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Ángulo
- Llamamos ángulo a cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas con el mismo origen.
- Las semirrectas se llaman lados y el origen común de ambas, vértice.
- Llamaremos amplitud del ángulo al tamaño de cada una de las regiones.
En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.
Actividad en la que deberás construir un ángulo usando las herramientas de dibujo que se te proporcionan.
Ángulos: definición, clasificación y medida.
Ángulos: definición, clasificación y medida.
Concepto de ángulo. Elementos. Amplitud. Región angular
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Tipos de ángulos
Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos:
- Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
- Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
- Ángulo convexo es aquel que es menor que un ángulo llano.
- Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
- Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
- Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
- Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
- Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.
En esta escena podrás ver una animación con los distintos tipos de ángulos según su abertura.
Clasificación de los ángulos según su amplitud [Mostrar]
En este video vamos a ver cómo se clasifican los ángulos según su amplitud: rectos agudos, obtusos, llanos, completos, nulos, convexos y cóncavos.
En este video vamos a clasificar los ángulos según su amplitud de manera dinámica en: nulo, obtuso, llano, cóncavo, convexo, recto y agudo.
En este video vamos a ver la clasificación de los ángulos de acuerdo a sus medidas: ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo llano, ángulo completo, ángulo entrante o cóncavo, ángulo negativo y ángulo nulo.
Actividad en la que comprobarás tus conocimientos sobre los tipos de ángulos.
Relaciones entre ángulos
- Dos ángulos son iguales si tienen la misma amplitud.
- Ángulos complementarios son aquellos cuya suma es un ángulo recto.
- Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es un ángulo llano.
- Ángulos conjugados son aquellos cuya suma es un ángulo completo.
- Dos ángulos son consecutivos si tienen el vértice y un lado en común.
- Dos ángulos son adyacentes si tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. Por tanto son consecutivos y suplementarios simultáneamente.
- Ángulos opuestos por el vértice son aquellos que cumplen que los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.
Ángulos complementarios
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Ángulos suplementarios
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Ángulos consecutivos a y c son opuestos por el vértice,al igual que b y d |
Ángulos complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice y formados por rectas secantes.
Con este video vamos a estudiar la clasificación de los ángulos de acuerdo a su relación: ángulos consecutivos, ángulos complementarios, ángulos suplementarios, ángulos conjugados, ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.
Ángulos complementarios y suplementarios. Ejemplos.
Ángulos relacionados según su posición y según su amplitud.
Ángulos consecutivos, complementarios, suplementarios y adyacentes.
Actividad en la que podrás observar las distintas relaciones que hay entre ángulos.
En esta escena podrás interactuar con ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice.
Ángulos de lados paralelos o perpendiculares
Proposición
- Dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios.
- Dos ángulos cuyos lados son perpendiculares o son iguales o son suplementarios.
En esta escena podrás comprobar que dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios
.
En esta escena podrás comprobar que dos ángulos cuyos lados son perpendiculares o son iguales o son suplementarios.
Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal
Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:
- Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal.
- Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.
- Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto de cada paralela, pero uno es interno y el otro externo a las paralelas.
- Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
- Ángulos conjugados externos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
- Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.
Propiedades
- Ángulos alternos internos son iguales.
- Ángulos alternos externos son iguales.
- Ángulos correspondientes son iguales.
- Ángulos opuestos por el vértice son iguales.
- Ángulos conjugados internos son suplementarios.
- Ángulos conjugados externos son suplementarios.
- Ángulos adyacentes son suplementarios.
Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal [Mostrar]
En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas mediante otra recta transversal. También podrás ver cuando estos ángulos coinciden o son suplementarios.
|  Alternos internos: 4=6; 3=5 Alternos externos: 1=7; 2=8 Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7 Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8 Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4 Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8 Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5 |
Medida de ángulos
La siguiente tanda de videotutoriales condensa todo lo que se va a ver en este apartado:
- Definición de ángulo. Tipos.
- Sistema sexagesimal.
- Definición de radian.
- Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales
Relación entre los sistemas de medida sexagesimal, centesimal y radial.
- Concepto de ángulo orientado: ángulos positivos y negativos.
- Sistema sexagesimal, centesimal y radial.
- Ejemplos de conversiones entre sistemas.
Sistema sexagesimal
- Si dividimos el ángulo completo en 360 partes iguales, cada una de ellas decimos que mide un grado sexagesimal. Para indicar que una medida está en grados sexagesimales se acompaña la medida numérica con un superíndice en forma de circulito (º). Así tenemos que:
- El ángulo completo tiene 360º.
- El ángulo llano tiene 180º
- El ángulo recto tiene 90º.
- Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos sexageximales. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').
- Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos sexagesimales. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").
El sistema sexagesimal: definición y equivalencias. Ejemplos de conversiones.
Sistema sexagesimal. Paso de forma incompleja a compleja.
Sistema sexagesimal. Paso de forma compleja a incompleja.
Convertir grados (en decimal) a grados, minutos y segundos:
Convierte 63.43º a grados, minutos y segundos.
Convierte 27.312º a grados, minutos y segundos.
Convierte 29.99º a grados, minutos y segundos.
Convierte a grados, minutos y segundos:
a) 15.925º
b) 78.8319º
Convierte a grados, minutos y segundos:
a) 55.0431º
b) 239.8004º
Convertir grados, minutos y segundos a grados (decimal):
Convierte 72º 42' 15" a grados.
Convierte 98º 22' 55" a grados.
Convierte a grados:
a) 94º 45' 15"
b) 163º 28' 42"
Convierte a grados:
a) 78º 56' 11"
b) 287º 5' 9"
Convertir grados, minutos y segundos a minutos (decimal):
Convierte 48º 29' 18" a minutos.
Convierte 7º 7' 7" a minutos.
Convertir grados, minutos y segundos a segundos (decimal):
Convierte 31º 27' 30" a minutos.
Convierte 12º 24' 15" a minutos.
Construye en la escena ángulos de 25º, 135º, 45º, 123º, 180º, 90º, 190º, 0º, 270º, 330º, 360º. Apunta en tu cuaderno de qué tipo es cada uno de ellos.
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Calculadora: Pasar ángulos con formato decimal a formato "grados, minutos y segundos" y viceversa
Para pasar ángulos (en sexagesimal) con formato decimal a formato "grados, minutos y segundos", y viceversa, usaremos la tecla  .
- Operación: Convertir el ángulo 30.6789º a formato "grados, minutos y segundos".
- Procedimiento: 30.6789º
- Para volver al formato decimal de partida, volveremos a pulsar sólo la tecla .
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Sistema centesimal
- Si dividimos el ángulo completo en 400 partes iguales, cada una de ellas decimos que mide un grado centesimal. Para indicar que una medida está en grados centesimales se acompaña la medida numérica con la letra g en forma de superíndice. Así tenemos que:
- El ángulo completo tiene 400g.
- El ángulo llano tiene 200g.
- El ángulo recto tiene 100g.
- Un grado centesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos centesimales. Un grado centesimal equivale a 100 minutos centesimales (100m o 100c).
- Un minuto centesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos centesimales. Un minuto centesimal equivale a 100 segundos centesimales (100s o 100cc).
El sistema centesimal: definición y equivalencias. Ejemplos de conversiones.
El radián
El radián (simbolizado rad) se define como el ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la del radio de la propia circunferencia.
En la figura adjunta el ángulo  mide un radián porque abarca un arco que mide igual que el radio de la circunferencia.
El radian se usa también en Física. Por ejemplo, la velocidad angular se suele medir en radianes por segundo (rad/s).
La utilidad de la medida en radianes frente a otras medidas de ángulos, es que ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.
