.

Ejercicio 1 (4'21") Sinopsis:

Calcula: (139º 34' 48") : 6

Ejercicio 2 (5'11") Sinopsis:

Calcula: (50º 20' 26") : 12

Ejercicio 3 (5'13") Sinopsis:

Calcula: (125º 37') : 9

Ejercicio 3 (4'03") Sinopsis:

Calcula: (65º 21') : 3

Multiplicación y división de ángulos (9'37") Sinopsis:

Multiplicación y división en forma compleja, en el sistema sexagesimal.

Actividades

Ejercicios (10'15") Sinopsis:

3 ejercicios sobre medida y tipos de ángulos.

Operaciones con ángulos Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se suman, restan, multiplican o dividen ángulos en sexagesimal, en forma compleja.
Ejercicios resueltos.

Ejercicios resueltos: Operaciones con ángulos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre operaciones con ángulos en sexagesimal.

Autoevaluación: Operaciones con ángulos Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones con ángulos en sexagesimal.

Operaciones con ángulos Descripción:

En esta escena podrás ver como se opera con ángulos gráficamente y analíticamente.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Relaciones angulares

(Pág. 198)

1, 4

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Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/%C3%81ngulos_%283%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

Ángulos (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

Ángulos

Tipos de ángulos

Clasificación de los ángulos según su amplitud

Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Ángulos en los polígonos

Ángulos interiores y exteriores

Polígonos cóncavos y convexos

Ángulos en un triángulo

Ángulos en un cuadrilátero

Ángulos en un polígono de n lados

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

Ángulo inscrito

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Otros ángulos

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