Áreas y perímetros de polígonos (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Cuadriláteros
3 Triángulo
4 Polígonos
- 4.1 Polígonos irregulares
- 4.2 Polígonos regulares
5 Ejercicios propuestos

(Pág. 194)

Introducción

En esta introducción recordaremos como se clasifican los polígonos y daremos un pequeño paseo por los conceptos básicos del cálculo de áreas de figuras planas. Terminaremos con un video que condensa todas las fórmulas de áreas de figuras planas que vamos a ver a lo largo del tema.

Plantilla:Video: Clasificación de los polígonos

Plantilla:Video: Cálculo de áreas de polígonos

Fórmulas del área de figuras planas básicas (21'14") Sinopsis:

Tutorial que enuncia y razona las principales fórmulas de área de figuras geométricas básicas. Desde el rectángulo, pasando por el triángulo, rombo, trapecio... hasta el círculo y también aparece la explicación de qué es el número irracional pi.

Cuadriláteros

Áreas y perímetros en cuadriláteros (7'26") Sinopsis:

Videotutorial que condensa todo lo que vamos a ver sobre medidas en los cuadriláteros.

Cuadrado

Perímetro:

$P=4 \cdot a$

Área:

$A=a^2 \;\!$

Elementos:

$a\;$ : lado.

Área y perímetro del cuadrado

Tutorial (3'09") Sinopsis:

Área y perímetro del cuadrado. Ejemplo.

Problema 1 (1´16") Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado de 1.2 cm de lado.

Problema 2 (6'44") Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm.

Problema 3 (5'19") Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1 cm.

Área y perímetro del cuadrado

Actividad: Área y perímetro del cuadrado Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del cuadrado; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del cuadrado.

Autoevaluación: Área del cuadrado Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de cuadrados.

El cuadrado

Actividad: El cuadrado

a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.

b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.

c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.

d) Halla el ángulo central de un cuadrado.

e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.

f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) square edge length 5 cm area

b) square edge length 3 m perimeter

c) square edge length 20 mm diagonal length

d) square central angle

e) square interior angle

f) square interior angle sum

Rectángulo

Perímetro:

$P=2 \cdot a+2 \cdot b$

Área:

$A=a \cdot b$

Elementos:

$b\;$ : base.

$a\;$ : altura.

Área y perímetro del rectángulo

Tutorial 1 (4'24") Sinopsis:

Área y perímetro del rectángulo. Ejemplo.

Tutorial 2 (0'55") Sinopsis:

Área del rectángulo. Ejemplo.

Área del rectángulo (demostración) (4'13") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área del rectángulo.

Problema 1 (4´28") Sinopsis:

Calcula el área en metros cuadrados de una finca que tiene forma rectangular con un lado de 2 km y una diagonal de 6 km.

Problema 2 (5´27") Sinopsis:

Determinar el área de un rectángulo que tiene 60 cm de perímetro, si la razón entre sus lados es 3:2.

Problema 3 (4´47") Sinopsis:

Carlos construyó una mesa rectangular con un perímetro de 20 pies y un área de 24 pies cuadrados. Sabiendo que la mesa es más larga que ancha y que los lados son números enteros, calcula por tanteo las dimensiones de la mesa.

Problema 4 (3´15") Sinopsis:

Juan construyó un corral rectangular de 21 pies de largo y 78 pies de perímetro. ¿Cuál es el ancho del corral?

Área y perímetro del rectángulo

Actividad Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rectángulo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rectángulo.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de rectángulos.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas verbales de área y perímetro de rectángulos.

El rectángulo

Actividad: El rectángulo

a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en

m 2

b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en

d a m 2

c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters

b) rectangle edge lengths 30 m, 5 dam perimeter in dekameters

c) rectangle edge lengths 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters

Paralelogramo

Perímetro:

$P=2 \cdot c+2 \cdot b$

Área:

$A=a \cdot b$

Elementos:

$b\;$ : base.