Por ejemplo, la fórmula para hallar la longitud de un arco de circunferencia de radio r correspondiente a un ángulo θ (en grados sexagesimales), viene dada por la fórmula:
Ahora, si θ viene dado en radianes, la fórmula es:
Si además trabajamos con el círculo unidad (r = 1):
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Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales
Como la longitud de una circunferencia de radio
es
, tenemos que una circunferencia contiene
veces a la radio. Por tanto, 360º equivalen a
rad y , dividiendo por 2, 180º equivalen a
rad.
Utilizando la equivalencia anterior, y mediante una regla de tres, podemos obtener las siguientes equivalencias:
| Grados
| 0°
| 30°
| 45°
| 60°
| 90°
| 180°
| 270°
| 360°
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| Radianes
| 0
| π/6
| π/4
| π/3
| π/2
| π
| 3π/2
| 2π
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Equivalencia entre grados sexagesimales y radianes.
El sistema radial o circular. Equivalencias con el sistema sexagesimal.
Ejemplos:
- Expresa el ángulo 32,56º (32 grados y 56 centésimas de grado) en grados, minutos y segundos.
- Expresa el ángulo 46º15'36" en grados sexagesimales.
- Expresa el ángulo 2,6 rad. en grados, minutos y segundos.
- Expresa en radianes el ángulo 72º.
Introducción a los radianes.
Conversión entre radianes y grados. Ejemplos.
Conversión entre radianes y grados. Ejemplos.
Convertir grados sexagesimales a radianes:
Expresa 200º en radianes.
Expresa 135º en radianes.
Expresa 45.32º en radianes.
Expresa 16.142º en radianes.
Expresa 132º 42' 37" en radianes.
Expresa 12º 45" en radianes.
Expresa 750º en radianes.
Expresa 150º y -45º en radianes.
Convertir radianes a grados sexagesimales:
Expresa 
radianes en grados.
Expresa 
radianes en grados.
Expresa 8 radianes en grados.
Expresa 0.5 radianes en grados.
Expresa 5.214 radianes en grados.
Expresa 
radianes en grados.
Expresa 
radianes y 
radianes en grados.
Otros ejercicios:
Indica en que cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos: 
radianes, 
radianes y 3 radianes.
Operaciones con ángulos
Suma
Dos o más ángulos pueden sumarse para formar otro. La operación suma de ángulos se realiza tanto gráficamente como analíticamente:
- La suma gráfica se realiza colocando los ángulos en posición de consecutivos, es decir, compartiendo el vértice y un lado, para dar lugar a otro ángulo que comprende a ambos.
- La suma analítica se realiza sumando las amplitudes de los ángulos para obtener la amplitud del ángulo resultante.
Actividad en la que podrás ver como se suman ángulos gráficamente y de forma analítica en forma simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.
Construcción gráfica de la suma de dos ángulos, con regla y compás.
Procedimiento
Para sumar analíticamente un ángulos en sexagesimal, en forma compleja:
- Sumamos cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
- Si la suma de los segundos es superior a 60, la transformamos en minutos, y se la añadimos a los minutos.
- Si la suma de los minutos es superior a 60, la transformamos en grados, y se la añadimos a los grados.
Ejemplo: Suma de ángulos
Calcula la siguiente suma de ángulo en sexagesimal en forma compleja:
Solución:
Si sumamos por separado los grados, los minutos y los segundos, resulta:
22º 48' 35"
+ 56º 45' 30"
_______________
78º 93' 65"
Pero 65" equivalen a 1' (60") y 5", luego la suma se puede escribir así:
De la misma forma, 94' equivalen a 1º (60') y 34'. Luego la suma es:
Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:
- a) 56º 20' 40" + 37º 42' 15"
- b) 125º 15' 30" + 24º 50' 40"
- c) 33º 33' 33" + 17º 43' 34"
Suma de ángulos en sexagesimal.
Suma de ángulos en forma compleja.
Calcula: (26º 42' 51") + (11º 30' 14")
Calcula: (26º 14' 41") + (24º 59")
Calcula: (38º 47') + (19º 54' 10")
Resta
La resta o diferencia de ángulos puede hacerse, igual que la suma, de dos formas: gráfica y analítica.
