Ley de Laplace (3ºESO)

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-==Ley de Laplace== 
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-'''Definición de probabilidad de Laplace.''' 
-En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento. 
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-|sinopsis=El ser humano siempre ha estado preocupado por lo que le deparará el futuro. Las matemáticas han intentado iluminar, al menos en parte, las pautas que rigen el futuro inmediato sujeto al azar. En nuestro país nos gastamos todas las semanas miles de millones de pesetas en loterías, bonolotos, primitiva, sorteos... Ponemos nuestra suerte y nuestro dinero en manos del azar. Pero el azar tiene sus leyes y en algunas de esas leyes profundizaremos en este programa. Descubriremos, entre otras, cosas la probabilidad de acertar un pleno en la primitiva. Lo que empezó como un juego, un problema de dados planteado a Pascal, se ha convertido en la Teoría de la Probabilidad, una de las herramientas matemáticas más utilizadas en la actualidad. Desde loa aficionados a los juegos de azar, hasta las aseguradoras y las multinacionales toman sus decisiones basándose en las Leyes del Azar.|video= 
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/videos/azar/azar.htm '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
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-En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS  
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-P(OROS)=número de oros/número total de cartas=10/40=0.25+==Sucesos equiprobables==
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-Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes: +
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- +==Propiedades de la probabilidad==
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-|sol=+{{p}}
-a) El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ..., 98, 99. Para cada sucesos del enunciado calculamos sus casos favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos:+==Probabilidad experimental. Simulación==
- +{{Probabilidad experimental. Simulación}}
-Los casos favorables son: 00, 11, 22, ..., 99. La probabilidad de que las últimas cifras sean iguales es:+{{p}}
- +==Actividades y videotutoriales==
-P(últimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1+{{Actividades y videotutoriales: Ley de Laplace}}
- +
-Los casos favorables a que la suma de las últimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 y 92. Por tanto, +
- +
-b) P(últimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08+
- +
-c) Deben contarse los números de dos cifras cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un recuento ordenado, se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es:+
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-P(últimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.43+
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-|enunciado='''2'''. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:+
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-a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres. +
- +
-b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos? +
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-a) El espacio muestral del experimento es:+
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-E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}+
- +
-y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos posibles del experimento.+
- +
-Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:+
- +
-Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:+
- +
-A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}. +
- +
-Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3+
- +
- +
-b) Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son:+
- +
-B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6);(6,3)}. +
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-Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3+
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-Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211, ..., 665, 666. +
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-Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades:+
- +
-a) P(suma de valores menor que 8)=<math> \frac {1+3+6+10+15} {216}= 0.1620 </math>+
-b) P(suma de valores mayor que 4 y menor que 8)=<math> \frac {6+10+15} {216}= 0.1435 </math> 
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-}} 
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Probabilidad]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Probabilidad]]

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Tabla de contenidos

Sucesos equiprobables

Dos sucesos son equiprobables si tienen la misma probabilidad de que ocurran al realizar un experimento aleatorio. En caso contrario se dice que son no equiprobables.

Ley de Laplace

El matemático francés Laplace da la siguiente definición de probabilidad para el caso en el que los sucesos elementales del espacio muestral sean equiprobables. Este resultado se conoce como ley o regla de Laplace.

Regla de Laplace:

En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.

P(A)= \frac{Casos\ favorables\ a\ A} {Total\ casos\ posibles}

Se trata, por tanto, de un número comprendido entre 0 y 1.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Laplace


En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de " salir AS"?, ¿Y de "salir ORO"?

ejercicio

Ejercicios: Cálculo de probabilidades


Ejercicio 1. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes:

a) Que las dos cifras sean iguales

b) Que su suma sea 11

c) Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13

Ejercicio 2. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:

a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?

Ejercicio 3. Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:

a) La suma de los números aparecidos sea menor que 8.

b) La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.

Propiedades de la probabilidad

ejercicio

Propiedades


  • La probabilidad del suceso seguro es 1 y la probabilidad del suceso imposible es 0.
  • Si A\; y B\; son dos sucesos incompatibles, entonces P(A \cup B)=P(A)+P(B)\;.
  • La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento es 1.
  • Si A\; y B\; son dos sucesos compatibles, entonces P(A \cup B)=P(A)+P(B)- P(A \cap B)\;.
  • Si A \subset B entonces P(A) < P(B)\;.
  • P(\overline{A})=1-P(A)\;.
  • P(A-B)=P(A)-P(A \cap B)\;.
  • P(A \, \triangle \, B)=P(A)+P(B)-2P(A \cap B)\;.
  • P(\overline{A} \cap \overline{B})=P(\overline{A \cup B})=1-P(A \cup B)\;.
  • P(\overline{A} \cup \overline{B})=P(\overline{A \cap B})=1-P(A \cap B)\;.

Probabilidad experimental. Simulación

La ley de Laplace nos permite calcular la probabilidad de sucesos regulares, pero si la experiencia es irregular y desconocemos la probabilidad de cada uno de los casos, entonces es preciso recurrir a la experimentación.

En muchas ocasiones realizar un experimento aleatorio un número elevado de veces no resulta fácil, entonces recurrimos a la simulación.

Simular un experimento aleatorio consiste en sustituirlo por otro más sencillo y capaz de reproducir los mismos resultados.

Las calculadoras científicas disponen de la tecla RAND, RAN# ó RANDOM que al activarla, genera un número al azar comprendido entre 0 y 1, llamado número aleatorio. Estos números resultan de gran utilidad en la simulación de experimentos.

Actividades y videotutoriales


Herramientas personales
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