$a\;$ : altura.

$c\;$ : lado

Nota:

El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Área y perímetro del romboide

Tutorial 1 (1´39") Sinopsis:

Área y perímetro del romboide. Ejemplos.

Tutorial 2 (0'34") Sinopsis:

Área del paralelogramo. Ejemplo.

Área del romboide (demostración) (5´29") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área del romboide.

Problema 1 (1´56") Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un romboide de lados 20 cm y 13 cm, siendo la altura de 12 cm..

Problema 2 (8´34") Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un romboide a partir de la información que aparece dibujada.

Área del romboide

Actividad Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del romboide y practicar con ella.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de romboides.

El romboide

Actividad: El romboide

a) Halla el perímetro de un romboide de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm.

b) Halla el área de un romboide de 50 cm de base y 2 dm de altura.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters

a) parallelogram width 5 cm heigth 2 dm area

Rombo

Perímetro:

$P=4 \cdot a$

Área:

$A=\cfrac {D \cdot d}{2}$

Elementos:

$a\;$ : lado.

$D\;$ : diagonal mayor.

$d\;$ : diagonal menor.

Nota:

El área es la mitad de la de un rectángulo cuyas dimensiones sean las diagonales del rombo.

Área y perímetro del rombo

Tutorial (1´50") Sinopsis:

Ejemplo de cálculo del área y del perímetro de un rombo.

Área del rombo (demostración) (2´52") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área de un rombo.

Nota: Hay un error al comienzo del video al enunciar la fórmula (dice "semiproducto de las longitudes de los lados" y debería decir "semiproducto de las longitudes de las diagonales"), aunque luego el resto de la demostración es correcta.

Problema 1 (8´12") Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 36 cm y 24 cm.

Problema 2 (4'00") Sinopsis:

El lado de un rombo mide 20 m y una de las diagonales 32 m. Calcula su área.

Problema 3 (4'53") Sinopsis:

Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 5 m y 6 m, respectivamente.

Problema 4 (4'39") Sinopsis:

Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 10 y 14 cm, respectivamente.

Área y perímetro del rombo

Actividad 1: Del rombo al rectángulo Descripción:

Actividad 2: Área y perímetro del rombo Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rombo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rombo.

Autoevaluación: Área del rombo Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de rombos.

El rombo

Actividad: El rombo

a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en

d m 2

b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters

b) rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters

Trapecio

Perímetro:

$P=b+B+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}$

Elementos:

$B\;$ : base mayor.

$b\;$ : base menor.

$a\;$ : altura.

$c \ , d\;$ : lados oblicuos.

Área y perímetro del trapecio

Tutorial (4´26") Sinopsis:

El trapecio y su área. Ejemplo.

Área del trapecio (demostración) (4´27") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área de un trapecio.

Problema 1 (4´36") Sinopsis:

Halla el área de un trapecio isósceles que tiene 9 cm de base menor, 12 cm de base mayor y 3 cm de altura.

Problema 2 (5´39") Sinopsis:

Halla el área de un trapecio isósceles que tiene 8 cm de base menor, 12 cm de base mayor y 5 cm de lados no paralelos.

Problema 3 (8´21") Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles que tiene 9 cm de base menor, 15 cm de base mayor y 5 cm de lados no paralelos.

Problema 4 (3'44") Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 6 cm y 2 cm, respectivamente. La altura mide 3 cm. Calcula su perímetro.

Problema 5 (4'10") Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 4 cm y 7 cm, y su altura 4 cm. Halla su perímetro.

Problema 6 (4'59") Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 8 cm y 6 cm, y su altura 5 cm. Halla su perímetro y su área.

Área del trapecio

Área del trapecio Descripción:

Esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del trapecio; en la segunda podrás aplicar dicha fórmula en un caso práctico.

Otra forma de calcular el área del trapecio Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del trapecio de otra manera. Además podrás realizar el cálculo del área en una actividad.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de trapecios.

