Ángulos (3ºESO Académicas)
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(Pág. 184)
Ángulos
En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Actividad en la que deberás construir un ángulo usando las herramientas de dibujo que se te proporcionan. ![]() Ángulos: definición, clasificación y medida. ![]() Ángulos: definición, clasificación y medida. ![]() Concepto de ángulo. Elementos. Amplitud. Región angular |
Tipos de ángulos
Clasificación de los ángulos según su amplitud
Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos:
- Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
- Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
- Ángulo convexo es aquel que es menor que un ángulo llano.
- Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
- Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
- Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
- Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
- Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver una animación con los distintos tipos de ángulos según su abertura.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
En este video vamos a ver cómo se clasifican los ángulos según su amplitud: rectos agudos, obtusos, llanos, completos, nulos, convexos y cóncavos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
En este video vamos a clasificar los ángulos según su amplitud de manera dinámica en: nulo, obtuso, llano, cóncavo, convexo, recto y agudo.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
En este video vamos a ver la clasificación de los ángulos de acuerdo a sus medidas: ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo llano, ángulo completo, ángulo entrante o cóncavo, ángulo negativo y ángulo nulo.
Actividad en la que comprobarás tus conocimientos sobre los tipos de ángulos.
Relaciones entre ángulos
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![](/wikipedia/images/thumb/8/88/Sensei.jpg/22px-Sensei.jpg)
Ángulos complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice y formados por rectas secantes.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Con este video vamos a estudiar la clasificación de los ángulos de acuerdo a su relación: ángulos consecutivos, ángulos complementarios, ángulos suplementarios, ángulos conjugados, ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Ángulos complementarios y suplementarios. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Ángulos relacionados según su posición y según su amplitud.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Ángulos consecutivos, complementarios, suplementarios y adyacentes.
Actividad en la que podrás observar las distintas relaciones que hay entre ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás interactuar con ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice.
![](/wikipedia/images/thumb/b/b5/Anaya_logo.jpg/22px-Anaya_logo.jpg)
Ángulos de lados paralelos o perpendiculares
Proposición
- Dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios.
- Dos ángulos cuyos lados son perpendiculares o son iguales o son suplementarios.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás comprobar que dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios .
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás comprobar que dos ángulos cuyos lados son perpendiculares o son iguales o son suplementarios.
Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal
Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:
Propiedades
En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas mediante otra recta transversal. También podrás ver cuando estos ángulos coinciden o son suplementarios. |
Ángulos en los polígonos
Ángulos interiores y exteriores
En el dibujo de la derecha, el ángulo |
Polígonos cóncavos y convexos
- Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
- Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
Ángulos en un triángulo
Propiedad
Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se obtiene la suma de los ángulos triángulo.
![](/wikipedia/images/thumb/4/49/Carreon.jpg/22px-Carreon.jpg)
Ejemplos que ilustran la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Los ángulos de un triángulo miden ,
y
. Determina el valor de dichos ángulos.
Ángulos en un cuadrilátero
Propiedad
Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.
En la siguiente escena de Geogebra.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se calcula la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Halla el ángulo que falta en los siguientes cuadriláteros.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Halla los ángulos que faltan en los siguientes cuadriláteros.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Halla el ángulo que falta en el siguiente cuadrilátero.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Los ángulos de un cuadrilátero miden ,
,
y
. Determina el valor de dichos ángulos.
Ángulos en un polígono de n lados
Propiedades
- La suma de los ángulos interiores de un polígono de
lados es igual a
.
- Si el polígono de
lados es regular:
- Cada ángulo interior mide
.
- Cada ángulo exterior mide
.
- Cada ángulo interior mide
- Desde un vértice cualquiera del polígono se pueden trazar n-3 diagonales que dividen al polígono en n-2 triángulos. Sumando los ángulos de todos esos triángulos se obtiene la fórmula, ya que la suma de los ángulos de cada triángulo es 180º.
- Si además el polígono es regular:
- Al tener todos sus ángulos interiores iguales, cada uno de ellos se obtendrá dividiendo el valor del primer apartado por el número de lados, n.
- Para ver la medida del ángulo exterior restaremos a 180º el ángulo interior:
![180^\circ - \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{360^\circ}{n}](/wikipedia/images/math/5/0/9/509109b65f9e51e389983a43bb92e929.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
- Ejemplos de aplicación.
- Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.
![](/wikipedia/images/thumb/f/f8/Yoestudio.jpg/22px-Yoestudio.jpg)
Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Suma de los ángulos interiores de un polígono.
![](/wikipedia/images/thumb/4/49/Carreon.jpg/22px-Carreon.jpg)
- Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
- Cálculo de los ángulos interiores de un polígono regular y de su suma.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ángulos interiores de un cuadrado y de un hexágono regular.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
¿Existe un polígono convexo cuyos ángulos sumen 1440º? Indica su nombre y la cantidad de lados que tiene.
![](/wikipedia/images/thumb/8/8f/Velazco.jpg/22px-Velazco.jpg)
Ángulo exterior de un polígono regular
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central
En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo central y el arco de circunferencia que determina.
Ángulo inscrito
Propiedades
Propiedades
- Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
- La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Las dos primeras propiedades se pueden comprobar (no es una demostración) en la siguiente escena:
En esta escena podrás comprobar la relación que hay entre ángulos centrales y ángulos inscritos en una circunferencia.
La tercera propiedad la puedes comprobar en esta otra escena:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás comprobar qué propiedad tienen todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia.
En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo inscrito y su relación con el ángulo central correspondiente.
En esta actividad podrás ver cómo un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Actividades y videotutoriales
![](/wikipedia/images/thumb/4/49/Carreon.jpg/22px-Carreon.jpg)
Ángulos centrales e incritos. Propiedad.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Aplicación de las propiedades de los ángulos inscritos a problemas de cuerdas que se cortan en una circunferencia.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Aplicación de las propiedades de los ángulos inscritos a problemas de cuerdas que se cortan en una circunferencia.
Ejercicios de autoevaluación sobre ángulos centrales e inscritos.
![](/wikipedia/images/thumb/b/b5/Anaya_logo.jpg/22px-Anaya_logo.jpg)
![](/wikipedia/images/thumb/0/06/Laescuelaencasa.jpg/22px-Laescuelaencasa.jpg)
Ángulos en una circunferencia: Interior, central, inscrito, semiinscrito, interior y circunscrito.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que puede haber en una circunferencia: central, inscrito, semiinscrito, circunscrito, interior, exterior.
En esta escena podrás practicar el cálculo del valor de distintos tipos de ángulos en una circunferencia.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Relaciones angulares |