Las matemáticas en el siglo XIX

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A lo largo del siglo XIX, las matemáticas se van haciendo cada vez más abstractas. En el siglo IXX vivió Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Dejando a un lado sus muchas contribuciones a la ciencia, en matemáticas puras hizo un trabajo revolucionario sobre funciones de variable compleja, en geometría, y sobre la convergencia de series. Dio la primer demostración satisfactoria al teorema fundamental del álgebra y a la ley de reciprocidad cuadrática.

Este siglo vio el desarrollo de las dos formas de no-geometría euclidiana, donde el postulado paralelo de la geometría euclidiana ya no es válido. El matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevski y su rival, el matemático húngaro János Bolyai, descubrieron, de forma independiente, la geometría hiperbólica, donde la unicidad de las paralelos ya no se cumple. En esta geometría la suma de los ángulos de un triángulo suman menos de 180°. La geometría elíptica fue desarrollada, más avanzado el siglo IXX, por el matemático alemán Bernhard Riemann; aquí no existen paralelas y los ángulos en un triángulo suman más de 180°. Riemann desarrolla también la geometría de Riemann, que unifica y generaliza los tres tipos de geometría, y definió el concepto de variedad, que generaliza las ideas de curva y superficie.

El siglo IXX vio el comienzo de una gran cantidad de álgebra abstracta. William Rowan Hamilton en Irlanda desarrolla el álgebra no conmutativa. El matemático británico George Boole ideó un álgebra que pronto se convirtió en lo que ahora se denomina álgebra booleana, en la que los únicos números son 0 y 1 con su famoso 1 + 1 = 1. El álgebra booleana es el punto de partida de la lógica matemática y tiene importantes aplicaciones en ciencias de la computación.

Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann y Karl Weierstrass reformularon el cálculo de una forma más rigurosa.

Además, por primera vez, se estudiaron los límites de las matemáticas. El noruego Niels Henrik Abel y el francés Evariste Galois demostraron que no hay ningún método algebraico general para resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a cuatro. Otros matemáticos del siglo IXX utilizaron ésto para demostrar que no se puede trisecccionar un ángulo arbitrario con regla y compás, ni construir el lado de un cubo cuyo volumen es el doble del volumen de un cubo dado, ni construir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado. Los matemáticos había tratado de resolver, en vano, todos estos problemas desde la época de los antiguos griegos.

Las investigaciones de Abel y Galois sobre las soluciones de ciertas ecuaciones polinómicas, sentaron las bases para el posterior desarrollo de la teoría de grupos, y de los campos de álgebra abstracta asociados. En el siglo XX los físicos y otros científicos han visto la teoría de grupos como la forma ideal para estudiar la simetría.

Más entrado el siglo XIX, Georg Cantor inventó la teoría de conjuntos, lo que permitió el tratamiento riguroso de la noción de infinito y se ha convertido en el lenguaje común de casi todas las matemáticas. La teoría de conjuntos de Cantor, y el surgimiento de la lógica matemática de las manos de Peano, LEJ Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell, y A.N. Whitehead, iniciaron un largo debate sobre los fundamentos de las matemáticas.

El siglo XIX vio la fundación de una serie de sociedades nacionales de matemáticas: The London Mathematical Society en 1865, La Société Mathématique de Francia en 1872, El Mathematico Circolo di Palermo en 1884, la Sociedad Matemática de Edimburgo en 1883, y la Sociedad Americana de Matemáticas en 1888.

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