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Fracciones propias e impropias
¿Qué pasa si el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se interpreta el hecho de tomar más partes de la unidad de las que que hay?
Vamos a dar respuesta a estas preguntas a continuación, pero primero necesitamos ver los conceptos de fracción propia e impropia.
- Fracciones propias son aquellas cuyo numerador (en valor absoluto) es menor que el denominador (en valor absoluto). Su valor absoluto es menor que 1.
- Fracciones impropias son aquellas que no son propias. Su valor absoluto es mayor que 1.
es una fracción propia porque 3 < 5.
es una fracción impropia porque 7 > 2.
Representación gráfica de fracciones propias e impropias.
Actividad en la que debes separar las fracciones propias de las impropias
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Actividad: Números racionales
- a) Representa la fracción 7/9 en forma de diagrama de tarta.
- b) Representa la fracción 22/6 en forma de diagrama de tarta.
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) pie chart 7/9
- b) pie chart 22/6
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Las fracciones impropias representan algo mayor que el todo, es decir, cuando trabajamos con una fracción impropia damos a entender que tenemos unidades completas de algo y, posiblemente, alguna unidad incompleta.
Esto queda de manifiesto en la proposición y en los ejemplos que damos a continuación.
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|  Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta |
Ejemplo 1:
La fracción 
es impropia.
Es mayor que la unidad y podemos expresarla como número mixto (Ver Fig. 4):
Ejemplo 2:
La frácción 
es impropia. La podemos decomponer en la suma de un entero y una fracción propia.
Para ello, dividimos 35 entre 8:
El dividendo 
, el divisor 
, el cociente 
y el resto 
.
Aplicando la proposición anterior:
y sustituyendo cada letra por su valor:
Actividades sobre el signo de las fracciones y sobre la descomposición de fracciones impropias como suma de un entero y una fracción propia.
Números mixtos
Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia como un número entero más una fracción propia, en la que se omite el signo de suma.
La fracción situada a la derecha del entero suele escribirse con una tipografía de menor tamaño para que no se confunda con una multiplicación de un número por una fracción.
Números mixtos. Ejemplos de paso de forma fraccionaria a mixta y viceversa.
Conversión de fracción impropia a número mixto
Conversión de fracción impropia a número mixto.
Conversión de fracción impropia a número mixto.
Escribiendo una fracción impropia com un número mixto
Convierte a número mixto la siguiente fracción impropia: 
Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón
Convierte a número mixto la siguiente fracción impropia: 
Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón
Conversión de número mixto a fracción impropia
Conversión de número mixto a fracción impropia.
Conversión de número mixto a fracción impropia.
Convierte a fracción impropia el siguiente número mixto: 
Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón
Convierte a fracción impropia el siguiente número mixto: 
Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón
Números mixtos y fracciones impropias.
Actividades de nivel variable en las que deberás obtener la forma mixta de una fracción.
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Calculadora: Fracciones mixtas
- A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta usaremos la tecla
 .
- B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos otra vez .
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Actividad: Expresar fracciones en forma de número mixto
- a) Expresa en forma de número mixto:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) mixed fraction 66/8
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Fracciones equivalentes
El siguiente videotutorial condensa todo lo que se va a ver en este tema sobre fracciones equivalentes:
Fracciones equivalentes y fracciones irreducibles [Mostrar]
Tutorial que explica el concepto de fracciones equivalentes y como obtener la fracción irreducible a una dada.
- 00:00a 04:30: Conceptos básicos y ejemplo introductorio.
- 04:30 a 06:20: Definición matemática de fracción equivalente y propiedad básica de equivalencia.
- 06:20 a 14:20: Ejemplos de identificación de fracciones equivalentes.
- 14:50 a 16:50: Ejemplos de completar fracciones equivalentes.
- 16:50 a 18:30: Definición de fracción irreducible.
- 18:30 a 24:53: Cálculo de fracciones irreducibles (simplificación de fracciones).
- ¿Qué son fracciones equivalentes?
- Cómo conseguir fracciones equivalentes.
- Obtención de la fracción irreducible
- Cómo comprobar que dos fracciones son equivalentes.
Dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo valor.
En la Fig.1 tienes ejemplos de fracciones equivalentes. Fíjate como representan la misma porción de la unidad aunque sus numeradores y denominadores sean diferentes.