- La resta gráfica, consiste en colocar los dos ángulos de manera que compartan el vértice y un lado. Así, el ángulo mayor comprende al menor, y el exceso es la diferencia entre ambos.
- La resta analítica se realiza restando la amplitud del ángulo menor de la del mayor.
Actividad en la que podrás ver como se restan ángulos de forma gráfica y de forma analítica simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.
Construcción gráfica de la resta de dos ángulos, con regla y compás.
Procedimiento
Para restar analíticamente ángulos en sexagesimal, en forma compleja:
- Restamos cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
- Si al restar los segundos, el minuendo es menor que el sustraendo, transformaremos un minuto en 60" y se lo sumaremos a los segundos.
- Si al restar los minutos, el minuendo es menor que el sustraendo, transformaremos un grado en 60' y se lo sumaremos a los minutos.
- Terminaremos restando los grados normalmente.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo: Resta de ángulos
Calcula la siguiente resta de ángulo en sexagesimal en forma compleja :
Debemos hacer la siguiente operación:
62º 0' 0"
− 56º 48' 35"
_______________
Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una grado en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, los 60º se convierten en 61º 59' 60".
61º 59' 60"
− 56º 48' 35"
_____________
5º 11' 25"
Realiza en tu cuaderno las siguientes restas de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:
- a) 56º 20' 40" - 37º 42' 15"
- b) 125º 15' 30" - 24º 50' 40"
- c) 33º 33' 33" - 17º 43' 34"
Calcula el complementario y el suplementario de los siguientes ángulos y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:
- a) 56º 20' 40"
- b) 37º 42' 15"
- c) 125º 15' 30"
Resta de ángulos en sexagesimal.
Resta de ángulos en sexagesimal.
Cálculo del complementario y del suplementario.
Cálculo del complementario y del suplementario.
Resta de ángulos en forma compleja.
Calcula: (213º 17' 25") - (122º 35' 48")
Calcula: (49º 12') - (15º 27' 50")
Calcula: (100º 18") - (31º 20' 10")
Calcula: (147º) - (23º 52' 3")
¿Cuál es el complementario de 53º41'28"
¿Cuál es el suplementario de 75º16'49"
Calcula: (131º 45' 36") - (31º 58' 26")
Suma y resta de ángulos en forma compleja, en el sistema sexagesimal.
Suma y resta de ángulos en forma compleja, en el sistema sexagesimal.
Multiplicación por un número natural
Multiplicar un ángulo por un número natural equivale a sumar el ángulo consigo mismo tantas veces como indique el número.
- La multiplicación gráfica de un ángulo por un número natural se hace colocando el ángulo en posición de consecutivo consigo mismo tantas veces como indique el número.
- La multiplicación analítica se realiza multiplicando el número por la amplitud del ángulo.
Actividad en la que podrás ver como se multiplican ángulos por números naturales de forma gráfica y de forma analítica en forma simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.
Procedimiento
Para multiplicar analíticamente un ángulo en sexagesimal, en forma compleja, por un número natural:
- Multiplicamos por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
- Si los segundos resultantes son superiores a 60, los transformamos en minutos, y se lo añadimos a los minutos.
- Si los minutos resultantes son superiores a 60, los transformamos en grados, y se lo añadimos a los grados.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo: Multiplicación de un ángulo por un número
Calcula la siguiente multiplicación de un ángulo en sexagesimal en forma compleja por un número natural:
18º 26' 35"
x 3
_______________
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
Pero 79' = 1º 19', luego
Realiza en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:
- a) 56º 20' 40" x 2
- b) 37º 42' 15" x 4
- c) 125º 15' 30" x 3
Multiplicación de un ángulo por un número, en forma compleja [Mostrar]
Multiplicación de ángulos por un número en forma compleja en sexagesimal.
Calcula: (25º 12' 37")· 5
División por un número natural
La división de un ángulo por un número natural es una operación que consiste en separar el ángulo en tantas partes iguales como nos indique el número.
- La división se realiza de forma analítica dividiendo la amplitud del ángulo entre el número natural correspondiente.
- La división gráfica resulta más compleja ya que no siempre se puede hacer con regla y compás.
Por ejemplo, la división de un ángulo en tres partes iguales (el famoso problema de la trisección del ángulo), es imposible para la mayor parte de los ángulos. En cambio, siempre es posible calcular la división de un ángulo en dos partes iguales gráficamente, mediante el trazado de la bisectriz del ángulo.
Construcción gráfica de la trisección de un ángulo recto, con regla y compás.
Actividad en la que podrás ver como se dividen ángulos por números naturales. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.
Procedimiento
Para dividir analíticamente un ángulo en sexagesimal, en forma compleja, entre un número natural:
- Dividimos los grados entre ese número.
- Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos.
- Dividimos los minutos.
- Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. #Dividimos los segundos.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo: División por un número en forma compleja
Calcula la siguiente división de un ángulo en sexagesimal en forma compleja entre un número natural:
Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:
- a) 56º 20' 40" : 5
- b) 37º 42' 15" : 4
- c) 125º 15' 30" : 3
División un ángulo entre un número en forma compleja [Mostrar]
División de un ángulo entre un número en forma compleja en sexagesimal.
Calcula: (139º 34' 48") : 6
Calcula: (50º 20' 26") : 12
Multiplicación y división en forma compleja, en el sistema sexagesimal.
Actividades
3 ejercicios sobre medida y tipos de ángulos.
- Actividad en la que podrás ver como se suman, restan, multiplican o dividen ángulos en sexagesimal, en forma compleja.
- Ejercicios resueltos.
Ejercicios resueltos sobre operaciones con ángulos en sexagesimal.
Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones con ángulos en sexagesimal.
En esta escena podrás ver como se opera con ángulos gráficamente y analíticamente.
Ángulos en los polígonos
Ángulos interiores y exteriores
- Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
- Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.
En el dibujo de la derecha, el ángulo  es interno y los ángulos  y  son sus correspondientes ángulos externos.
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Polígonos cóncavos y convexos
- Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
- Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
Ángulos en un triángulo
Propiedad
Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.
Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).
También puedes verlo en la siguiente escena de Geogebra.
En esta escena podrás ver como se obtiene la suma de los ángulos triángulo.
Ejemplos que ilustran la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.
Ángulos en un cuadrilátero
Propiedad
Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.
En la siguiente escena de Geogebra.
En esta escena podrás ver como se calcula la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.
Halla el ángulo que falta en los siguientes cuadriláteros.
Halla los ángulos que faltan en los siguientes cuadriláteros.
Halla el ángulo que falta en el siguiente cuadrilátero.
Ángulos en un polígono de n lados
- Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
- Ejemplos de aplicación.
- Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.
Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.
Suma de los ángulos interiores de un polígono.
- Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
- Cálculo de los ángulos interiores de un polígono regular y de su suma.
Ángulos interiores de un cuadrado y de un hexágono regular.
¿Existe un polígono convexo cuyos ángulos sumen 1440º? Indica su nombre y la cantidad de lados que tiene.
Ángulo exterior de un polígono regular
Actividades
Ejercicios de autoevaluación sobre los ángulos en los polígonos.
Ejercicios de autoevaluación sobre los ángulos en los polígonos.
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central
| Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.
En la figura está representado el ángulo  y su arco correspondiente AB.
La medida angular del arco AB es la de su ángulo central .
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En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo central y el arco de circunferencia que determina.
Ángulo inscrito
| Se llama ángulo inscrito en una circunferencia al que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.
En la figura está representado el ángulo inscrito  .
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Propiedades
Propiedades
- Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
- La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Las dos primeras propiedades se pueden comprobar (no es una demostración) en la siguiente escena:
En esta escena podrás comprobar la relación que hay entre ángulos centrales y ángulos inscritos en una circunferencia.
La tercera propiedad la puedes comprobar en esta otra escena:
En esta escena podrás comprobar qué propiedad tienen todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia.
