Estudio y representación de funciones (1ºBach)

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(Apéndice)
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__TOC__ __TOC__
==Estudio y representación gráfica de funciones== ==Estudio y representación gráfica de funciones==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=+{{Estudio y representación gráfica de funciones (1ºBach)}}
-En el estudio y representación gráfica de una función, f(x),tendremos que determinar los siguientes apartados:+
-#'''Dominio''' de definición de la función f(x). 
-#'''Puntos de corte''' con los ejes de coordenadas, especialmente con el eje de abscisas (eje X). Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0). 
-#'''Signo''' de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad. Éstos determinarar una serie de zonas en el dominio de la función en los que ésta tiene signo constante. Tomando un punto cualquiera de cada zona y sustituyéndolo en f(x), tendremos el signo de la función en cada zona. 
-#'''Puntos singulares''' de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f'(x)=0. 
-#'''Intervalos de crecimiento y decrecimiento''' de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f'(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x). 
-#'''Asíntotas y ramas infinitas''' de f(x): se estudió en temas anteriores. 
-#'''Simetrías''': ver si f(x) es par (f(x)=f(-x)) o impar (f(x)=-f(-x)). 
-}} 
{{p}} {{p}}
-{{ejemplo2 
-|titulo=Estudio y representación gráfica de funciones 
-|enunciado= 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Signo de una función 
-|duracion=5'39" 
-|sinopsis=A la hora de representar la gráfica de la función "f", el estudio del signo del número real f(x) nos permite conocer la posición de la gráfica respecto al eje de abcisas. 
- 
-*La gráfica está por encima del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es positivo. 
-*La gráfica está por debajo del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es negativo. 
-*La gráfica toca al eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) = 0. 
- 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/34-signo-de-una-funcion-4#.WGOh0EZ9U6c 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Ejemplos 1 (Signo de una función) 
-|duracion=5'45" 
-|sinopsis=2 ejercicios 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/3401-dos-ejercicios-4#.WGOioEZ9U6c 
-}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Ejemplos 2 (Signo de una función) 
-|duracion=5'34" 
-|sinopsis=4 ejercicios 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/3402-cuatro-ejercicios-4#.WGOi-EZ9U6c 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Simetrías de una función 
-|duracion=14'06" 
-|sinopsis= 
-*La función "f" se dice "par" si f(-x) = f(x), y se dice "impar" si f(-x) = -f(x). 
-:*Si "f" es par, su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas. 
-:*Si "f" es impar, su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas. 
-:*Obvio: si Dom f. no es simétrico respecto al punto "0", la función "f" no es par ni impar. 
- 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real/36-simetrias-de-una-funcion#.WGOfnEZ9U6c 
-}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Ceros de una función 
-|duracion=3'57" 
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/03-continuidad-de-funciones/08-ceros-de-una-funcion#.WGOgj0Z9U6c 
-}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Contacto de una curva con los ejes 
-|duracion=15'54" 
-|sinopsis=Los puntos en que la gráfica de la función "f" "toca" al eje de abcisas (cortándolo o no) son las soluciones de la ecuación f(x) = 0. 
-La gráfica de "f" corta al eje de ordenadas en f(0). 
- 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real/37-contacto-de-una-curva-con-los-ejes#.WGOf9UZ9U6c 
-}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Teorema de Bolzano 
-|duracion=4'47" 
-|sinopsis= 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/03-continuidad-de-funciones-2/09-teorema-de-bolzano-2#.WGOhfEZ9U6c 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=La propiedad "D" de Darboux 
-|duracion=7'08" 
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/03-continuidad-de-funciones/10-la-propiedad-bdb-de-darboux#.WGOgyEZ9U6c 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Teorema de Weierstrass 
-|duracion=23'26" 
-|sinopsis= 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/03-continuidad-de-funciones/11-teorema-de-weierstrass#.WGOhCUZ9U6c 
-}} 
-}} 
==Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas== ==Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas==
Línea 113: Línea 30:
==Estudio y representación gráfica de funciones racionales== ==Estudio y representación gráfica de funciones racionales==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=+{{Estudio y representación gráfica de funciones racionales (1ºBach)}}
-En el estudio y representación gráfica de una función racional, <math>f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}</math>,tendremos que determinar los siguientes apartados:+
-#'''Dominio''': <math>\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R} \ / \ Q(x)=0 \}</math>. 
-#'''Puntos de corte''': Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver la ecuación polinómica P(x)=0 usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0). 