Ejercicio resuelto: Área del trapecio

Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo, 14 cm.

Solución:

Utilizando el teorema de Pitágoras se halla la altura a=10.7 cm. A continuación se aplica la fórmula para hallar el área.

Solución: $A= 492.2 cm^2\;$

El trapecio

Actividad: El trapecio

a) Halla el área de un trapecio de bases 5 cm y 7 cm y altura 4 cm.

b) Halla la altura de un trapecio de bases 5 cm y 7 cm y área 24

c m 2

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) trapezoid base lengths 5cm, 7cm height 4cm area

b) trapezoid base lengths 5cm, 7cm area 24cm^2 height

Triángulo

Perímetro:

$P=b+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {b \cdot a}{2}$

Elementos:

$b\;$ : base.

$a\;$ : altura.

$c \ , d\;$ : lados.

Nota:

Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

Área y perímetro del triángulo

Tutorial 1 (6'58") Sinopsis:

Videotutorial que condensa todo lo que vamos a ver sobre medidas en los triángulos.

Tutorial 2 (3'55") Sinopsis:

Fórmula general y tres casos prácticos de cómo calcular el área de un triángulo.

Tutorial 3 (0'36") Sinopsis:

Deducción del área de un triángulo.

Tutorial 4 (5'29") Sinopsis:

Deduciendo la fórmula del área del triángulo.

Tutorial 5 (3'26") Sinopsis:

Demostración de área del triángulo.

Problema 1 (1'50") Sinopsis:

Calcula la altura de un triángulo de 34 cm² de área y 10 cm de base.

Problema 2 (3'00") Sinopsis:

El área de un triángulo isósceles es de 24 dm². Si sabemos que la altura relativa al lado desigual es de 100 cm, ¿cuántos cm mide este lado?

Problema 3 (4'09") Sinopsis:

Calcula el área de un triángulo equilátero de 7 cm de lado.

Problema 4 (3'56") Sinopsis:

Calcula el la altura, el área y el perímetro de un triángulo isósceles de 8 cm de base y cuyos lados iguales miden 7 cm.

Problema 5 (5'34") Sinopsis:

Calcula el área de un triángulo equilátero de 36 m de perímetro.

Área y perímetro del triángulo

Actividad 1 Descripción:

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del triángulo.

Actividad 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área y el perímetro de triángulos.

Actividad 4 Descripción:

Actividades sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Fórmula de Herón

La superficie de un triángulo de lados $a\;$ , $b\;$ , $c\;$ viene dada por:

$A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,$

donde $s\;$ es el semiperímetro: $s=\frac{a+b+c}{2}$ .

Demostración:

Nota: El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente.

Supongamos un triángulo de lados $a\;$ , $b\;$ , $c\;$ , cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son $\hat{A}\;$ , $\hat{B}\;$ , $\hat{C}\;$ .

Por el teorema del coseno, tenemos que:

$\cos(\hat{C}) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:

$\sin(\hat{C}) = \sqrt{1-\cos^2(\hat{C})} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

La altura de un triángulo de base $a\;$ tiene una longitud $b sin(\hat{C})$ , por tanto siguiendo con la demostración

$A = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})$

$\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(\hat{C})$

$\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$

$\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.$

Fórmula de Herón Descripción:

En esta escena podrás calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

Fórmula de Herón

Ejercicio 1 (3´42") Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5.

Ejercicio 2 (3´42") Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 4.4, 6.7 y 9.3.

Ejercicio 3 (9´08") Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 24 cm y 7 cm.

El triángulo

Actividad: El triángulo

a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en

d m 2

b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.

c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1

m 2

d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters

b) triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area

c) isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths

c) equilateral triangle edge length 5cm area

Polígonos

Polígonos irregulares

Procedimiento

Para hallar el área de un polígono irregular, se descompone éste en triángulos, se calcula el área de cada uno y se suman.