En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo inscrito y su relación con el ángulo central correspondiente.
En esta actividad podrás ver cómo un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Actividades y videotutoriales
Ángulos centrales e incritos. Propiedad.
Aplicación de las propiedades de los ángulos inscritos a problemas de cuerdas que se cortan en una circunferencia.
Aplicación de las propiedades de los ángulos inscritos a problemas de cuerdas que se cortan en una circunferencia.
Ejercicios de autoevaluación sobre ángulos centrales e inscritos.
Ángulos en una circunferencia: Interior, central, inscrito, semiinscrito, interior y circunscrito.
En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que puede haber en una circunferencia: central, inscrito, semiinscrito, circunscrito, interior, exterior.
En esta escena podrás practicar el cálculo del valor de distintos tipos de ángulos en una circunferencia.
Ángulos y puntos cardinales
Puntos cardinales
Los puntos cardinales son los cuatro sentidos que conforman un sistema de referencia cartesiano para representar la orientación en un mapa o en la propia superficie terrestre.Son los siguientes: Este (E), Oeste (O), Norte (N) y Sur (S).
- El Este, que viene señalado por el lugar aproximado donde sale el Sol cada día.
- El Oeste, el punto indicado por la puesta del Sol en su movimiento aparente.
- La línea Este–Oeste se la considera como el eje de las abscisas en un sistema de coordenadas geográficas.
- El eje de las ordenadas estaría descrito por la línea Norte–Sur, que se corresponde con el eje de rotación terrestre.
Esta composición genera cuatro ángulos de noventa grados que a su vez se dividen por las bisectrices, generando Noroeste (NE), Suroeste (SE), Noreste (NE) y Sureste (SE). Si seguimos subdividiendo, obtenemos 8 direcciones terciarias: Nor-noroeste (NNO); Nor- noroeste (NNO); Sur-sureste (SSE); Sur-suroeste (SSO); Este- noreste (ENE); Este-sureste (ESE); Oeste-noroeste (ONO) y Oeste-suroeste (OSO), obteniendose la rosa de los vientos que es usada en navegación desde siglos ancestrales, y que tienes representada en la imagen de la derecha.
La palabra cardinal se deriva del nombre latino «cardo», que identificaba, en las ciudades romanas, la calle trazada de norte a sur y que pasaba por el centro de la ciudad. Esto significa que el único punto verdaderamente cardinal, al menos desde el punto de vista etimológico, debería ser el Norte, y, en menor grado, el Sur. Por eso se usa la expresión «de una importancia cardinal» cuando se quiere resaltar esa importancia. De los puntos cardinales, es el Norte el que identifica la dirección de la orientación, por lo que suele decirse en sentido figurado que una persona ha perdido su Norte cuando se encuentra desorientada o ha perdido su rumbo.
Rumbo
Posicionándonos en el origen de coordenadas, si nos moíésemos siguiendo la línea discontinua, nuestro rumbo sería N35ºE
Rumbo es la dirección en la que nos movemos o navegamos, o en la cual nos dirigimos o miramos y suele expresarse en forma del ángulo agudo que forma esta dirección con la línea Norte–Sur.
En el gráfico, podemos decir que el rumbo PQ es N35°O, o bien que Q está 35° al oeste del norte (N35°O) de P.
En navegación se define el rumbo como el ángulo medido en el plano horizontal entre el norte y la dirección de avance del barco, medido en círculo, es decir, de 0º a 360º.
Los ángulos y los puntos cardinales.
Dos ciudades A y B están separadas 50 millas. La ciudad b está situada con respecto a la ciudad A, a 58º sureste. Una tercera ciudad, C, se ve desde A en la dirección S28ºE y desde la ciudad B en la dirección S62ºO. Calcula la distancia en millas entre las ciudades B y C.
Ejercicios
, 
y 
. Determina el valor de dichos ángulos.
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y 
. Determina el valor de dichos ángulos.
lados es igual a 
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