-#'''Signo''' de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad, que son los puntos donde se anula el denominador, es decir, donde Q(x)=0. 
-#'''Puntos singulares''' de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f'(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica. 
-#'''Intervalos de crecimiento y decrecimiento''' de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f'(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x). 
-#'''Asíntotas y ramas infinitas''': 
-##A.V.: Son "candidatos" a asíntota vertical los puntos donde Q(x)=0. Habrá que estudiar el límite de f(x) cuando x tiende a esos puntos candidatos. Aquellos para los que ese límite sea + o - infinito serán puntos con A.V. 
-##A.H.: Cuando el grado de Q(x) sea mayor o igual que el grado de P(x) tendremos asíntota horizontal. 
-##A.O.: Cuando el grado de P(x) sea igual al grado de Q(x) más uno, tendremos asíntota oblicua. 
-##Cuando no haya A.H. ni A.O. tendremos ramas infinitas. 
-#'''Simetrías''': ver si f(x) es par o impar. 
-}} 
{{p}} {{p}}
-{{ejemplo 
-|titulo=Ejercicios resueltos: ''Estudio y representación gráfica de funciones racionales'' 
-|enunciado=Estudia y representa: 
-:a) <math>y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}</math>. 
-:b) <math>\cfrac{x^3}{x^2+1}</math>. 
-:c) <math>\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}</math>. 
-|sol=Utiliza la siguiente escena para comprobar los resultados. 
-{{p}} 
-{{Geogebra_enlace 
-|descripcion=En la siguiente escena puedes ver la representación gráfica de distintas funciones.  
-|enlace=[https://ggbm.at/HpscNJJu Representación gráfica de funciones] 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
-{{Videotutoriales 
-|titulo=Estudio y representación gráfica de funciones racionales 
-|enunciado= 
-{{Video_enlace_unicoos 
-|titulo1=Ejemplo 1 
-|duracion=27'13" 
-|sinopsis=Representación gráfica de <math>f(x)=\cfrac{x^2-2x-1}{x-1}\;</math> 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-fJ7nXLBQew+===Ejercicios propuestos===
-}}+{{ejercicio
-{{p}}+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Estudio y representación de funciones racionales''
-{{Video_enlace_unicoos+|cuerpo=
-|titulo1=Ejemplo 2+(Pág. 318)
-|duracion=16'19"+
-|sinopsis=Representación gráfica de <math>f(x)=\cfrac{x^3+8}{x-4}\;</math>+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=yoAPeT7_mq8+[[Imagen:red_star.png|12px]] 2b,c,e
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace_unicoos+
-|titulo1=Ejemplo 3 (simetrías)+
-|duracion=27'13"+
-|sinopsis=Estudio de las simetrías de:+
-a) <math>f(x)=\cfrac{x^2+1}{x^2}\;</math>+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2a,d,f
-b) <math>f(x)=\cfrac{x^2-1}{x}\;</math> 
- 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-fJ7nXLBQew 
-}} 
}} }}
{{p}} {{p}}
- +==Apéndice==
-==Estudio y representación gráfica de otras funciones==+
{{Videotutoriales {{Videotutoriales
|titulo=Estudio y representación gráfica de otras funciones |titulo=Estudio y representación gráfica de otras funciones
|enunciado= |enunciado=
{{Video_enlace_unicoos {{Video_enlace_unicoos
-|titulo1=Representación gráfica de una función exponencial +|titulo1=Ejercicio 1a (exponencial)
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|sinopsis=Representación gráfica de <math>f(x)=e^{1-x}\;</math> |sinopsis=Representación gráfica de <math>f(x)=e^{1-x}\;</math>
Línea 187: Línea 57:
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JulYyOS0hH4 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=JulYyOS0hH4
}} }}
-{{p}} 
{{Video_enlace_unicoos {{Video_enlace_unicoos
-|titulo1=Representación gráfica de una función logarítmica +|titulo1=Ejercicio 1b (logarítmica)
|duracion=23'54" |duracion=23'54"
|sinopsis=Representación gráfica de <math>f(x)=ln \, \cfrac{1}{1-x}\;</math> |sinopsis=Representación gráfica de <math>f(x)=ln \, \cfrac{1}{1-x}\;</math>
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=EvDCxmwr82A |url1=https://www.youtube.com/watch?v=EvDCxmwr82A
 +}}
 +{{Video_enlace_matesandres
 +|titulo1=Ejercicio 2a (irracional)
 +|duracion=30'56"
 +|sinopsis=Representación gráfica de <math>f(x)=\sqrt{x^2-10x}\;</math> sin estudio de concavidad.
 +
 +|url1=https://youtu.be/akSVuDk_lhw?list=PLNQqRPuLTic-0-vxURmFwCNC2wlp1a_Sb
 +}}
 +{{Video_enlace_matesandres
 +|titulo1=Ejercicio 2b (logarítmica)
 +|duracion=22'48"
 +|sinopsis=Representación gráfica de <math>f(x)=ln \,(4-2x)\;</math> con estudio de concavidad.
 +
 +|url1=https://youtu.be/a7mRvMyayVM?list=PLNQqRPuLTic-0-vxURmFwCNC2wlp1a_Sb
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}} }}
{{p}} {{p}}
-===Ejercicios propuestos===+{{Videotutoriales|titulo=Teoremas|enunciado=
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-|titulo=Ejercicios propuestos: ''Estudio y representación de funciones racionales''+
-|cuerpo=+
-(Pág. 318)+
- +
-[[Imagen:red_star.png|12px]] 1b,c,e +
- +
-[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1a,d,f+
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 +|titulo1=Teorema de Bolzano
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 +}}
 +{{Wolfram: Representacion grafica de funciones}}
{{p}} {{p}}
 +
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Estudio y representación gráfica de funciones

