Números complejos: Definición (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Breve historia de los números complejos
2 La unidad imaginaria
- 2.1 Potencias de la unidad imaginaria
3 El conjunto de los números complejos
4 Representación gráfica de los complejos en forma binómica
- 4.1 Familias de complejos en forma binómica
5 Ejercicios propuestos

(Pág. 148)

Breve historia de los números complejos

Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad, acabaron por ser aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.

Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501–1576) y Bombelli (1526–1572) relacionados con el cálculo de ecuaciones de tercer grado. Fue Descartes (1596–1650) quien afirmó que “ciertas ecuaciones algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo imaginarias para referirse a ellas. Leibniz decía de los números imaginarios que eran "una especie de anfibios entre el ser y la nada".

Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución de un problema resulta ser un número complejo esto se interpreta como que el problema no tiene solución. Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos. Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no se avanzó mucho en la comprensión de los números complejos.

El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se preocuparon de la naturaleza de los mismos; no se preguntaron ¿qué es un número complejo?, sino que se dijeron ¿para qué sirven?, ¿qué puede hacerse con ellos? Es Gauss quien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las matemáticas al probar en 1799 el conocido como Teorema Fundamental del álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raíz se cuenta tantas veces como su orden, n raíces que también son números complejos.

El término, hoy usado de “números complejos” se debe a Gauss, quien también hizo popular la letra “i” que Euler había usado esporádicamente.

Fig. 1: René Descartes

La unidad imaginaria

Ya vimos como el conjunto de los números reales surge a partir de la necesidad de ampliar los conjuntos numéricos, partiendo de los números naturales, y pasando por los números enteros y los números racionales.

Breve resumen de la historia de tu relación con los números (4´18") Sinopsis: [Mostrar]

No obstante, el conjunto de los números reales también se nos queda chico.

Hay ecuaciones como

$x^2 +9 = 0 \,$

que no tienen solución en el conjunto de los números reales

$x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}$ (no existe en $\mathbb{R}$ )

Vamos a definir un nuevo conjunto que amplie al conjunto de los números reales y en el cual estas ecuaciones si tengan solución. Ese conjunto va a ser el conjunto de los números complejos. Para ello habrá que a empezar dando sentido a las raíces de números negativos.

Se denomina unidad imaginaria a $\sqrt{-1}$ . Se designa por la letra $i\,$ .

$i=\sqrt{-1}$

Con esta definición, la ecuación anterior ahora si tiene solución "imaginaria":

$x^2 +9 = 0\;$

$x=\pm \sqrt{-9} \,=\, \pm 3 \, \sqrt{-1} \,=\, \pm \, 3i$

Fig. 2: El nombre de i le fue dado por Euler en 1777, por imaginario, y llamó imaginarios a todos los números en cuya expresión aparecía la i.

Potencias de la unidad imaginaria

Potencias de i

$i^0=1\,$
$i^1=i\,$
$i^2=(\sqrt{-1} \, )^2=-1$
$i^3=i \cdot i^2=-i$
$i^4=i^2 \cdot i^2= (-1) \cdot (-1)=1$

A partir de $i^4\,$ se repiten cíclicamente los valores.

Ejemplo [Mostrar]

La unidad imaginaria [Mostrar]

El conjunto de los números complejos

Definimos el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:

$\mathbb{C}=\big\{ a+bi \, / \, a, \, b \in \mathbb{R} \big\}$

$\mbox{Complejos} ~(\mathbb{C}) \begin{cases} \mbox{Reales} ~ (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales}~ (\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros}~(\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales}~(\mathbb{N})\\ \mbox{Enteros negativos} \\ \mbox {Cero} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ \mbox{Imaginarios} \end{cases}$

Forma binómica de un número complejo

La expresión $a+bi\,$ se denomina forma binómica de un número complejo.

Si escribimos $z=a+bi\,$ , entonces:

$a\,$ se le llama parte real o componente real y se denota $Re(z)=a\,$ .
$b\,$ se llama parte imaginaria o componente imaginaria y se denota $Im(z)=b\,$ ..

Si $b=0\,$ , lo que tenemos es un número real, por tanto $\mathbb{R} \sub \mathbb{C}$ .

Si $b \ne 0\,$ , lo que tenemos no es un número real, se llama número imaginario.

Si $a=0\,$ y $b \ne 0\,$ , se le llama número imaginario puro.

Observación: [Mostrar]

Forma binómica de un número complejo [Mostrar]

Igualdad de números complejos

Dos números complejos en forma binómica decimos que son iguales si tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.

$\forall z, w \in \mathbb{C}, \ z=w \iff Re(z)=Re(w) ~\wedge~ Im(z)=Im(w)$

Igualdad de números complejos (8´39") Sinopsis: [Mostrar]

Opuesto y conjugado de un complejo

Se define el opuesto de un complejo $z=a+bi\,$ como el número complejo $-z=-a-bi\,$ .
Se define el conjugado de un complejo $z=a+bi\,$ como el número complejo $\bar z =a-bi\,$ .

Opuesto y conjugado de un número complejo [Mostrar]

Proposición

Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados.

Ejemplo: [Mostrar]

El conjunto de los números complejos [Mostrar]

Resolución de ecuaciones polinómicas en el campo complejo [Mostrar]

(Pág. 149)

Representación gráfica de los complejos en forma binómica

Si para representar los números reales utilizabamos una recta, la recta real, para representar los números complejos vamos a utilizar un plano, el plano complejo.

Un número complejo en forma binómica $a+bi\,$ queda determinado por un par de números reales: su parte real, $a\,$ y su parte imaginaria, $b\,$ .

El par $(a,b)\,$ representa las coordenadas de un punto del plano. Lo llamaremos el afijo del número complejo $a+bi\,$ .

Llamaremos plano complejo a la conjunto de todos los puntos (a,b) que hemos descrito.

Al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.

Observación: [Mostrar]

Propiedades

Los números complejos situados en el eje real son números reales.
Los números complejos situados en el eje imaginario son números imaginarios puros.

Esta forma de representar los números complejos se la debemos a Gauss, matematico del siglo XIX. No obstante, en el siglo XVIII, el matemático danés Caspar Wessel había tenido la misma idea y la plasmó en sus tesis doctoral, aunque pasó absolutamente inadvertida. En 1806 Argand interpreta los números complejos como vectores en el plano.

Propiedades

Un número complejo y su conjugado tienen representaciones simétricas respecto del eje real (eje X)
Un número complejo y su opuesto tienen representaciones simétricas respecto del origen de coordenadas O.

Ejemplo: [Mostrar]