Potencias de fracciones (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Potencias de fracciones
2 Potencias de base 10

(Pág. 78)

Potencias de fracciones

Potencias de exponente negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}$

Como consecuencia:

Propiedad

$\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)$

Ejemplos:

Potencias de exponente negativo

Tutorial 1 (6'44") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 2 (13'40") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 3 (0'43") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 4 (6'44") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'52") Sinopsis:

$a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 6a (9'22") Sinopsis:

Exponentes negativos. Ejemplos.

Tutorial 6b (4'39") Sinopsis:

Razonando sobre el por qué de la definición de los exponentes negativos.

Ejercicio 1 (4'31") Sinopsis:

Simplifica:

a) $4^{-3} \cdot 4^5\;$

b) $a^{-4} \cdot a^2\;$

c) $\cfrac{12^{-7}}{12^{-5}}\;$

d) $\cfrac{x^{-20}}{x^5}\;$

Ejercicio 2 (5'42") Sinopsis:

Simplifica:

a) $(3^{-8} \cdot 7^3)^{-2}\;$

b) $(a^{-2} \cdot 8^7)^2\;$

c) $\left( \cfrac{2^{-10}}{4^2} \right)\;$

Ejercicio 3 (8'02") Sinopsis:

Halla el valor de:

11) $100^{-1}\;$ ; 12) $100^{-3}\;$ ; 13) $10^{-4}\;$ ; 14) $(10^{-3})^{-1}\;$

15) $(-3)^{-2}\;$ ; 16) $2^{-1}\;$ ; 17) $\left( \cfrac{1}{2} \right)^{-1}\;$ ; 18) $\left( \cfrac{1}{7} \right)^{-1}\;$ ; 19) $\left( \cfrac{-1}{5} \right)^{-1}\;$

Potencias de exponente negativo

Actividad 1 Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre potencias de exponente negativo.

Actividad 3 Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $3^{-5}\;$ b) $5^{-3}\;$ c) $7^{-2}\;$ d) $2^{-7}\;$

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Autoevaluación 1a Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 1b Descripción:

Multiplica y divide potencias (exponentes enteros).

Autoevaluación 1c Descripción:

Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros)

Autoevaluación 1d Descripción:

Potencias de exponentes enteros.

Autoevaluación 2a Descripción:

Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación 2b Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números enteros.

Ver: Propiedades de las potencias de números enteros

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Potencias de fracciones

Tutorial (10'06") Sinopsis:

Tutorial que explica la potencia de exponente entero (positivo y negativo) con fracciones y operaciones combinadas con multiplicación, división y potencias, trabajando la simplificación previa.

Ejercicio 1 (9'43") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\left[\left(\cfrac{3}{5} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{9}{25} \right)^2 \right]^3$

b) $\left[\cfrac{16}{9} \cdot \left(\cfrac{56}{27} \right)^{-1} \right] \cdot \left(\cfrac{14}{9} \right)^3 \cdot \left(\cfrac{7}{12} \right)^{-2}$

Ejercicio 2 (4'05") Sinopsis:

Simplifica $\cfrac{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^5 \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-2}}{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^6}$

Ejercicio 3 (2'08") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \left( \cfrac{1}{3} \right)^{10} : \left( \cfrac{1}{3} \right)^7 \right]^2$

Ejemplos: Potencias de fracciones

Calcula simplificando previamente:

a) $\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4$ b) $\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3$ c) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3$

d) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2$ e) $\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2$ f) $\left( \cfrac{3}{5}\right)^0$

Solución:

a) $\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4=\left( \cfrac{3}{7} \cdot \cfrac{7}{6} \right)^4 = \left( \cfrac{3 \cdot \not{7}}{\not{7} \cdot 6} \right)^4 = \left( \cfrac{3}{6} \right)^4= \left( \cfrac{1}{2} \right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}$

b) $\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3=\left( \cfrac{3}{10} : \cfrac{6}{5}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{10 \cdot 6}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{\not{3} \cdot \not{5}}{\not{5} \cdot 2 \cdot \not{3} \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{1}{4}\right)^3=\cfrac{1^3}{4^3}=\cfrac{1}{64}$

c) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{2+3}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^5=\cfrac{3^5}{4^5}=\cfrac{243}{1024}$

d) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{3-2}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^1=\cfrac{3}{4}$

e) $\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2=\left( \cfrac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2}=\left( \cfrac{1}{2}\right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}$

f) $\left( \cfrac{3}{5}\right)^0=1$

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Potencias de fracciones

(Pág. 80)

1; 2a,c,d,e; 3a,d,f; 4a,d,f; 5a,c,e; 6a,c,e; 7a,c,e; 8a,d; 9a,d; 11a,c,e; 12; 13; 14

2b,f; 3b,c,e; 4b,c,e; 5b,d,f; 6b,d,f; 7b,d,f; 8b,c; 9c,e; 11b,d,f;

(Pág. 81)

Potencias de base 10

Potencias de exponente positivo:

$10^0=1\;$

$10^1=10\;$

$10^2=100\;$

$10^3=1000\;$

$10^4=10\,000\;$

$\cdots$

Potencias de exponente negativo:

$10^{-1}=\cfrac{1}{10^1}=\cfrac{1}{10}=0.1\;$

$10^{-2}=\cfrac{1}{10^2}=\cfrac{1}{100}=0.01\;$

$10^{-3}=\cfrac{1}{10^3}=\cfrac{1}{1000}=0.001\;$

$\cdots$

Más información: Potencias de 10 (Wikipedia)

Potencias de 10

Actividad 1 Descripción:

El exponente de las potencias de base 10:

En la siguiente escena, modifica los valores del exponente y observa qué sucede en los siguientes casos:

Si el exponente es cero
Si el exponente es positivo
Si el exponente es negativo

Anota tus conclusiones en tu cuaderno.

Actividad 2 Descripción:

Paso de forma decimal a potencia de base 10:

Introduce la respuesta adecuada.

Antes de empezar consulta la ayuda que tiene la escena.

Anota en tu cuaderno los ejercicios.

Actividad 3 Descripción:

Paso de potencia de base 10 a forma decimal:

Introduce la respuesta adecuada.

Antes de empezar consulta la ayuda de la escena.

Anota en tu cuaderno los ejercicios.

Potencias de 10

Macro y microcosmos (8'52") Sinopsis:

Universo, macro y microcosmos en potencias de 10.

De lo más pequeño a lo más grande (3'37") Sinopsis:

Universo, macro y microcosmos en potencias de 10.

Secretos del Universo Descripción:

Observa la Vía Lactea desde 10 millones de años luz de distancia a la Tierra. Ve aproximándote a ésta progresivamente, hasta llegar a un árbol que hay en la superficie. Penetra en el mundo microscópico de una de sus hojas hasta llegar al universo subatómico de electrones y protones.

Versión en video (en castellano) (7'19") Sinopsis:

Universo, macro y microcosmos en potencias de 10

Operaciones con potencias de base 10

Procedimiento

Al multiplicar un número por :
- Si $n \ge 0$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la derecha $n\;$ posiciones.
- Si $n < 0\;$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la izquierda $n\;$ posiciones.

Al dividir un número por :
- Si $n \ge 0$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la izquierda $n\;$ posiciones.
- Si $n < 0\;$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la derecha $n\;$ posiciones.

Nota 1: En todos los casos, al desplazar la coma, se añadirán los ceros que sean necesarios.
Nota 2: Dividir por $10^n\;$ equivale a multiplicar por $10^{-n}\;$ .

Ejemplos

$2.45 \cdot 10^3= 2450$
$2.45 : 10^3= 0.00245\;$
$2.45 \cdot 10^{-3}= 2.45 : 10^3 = 0.00245$
$2.45 : 10^{-3}= 2.45 \cdot 10^3 = 2450$

Productos y cocientes con potencias de 10 (17'59") Sinopsis:

Tutorial que explica a través de ejercicios la multiplicación y división de números decimales por potencias de 10, tanto de exponente positivo como negativo.

Productos y cocientes con potencias de 10 Descripción:

Reglas para multiplicar o dividir un número racional por potencias de 10. Ejemplos.
Ejercicios resueltos.

Multiplicando múltiplos de potencias de 10 (2'29") Sinopsis:

Calcula: $(9 \cdot 10^9) \cdot (-2 \cdot 10^{-3})$

Productos y cocientes de múltiplos de potencias de 10 Descripción:

Productos y cocientes de múltiplos de potencias de 10

Descomposición polinómica de un número

La descomposición polinómica de un número consiste en expresar dicho número como una suma, en la que cada sumando es cada cifra del número multiplicada por una potencia de 10, cuyo exponente es una unidad menos de la posición que ocupa la cifra que la multiplica.