En este tema vamos a hacer uso de toda la artillería de la que disponemos y que hemos ido viendo a lo largo de los temas anteriores.

ejercicio

Procedimiento


En el estudio y representación gráfica de una función, f(x), tendremos que considerar los siguientes apartados:

  1. Dominio de definición.
  2. Puntos de corte con los ejes de coordenadas, especialmente con el eje de abscisas (eje X). Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
  3. Signo: para su estudio usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad. Éstos determinaran una serie de intervalos en el dominio de la función en los que ésta tiene signo constante. Tomando un punto cualquiera de cada zona y sustituyéndolo en f(x), tendremos el signo de la función en cada zona.
  4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos: hallando los puntos singulares ( f '(x)=0 ) para estudiar el signo de f '(x).
  5. Concavidad* de f(x): a partir de los puntos singulares de f '(x) y estudiando el signo de f "(x). Es como estudiar el crecimiento de f '(x).
  6. Asíntotas y ramas infinitas.
  7. Simetrías: ver si f(x) es par ( f(x) = f(-x) ) o impar ( f(x) = - f(-x) ).

(*) El estudio de concavidad se verá en 2º de bachillerato, aunque se verá como se hace en algún vídeo.

Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas

ejercicio

Procedimiento


En el estudio y representación gráfica de una función polinómica, f(x),tendremos que determinar los siguientes apartados:

  1. Dominio: \mathbb{R}.
  2. Puntos de corte: Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver una ecuación polinómica usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
  3. Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos sólo los puntos de corte ya que una función polinómica no tiene discontinuidades.
  4. Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f '(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica.
  5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares de f(x) y estudiando el signo de f '(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
  6. Concavidad* de f(x): a partir de los puntos singulares de f '(x) y estudiando el signo de f "(x). Es como estudiar el crecimiento de f '(x).
  7. Asíntotas y ramas infinitas: Las funciones polinómicas no tienen ningún tipo de asíntotas. Tan sólo habrá que estudiar el límite cuando x tiende a +/- infinito.
  8. Simetrías: ver si f(x) es par o impar.

(*) El estudio de concavidad se verá en 2º de bachillerato, aunque se verá como se hace en algún vídeo.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas


Estudia y representa:

a) y=x^3-3x^2+4\;.
b) y=3x^4+4x^3-36x^2+100\;.
c) y=-3x^4+4x^3\;.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Estudio y representación de funciones polinómicas


(Pág. 316)

1b,c

1a

Estudio y representación gráfica de funciones racionales

ejercicio

Procedimiento


En el estudio y representación gráfica de una función racional, f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)},tendremos que determinar los siguientes apartados:

  1. Dominio: \mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R} \ / \ Q(x)=0 \}.
  2. Puntos de corte: Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver la ecuación polinómica P(x)=0 usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
  3. Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad, que son los puntos donde se anula el denominador, es decir, donde Q(x)=0.
  4. Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f '(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica.
  5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f '(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
  6. Concavidad* de f(x): a partir de los puntos singulares de f '(x) y estudiando el signo de f "(x). Es como estudiar el crecimiento de f '(x).
  7. Asíntotas y ramas infinitas:
    1. A.V.: Son "candidatos" a asíntota vertical los puntos donde Q(x)=0. Habrá que estudiar el límite de f(x) cuando x tiende a esos puntos candidatos. Aquellos para los que ese límite sea + o - infinito serán puntos con A.V.
    2. A.H.: Cuando el grado de Q(x) sea mayor o igual que el grado de P(x) tendremos asíntota horizontal.
    3. A.O.: Cuando el grado de P(x) sea igual al grado de Q(x) más uno, tendremos asíntota oblicua.
    4. Cuando no haya A.H. ni A.O. tendremos ramas infinitas.
  8. Simetrías: ver si f(x) es par o impar.

(*) El estudio de concavidad se verá en 2º de bachillerato, aunque se verá como se hace en algún vídeo.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Estudio y representación gráfica de funciones racionales


Estudia y representa:

a) y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}.
b) \cfrac{x^3}{x^2+1}.
c) \cfrac{x^2+1}{x^2-2x}.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Estudio y representación de funciones racionales


(Pág. 318)

2b,c,e

2a,d,f

Apéndice

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda