Ángulos (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Ángulos
2 Tipos de ángulos
- 2.1 Clasificación de los ángulos según su amplitud
3 Relaciones entre ángulos
- 3.1 Ángulos de lados paralelos o perpendiculares
- 3.2 Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal
4 Ángulos en los polígonos
5 Ángulos en la circunferencia
6 Actividades y videotutoriales
7 Ejercicios propuestos

(Pág. 184)

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Ángulos

Llamamos ángulo a cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas con el mismo origen.
Las semirrectas se llaman lados y el origen común de ambas, vértice.
Llamaremos amplitud del ángulo al tamaño de cada una de las regiones.

En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.

Definición de ángulo Descripción:

Actividad en la que deberás construir un ángulo usando las herramientas de dibujo que se te proporcionan.

Ángulos

Tutorial 1 (3'58") Sinopsis:

Ángulos: definición, clasificación y medida.

Tutorial 2 (10'39") Sinopsis:

Ángulos: definición, clasificación y medida.

Tutorial 3 (9'29") Sinopsis:

Concepto de ángulo. Elementos. Amplitud. Región angular

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Tipos de ángulos

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Clasificación de los ángulos según su amplitud

Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos:

Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
Ángulo convexo es aquel que es menor que un ángulo llano.
Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.

Clasificación de los ángulos según su amplitud Descripción:

En esta escena podrás ver una animación con los distintos tipos de ángulos según su abertura.

Clasificación de los ángulos según su amplitud

Tutorial 1 (4´07") Sinopsis:

En este video vamos a ver cómo se clasifican los ángulos según su amplitud: rectos agudos, obtusos, llanos, completos, nulos, convexos y cóncavos.

Tutorial 2 (2´34") Sinopsis:

En este video vamos a clasificar los ángulos según su amplitud de manera dinámica en: nulo, obtuso, llano, cóncavo, convexo, recto y agudo.

Tutorial 3 (5´06") Sinopsis:

En este video vamos a ver la clasificación de los ángulos de acuerdo a sus medidas: ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo llano, ángulo completo, ángulo entrante o cóncavo, ángulo negativo y ángulo nulo.

Tipos de ángulos según su amplitud Descripción:

Actividad en la que comprobarás tus conocimientos sobre los tipos de ángulos.

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Relaciones entre ángulos

Dos ángulos son iguales si tienen la misma amplitud.
Ángulos complementarios son aquellos cuya suma es un ángulo recto.
Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es un ángulo llano.
Ángulos conjugados son aquellos cuya suma es un ángulo completo.
Dos ángulos son consecutivos si tienen el vértice y un lado en común.
Dos ángulos son adyacentes si tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. Por tanto son consecutivos y suplementarios simultáneamente.
Ángulos opuestos por el vértice son aquellos que cumplen que los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos consecutivos

a y c son opuestos por el vértice,

al igual que b y d

Relaciones entre ángulos

Tutorial 1 (3'33") Sinopsis:

Ángulos complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice y formados por rectas secantes.

Tutorial 2 (4´36") Sinopsis:

Con este video vamos a estudiar la clasificación de los ángulos de acuerdo a su relación: ángulos consecutivos, ángulos complementarios, ángulos suplementarios, ángulos conjugados, ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.

Tutorial 3 (9´19") Sinopsis:

Ángulos complementarios y suplementarios. Ejemplos.

Tutorial 4 (5'55") Sinopsis:

Ángulos relacionados según su posición y según su amplitud.

Tutorial 5 (5´43") Sinopsis:

Ángulos consecutivos, complementarios, suplementarios y adyacentes.

Relaciones entre ángulos

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que podrás observar las distintas relaciones que hay entre ángulos.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás interactuar con ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice.

Actividad 3 Descripción:

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Ángulos de lados paralelos o perpendiculares

Proposición

Dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios.
Dos ángulos cuyos lados son perpendiculares o son iguales o son suplementarios.

Ángulos de lados paralelos Descripción:

En esta escena podrás comprobar que dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios .

Ángulos de lados perpendiculares Descripción:

En esta escena podrás comprobar que dos ángulos cuyos lados son perpendiculares o son iguales o son suplementarios.

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Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:

Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto de cada paralela, pero uno es interno y el otro externo a las paralelas.
Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
Ángulos conjugados externos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.

Propiedades

Ángulos alternos internos son iguales.
Ángulos alternos externos son iguales.
Ángulos correspondientes son iguales.
Ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Ángulos conjugados internos son suplementarios.
Ángulos conjugados externos son suplementarios.
Ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Tutorial 1 (2'55") Sinopsis:

Videotutorial.

Tutorial 2 (7'02") Sinopsis:

Videotutorial.

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal Descripción:

En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas mediante otra recta transversal. También podrás ver cuando estos ángulos coinciden o son suplementarios.

Alternos internos: 4=6; 3=5

Alternos externos: 1=7; 2=8

Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7

Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8

Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4

Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8

Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal Descripción:

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Ángulos en los polígonos

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Ángulos interiores y exteriores

Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.

En el dibujo de la derecha, el ángulo $\alpha \,$ es interno y los ángulos $\beta \,$ y $\beta' \,$ son sus correspondientes ángulos externos.

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Polígonos cóncavos y convexos

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

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Ángulos en un triángulo

Propiedad

Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Demostración:

Demostración (1'18") Sinopsis:

Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).

También puedes verlo en la siguiente escena de Geogebra.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la suma de los ángulos triángulo.

Tutorial (2'37") Sinopsis:

Ejemplos que ilustran la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

Problema (5'54") Sinopsis:

Los ángulos de un triángulo miden $(2x-30)^o\,$ , $(x+15)^o\,$ y $(3x+75)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

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Ángulos en un cuadrilátero

Propiedad

Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

Demostración:

En la siguiente escena de Geogebra.

Suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

Ángulos en el cuadrilátero

Ejercicio 1a (6'48") Sinopsis:

Halla el ángulo que falta en los siguientes cuadriláteros.

Ejercicio 1b (5'23") Sinopsis:

Halla los ángulos que faltan en los siguientes cuadriláteros.

Ejercicio 2 (1'51") Sinopsis:

Halla el ángulo que falta en el siguiente cuadrilátero.

Ejercicio 3 (3'06") Sinopsis:

Los ángulos de un cuadrilátero miden $(5x-8)^o\,$ , $(4x+4)^o\,$ , $(6x+14)^o\,$ y $(7x-2)^o\,$ . Determina el valor de dichos ángulos.

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Ángulos en un polígono de n lados

Propiedades

La suma de los ángulos interiores de un polígono de $n\,$ lados es igual a $(n-2) \cdot 180^\circ$ .
Si el polígono de lados es regular:
- Cada ángulo interior mide $\cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ .
- Cada ángulo exterior mide $\cfrac{360^\circ}{n}$ .

Demostración:

Desde un vértice cualquiera del polígono se pueden trazar n-3 diagonales que dividen al polígono en n-2 triángulos. Sumando los ángulos de todos esos triángulos se obtiene la fórmula, ya que la suma de los ángulos de cada triángulo es 180º.

Si además el polígono es regular:
- Al tener todos sus ángulos interiores iguales, cada uno de ellos se obtendrá dividiendo el valor del primer apartado por el número de lados, n.
- Para ver la medida del ángulo exterior restaremos a 180º el ángulo interior:

$180^\circ - \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{360^\circ}{n}$

Ángulos interiores de un polígono

Tutorial 1 (7´16") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
Ejemplos de aplicación.
Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.

Tutorial 2 (3´24") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.

Tutorial 3 (6´13") Sinopsis:

Suma de los ángulos interiores de un polígono.

Tutorial 4 (9´02") Sinopsis:

Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Cálculo de los ángulos interiores de un polígono regular y de su suma.

Tutorial 5 (5´38") Sinopsis:

Ángulos interiores de un cuadrado y de un hexágono regular.

Ejercicio (2´20") Sinopsis:

¿Existe un polígono convexo cuyos ángulos sumen 1440º? Indica su nombre y la cantidad de lados que tiene.

Ángulos exteriores de un polígono regular (1´28") Sinopsis:

Ángulo exterior de un polígono regular

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Ángulos en la circunferencia

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Ángulo central

Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

En la figura está representado el ángulo $\widehat{AOB}$ y su arco correspondiente AB.

La medida angular del arco AB es la de su ángulo central $\widehat{AOB}$ .

Ángulo central Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo central y el arco de circunferencia que determina.

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Ángulo inscrito

Se llama ángulo inscrito en una circunferencia al que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.

En la figura está representado el ángulo inscrito $\widehat{BAC}$ .

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Propiedades

Propiedades

Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Demostración:

Las dos primeras propiedades se pueden comprobar (no es una demostración) en la siguiente escena:

Relación entre ángulos centrales e inscritos en una circunferencia Descripción:

En esta escena podrás comprobar la relación que hay entre ángulos centrales y ángulos inscritos en una circunferencia.

La tercera propiedad la puedes comprobar en esta otra escena:

Ángulo inscrito en una semicircunferencia Descripción:

En esta escena podrás comprobar qué propiedad tienen todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia.

Ángulo inscrito Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo inscrito y su relación con el ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito en una semicircunferencia Descripción:

En esta actividad podrás ver cómo un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

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Actividades y videotutoriales

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central e inscrito (1´43") Sinopsis:

Ángulos centrales e incritos. Propiedad.

Ejercicio 1 (9'47") Sinopsis:

Aplicación de las propiedades de los ángulos inscritos a problemas de cuerdas que se cortan en una circunferencia.

Ejercicio 2 (8'21") Sinopsis:

Aplicación de las propiedades de los ángulos inscritos a problemas de cuerdas que se cortan en una circunferencia.

Autoevaluación: Ángulos en la circunferencia Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ángulos centrales e inscritos.

Actividad: Ángulos en la circunferencia Descripción:

Ángulos en la circunferencia (ampliación) (8'21") Sinopsis:

Ángulos en una circunferencia: Interior, central, inscrito, semiinscrito, interior y circunscrito.

Ángulos en la circunferencia (ampliación) Descripción:

En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que puede haber en una circunferencia: central, inscrito, semiinscrito, circunscrito, interior, exterior.

Ejercicios: Ángulos en la circunferencia (ampliación) Descripción:

En esta escena podrás practicar el cálculo del valor de distintos tipos de ángulos en una circunferencia.

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