- ¿Qué son fracciones equivalentes?
- Cómo comprobar que dos fracciones son equivalentes (2 métodos).
- Cómo conseguir fracciones equivalentes.
- Ejercicios
Introducción a fracciones equivalentes.
Modelos de fracciones equivalentes.
Escribe tres fracciones que representen cada uno de los puntos representados en la recta numérica.
Escribe tres fracciones que representen cada uno de los puntos representados en la recta numérica.
Escribe tres fracciones que representen cada uno de los puntos representados en la recta numérica.
Escribe tres fracciones que representen cada uno de los puntos representados en la recta numérica.
Escribe tres fracciones que representen cada uno de los puntos representados en la recta numérica.
Escribe las fracciones que representen cada uno de los puntos representados en la recta numérica. ¿Qué puedes decir de esas fracciones?
Escribe las fracciones que representen cada uno de los puntos representados en la recta numérica. ¿Qué puedes decir de esas fracciones?
Indica si las fracciones  y  están representadas por el mismo punto sobre la recta numérica y represéntalas.
Indica si las fracciones  y  están representadas por el mismo punto sobre la recta numérica y represéntalas.
Indica si las fracciones y  están representadas por el mismo punto sobre la recta numérica y represéntalas.
Indica si las fracciones  y  están representadas por el mismo punto sobre la recta numérica y represéntalas.
Indica si las fracciones  y  están representadas por el mismo punto sobre la recta numérica y represéntalas.
Indica si las fracciones  y  están representadas por el mismo punto sobre la recta numérica y represéntalas.
Indica si las fracciones  y  están representadas por el mismo punto sobre la recta numérica y represéntalas.
Calcula cuatro fracciones equivalentes a  y represéntalas en la recta numérica. ¿Qué observas?
Calcula cuatro fracciones que representen al número racional  y represéntalas en la recta numérica.
|  Fig. 1: Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor. |
Obtención de fracciones equivalentes
| Piensa un número. Multiplícalo por 2. Divide el resultado entre 2. ¿Qué sucede?. Lógicamente, el número vuelve a ser el que era al principio porque la multiplicación y la división son operaciones inversas.
Esta idea, junto al hecho de que las fracciones sean el cociente de dos números enteros, permite que muchas fracciones representen el mismo número racional. Más que muchas, infinitas.
Piensa, por ejemplo, en la fracción 1/2. Si multiplicamos su numerador y su denominador por el mismo número entero distinto de cero, en realidad, no estamos variando el valor de la fracción.
Gráficamente, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número significa partir el "todo" que estamos considerando en piezas más pequeñas, pero en realidad no varía la cantidad de ese "todo" que se toma. Fíjate en la animación para entenderlo mejor.
|  Las piezas son cada vez más pequeñas, pero la cantidad coloreada de rojo (lo que representa la fracción) no varía. |
Obtención de fracciones equivalentes
Si se multiplica o se divide (de forma exacta) el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, se obtiene una fracción equivalente. Si además el número por el que multiplicamos o dividimos es distinto de 1, estos procedimientos reciben el nombre de amplificación y simplificación, respectivamente.
En realidad, estos dos procesos son inversos el uno del otro. La única diferencia importante entre uno y otro es que, mientras la amplificación se puede hacer siempre, la simplificación sólo es posible si el numerador y el denominador tienen un divisor común mayor que 1.
Amplificación
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Simplificación
|
Obtención de fracciones equivalentes [Mostrar]
Obtención de fracciones equivalentes: por amplificación y por simplificación.
Obteniendo fracciones equivalentes por simplificación.
Obteniendo fracciones equivalentes por amplificación y simplificación.
Obtén dos fracciones equivalentes a 
: una por amplificación y otra por simplificación.
Escribe tres fracciones equivalentes a 
por amplificación.
Escribe tres fracciones equivalentes a por amplificación.
Escribe tres fracciones equivalentes a 
por amplificación.
Escribe dos fracciones equivalentes a 
por amplificación.
Halla una fracción equivalente a 
por amplificación y otra por simplificación.
Escribe dos fracciones equivalentes a 
por simplificación.
Escribe dos fracciones equivalentes a 
por simplificación.
Escribe tres fracciones equivalentes a 
por simplificación.
Obtención de fracciones equivalentes [Mostrar]
Busca una fracción equivalente a la dada con la ayuda del gráfico.