Ya conoces del curso pasado la descomposición polinómica de un número natural:

Ver: Descomposición polinómica de un número natural

A continuación veremos como se descompone un número decimal:

Procedimiento

Para descomponer polinómicamente un número decimal procederemos de la siguiente manera:

La parte entera del número se descompone como se hace con los números naturales, utilizando potencias de exponente positivo, teniendo en cuenta las equivalencias:

$10^0=1 \, ; \ 10^1=10 \, ; \ 10^2=100 \, ; \ 10^3=1000 \, ; \ \cdots$

La parte decimal del número se descompone de forma análoga pero utilizando potencias de exponente negativo, teniendo en cuenta las siguientes equivalencias:

$10^{-1}=0.1 \, ; \ 10^{-2}=0.01 \, ; \ 10^{-3}=0.001 \, ; \ \cdots$

Ejemplo

Vamos a obtener la descomposición polinómica del número 5034.652:

$5034.652 = 5000 + 30 + 4 + 0.6 + 0.05 + 0.002 =\;$

$= 5 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 6 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2} + 2 \cdot 10^{-3}$

Notación científica

Trabajar con números muy grandes o muy pequeños (muy próximos a cero) resulta engorroso. Por eso debemos aprender a escribir estos números de una forma más abreviada y que resulte más cómoda.

Esta forma de escribirlos es lo que llamaremos notación científica. Veamos en qué consiste:

Un número está en notación científica si aparece expresado de la forma:

$a \cdot 10^n$

donde $a \;\!$ es un número con 1 cifra entera distinta de cero y un número cualquiera de decimales.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Los siguientes números están en notación científica:

$1.23 \cdot 10^{3} \, , \ \ 7 \cdot 10^{-2}$

Estos otros no lo están:

$12.3 \cdot 10^{2} \, , \ \ 0.7 \cdot 10^{-1}$

Ejemplo 2:

La distancia media de la Tierra al Sol es de unos 1500 millones de kilómetros. Si tuviésemos que expresarlo en metros, lo podríamos escribir con todas sus cifras, pero sería más razonable escribirlo en notación científica:

$150\,000\,000\,000 \ m=1.5 \cdot 10^{11} \ m$

La masa de un electrón es aproximadamente $9.1 \cdot 10^{-31} \ kg$ . Si lo escribiésemos con todas sus cifras ...

$0.00000000000000000000000000000091 \ kg$

Notación científica

Tutorial 1 (7'37") Sinopsis:

Números en notación científica. Ejemplos.

Tutorial 2 (5'19") Sinopsis:

Potencias de 10 y notación científica. Ejemplos.

Ejercicio 1 (4'22") Sinopsis:

Escribe en notación científica:

a) 407 000 000 000 000

b) 24 000

c) 0.000 000 078

Ejercicio 2 (6'32") Sinopsis:

Escribe en notación científica:

a) 5 000 000 000 b) 27 000 c) 900 d) 129 000

e) 0.000 000 025 f) 0.000 678 g) 0.000 000 000 000 853

Ejemplos de números en notación científica Descripción:

En la siguiente escena, genera distintos números, pulsando el botón inferior.

Anótalos en tu cuaderno, explicando qué condiciones cumple para que esté en notación científica.

Significado del exponente en la notación científica Descripción:

Consulta la ayuda de la escena y contesta.

Modifica los valores de las cifras y del exponente y observa qué sucede con la coma en los siguientes casos:

Si el exponente es cero
Si el exponente es negativo
Si el exponente es positivo

Anota en tu cuaderno las conclusiones a las que hayas llegado.

Notación científica Descripción:

Actividades para aprender a manejar la notación científica.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Potencias de fracciones

(Pág. 81)

15, 16, 17, 18

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Potencias_de_fracciones_%282%C2%BA_ESO%29"

Categoría: Ejercicios de Matemáticas

 (Pág. 81)
 ==Potencias de base 10==
-{{Definición: Potencias de base 10}}
 {{Potencias de 10}}
 {{Videos: Potencias de 10}}

Potencias de fracciones (2º ESO)

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Tabla de contenidos

Potencias de fracciones

Potencias de exponente negativo

Propiedades de las potencias de números racionales

Ejercicios propuestos

Potencias de base 10

Operaciones con potencias de base 10

Descomposición polinómica de un número

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