En la imagen de la derecha tenemos un polígono dividido en cuatro triángulos. Deberé calcular el área de cada uno y sumarlas.

Polígonos regulares

Perímetro:

$P=n \cdot b$

Área:

$A=\cfrac {P \cdot a}{2}$

Elementos:

$b\;$ : lado.

$a\;$ : apotema.

Nota:

$n\;$ : número de lados.

Áreas y perímetros en polígonos regulares

Tutorial 1 (5'14") Sinopsis:

Áreas y perímetros en polígonos regulares.

Tutorial 2 (5'48") Sinopsis:

Áreas de polígonos regulares. Ejemplo.

Tutorial 3 (4'57") Sinopsis:

Áreas de polígonos regulares. Ejemplo

Tutorial 4 (1'00") Sinopsis:

Áreas de polígonos regulares.

Problema 1 (2´01") Sinopsis:

Halla el área de un pentágono regular de 2.5 cm de lado y 2.16 cm de apotema.

Problema 2 (4´52") Sinopsis:

Halla el área de un hexágono regular de 9 cm de lado.

Problema 3 (5´06") Sinopsis:

Halla el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 6 dm de radio.

Problema 4 (3´11") Sinopsis:

La base de un edificio con forma de pentágono regular tiene una superficie de 1000 m². Si la distancia del centro del edificio a una de las puertas, situada en el punto medio de uno de sus lados, es de 12 m, ¿Cuánto mide cada lado del edificio?

Problema 5 (6'27") Sinopsis:

Calcula el área de una hexágono regular de 10 cm de lado.

Problema 6 (6'33") Sinopsis:

¿Cuántas baldosas con forma de hexágono regular de 80 cm de lado se necesitan para embaldosar una habitación de 13 m de largo por 9.4 m de ancho?

Problema 7 (3'08") Sinopsis:

Calcula el lado de un octógono regular de 4 cm de apotema y 110 cm² de área.

Área y perímetro de polígonos regulares

Del polígono regular al rectángulo Descripción:

Deducción del área de un polígono regular Descripción:

En esta escena podrás ver cómo se deduce el área de un polígono regular.

Cálculo del área de polígonos regulares Descripción:

En esta escena podrás calcular el área y el perímetro de algunos polígonos regulares.

Área del polígono regular Descripción:

Actividad sobre áreas de polígonos regulares.

Polígonos regulares Descripción:

En esta escena podrás estudiar los elementos de un polígono regular: lados, diagonales, apotema y ángulos. También podrás calcular el perímetro y el área. El número de lados puede elegirse entre 3 y 20.

Actividad: Área y perímetro del polígono regular Descripción:

Actividades guiadas sobre áreas de polígonos regulares.

Autoevaluación 1: Área del polígono regular Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de polígonos regulares.

Autoevaluación 2: Área del polígono regular Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de polígonos regulares.

Polígonos regulares

Actividad: Polígonos regulares

a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado.

b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio.

c) Halla el ángulo central de un pentágono regular.

d) Halla el ángulo interior de un octógono regular.

e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales.

f) Halla el área (en

d m 2

) de un hexágono regular de 4 cm de apotema.

g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) regular hexagon edge length 5cm area

b) regular hexagon radius 3m perimeter

c) regular pentagon central angle

d) regular octagon interior angle

e) regular 9-gon interior angle sum in deg

f) regular 6-gon apothem 4cm area in dm^2

g) regular 6-gon radius 3 m incircle

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Áreas de polígonos

(Pág. 194)

1 al 4

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Categorías: Matemáticas | Geometría

Áreas y perímetros de polígonos (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

Introducción

Cuadriláteros

Cuadrado

Rectángulo

Paralelogramo

Rombo

Trapecio

Triángulo

Polígonos

Polígonos irregulares

Polígonos regulares

Ejercicios propuestos

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