- a) Escribe una fracción equivalente a la dada.
- b) Empareja las fracciones equivalentes.
Fracciones equivalentes. Representación en la recta numérica.
Encontrar fracciones equivalentes por medio de la multiplicación.
Completa la fracción para que se cumpla la igualdad.
Completa la fracción para que se cumpla la igualdad.
Completa la fracción para que se cumpla la igualdad.
Encontrar fracciones equivalentes por medio de la multiplicación.
Simplificación de fracciones
- Simplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente con el numerador y denominador menores que los de partida.
- Cuando una fracción no se puede simplificar se dice que es irreducible.
Procedimiento: Simplificación
- Para simplificar fracciones se divide numerador y denominador por un mismo número, distinto de 0 y 1. Este proceso se puede repetir hasta hacer la fracción irreducible.
- Si queremos hacer la fracción irreducible en un solo paso debemos dividir numerador y denominador por el m.c.d. de ambos.
Simplifica 
:
Solución:
- Paso a paso: Dividimos por 2 y luego por 3
- En un solo paso: Calculamos el m.c.d.(24,30) = 6, y dividimos directamente por 6:
Simplificación de fracciones (3 métodos). Fracción irreducible. Ejemplos.
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica:
- a)
 b) 
Simplifica: 
Simplifica:  .
Simplifica:  .
Simplifica:  .
Simplifica:  .
Simplifica:  .
|
Simplifica:  .
Simplifica:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
Halla la fracción irreducible de:  .
|
- Actividades en las que deberás simplificar fracciones con o sin ayuda.
- Actividad en la que debes emparejar cada fracción con su irreducible.
Actividad en las que deberás encontrar la fracción irreducible.
Actividades de nivel variable en las que deberás simplificar fracciones.
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Actividad: Simplicar fracciones
- a) Simplifica
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) simplify 140/26
|
La simplificación de fracciones me proporciona un método para saber si dos fracciones son equivalentes.
Procedimiento
Si al simplificar dos fracciones se obtiene la misma fracción irreducible, entonces las dos fracciones son equivalentes.
Determina si 
y No se pudo entender (función desconocida\cfrc): \cfrc{54}{81}
son fracciones equivalentes.
Cómo averiguar si dos fracciones son equivalentes
Con lo que llevamos visto hasta ahora, tenemos dos formas de comprobar que dos fracciones son equivalentes:
- Calculando el valor de cada una de ellas, dividiendo numerador entre denominador, y viendo si el resultado es el mismo.
- Calculando la fracción irreducible de cada una de ellas y viendo si ambas fracciones irreducibles son iguales.
A continuación vamos a ver un resultado que permite hacer la comprobación de forma más simple. Lo llamaremos el método de multiplicar "en cruz".
Comprobación de que dos fracciones son equivalentes
Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.
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Actividad: Fracciones equivalentes
- a) ¿Son equivalentes las fracciones:
 y  ?
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) 124/360=31/90
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Actividad: Fracciones equivalentes
- a) ¿Son equivalentes las fracciones: y ?
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
- a) 124/360=31/90
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Plantilla:Actividades fracciones equivalentes
Cómo averiguar el término que falta en una igualdad entre fracciones
Si nos dan dos fracciones equivalentes y en una de ellas desconocemos uno de sus términos, utilizaremos el resultado anterior para averiguarlo.
Cálculo del término desconocido en una proporción. Ejemplos.
Cálculo del término desconocido en una proporción [Mostrar]
- Actividad 2a: Deberás escribir una fracción equivalente a la dada y verás la comprobación por el método de los productos cruzados.
- Actividad 2b: Actividad guiada en la que debes encontrar el término que falta de una igualdad entre fracciones.
Actividad en la que debrás averiguar el término que falta en una igualdad de fracciones.
Ejercicios
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Ejercicios: Tipos de fracciones
1. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:
2. Simplifica las fracciones:
- a)
 b)  c) 
|
, se puede escribir como suma de un número entero y una fracción propia.
es el cociente y 
es el resto de la división de 
entre 
.
de la Fig. 4 hemos visto que se puede expresar mediante el número mixto 
:
; B) 
; B) 
, porque 
(son equivalentes)
, porque 
(no son equivalentes)
b) 
c) 
