Números enteros: Definición

De Wikipedia

Tabla de contenidos

Introducción

Estamos acostumbrados a utilizar números en multitud de ocasiones. Al levantarnos vemos la hora en el despertador, al calentar algo en la cocina puede que aparezca marcada la potencia con un entero, el precio de cualquier cosa que compremos está marcada con números, ...

En muchas situaciones utilizamos incluso valores negativos: "Pulsa el -1 para bajar al primer sótano", "¡Qué frío hace hoy! El termómetro marca 5º bajo cero (-5º)".

Los primeros en usar números negativos fueron los chinos, que utilizaban ábacos con varillas de distintos colores para diferenciar los positivos de los negativos. En Europa, sin embargo, fue más difícil su aceptación y grandes matemáticos como Descartes o Cardano se referían a los negativos como "números falsos". A partir del siglo XVIII y gracias al trabajo, entre otros, de Euler, su uso se universalizó y se convirtieron en parte esencial de las matemáticas.

Un toque divertido para empezar el tema:

Números naturales

Empezaremos recordando primero qué eran los números naturales.

El conjunto de los números naturales es:

\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

  • Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
  • Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
  • Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.



Representación de los números naturales

Podemos representarlos en una recta:


Para más información: Números naturales

Números negativos y positivos

  • Los números negativos son los números menores que cero. Para representarlos se les pone un signo menos (-) delante:

-1, -2, -3,...\;


  • Los números positivos, son los mayores que cero. Pueden ir precedidos de un signo más (+), pero es habitual no ponerlo:

+1 = 1, \ +2 = 2, \ +3 = 3, \ ... \;

Reglas:

  • Los números negativos se escriben precedidos del signo menos (-).
  • Si un número lleva signo + o no lleva signo entenderemos que es positivo.
  • En las operaciones, los números negativos se escriben entre paréntesis cuando queremos evitar que aparezcan dos símbolos de operación seguidos.

Utilidad de los números negativos y positivos

Los números positivos nos sirven para expresar muchas situaciones de la vida cotidiana. Sin embargo, no siempre nos sirven para representar situaciones contrarias que requieren del uso de números negativos, como un saldo deudor en una cuenta bancaria, una temperatura bajo cero, el número de una planta del sótano de un edificio, etc.

Los números negativos y positivos, además de servir para representar cantidades fijas, también se pueden utilizar para expresar variaciones que sufre una magnitud.

ejercicio

Ejemplo:


Expresa numéricamente cada enunciado:

a) Juan ha bajado de la planta 3ª a la 1ª.
b) La temperatura ha bajado 3ºC.
c) Juani ha sacado 3500 € de su cuenta corriente.
d) El ascensor subió tres pisos.
e) Me han tocado 200 € en la lotería.
f) He perdido una cartera con 47 €.
g) Jesús ha engordado 2 kg.

Utilidad de los números enterosde http://e-junior.net & http://matematica.cubaeduca.cu
Aumentar
Utilidad de los números enteros

de http://e-junior.net & http://matematica.cubaeduca.cu

Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. Nos vemos obligados a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros

\mathbb{Z}=\left \lbrace -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Está formado por:

  • El conjunto de los números naturales o enteros positivos : \mathbb{Z}^+=\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace.
  • Sus opuestos, los enteros negativos: \mathbb{Z}^-=\left \lbrace \cdots, -1 ,\ -2,\ -3, \cdots \right \rbrace.
  • El cero (0).

Como consecuencia, \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}, que se lee: "el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros".

Los números enteros son infinitos y, al igual que los números naturales sirven para contar. Sin embargo, los números enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una cuenta bancaria, un año de la era antes de Cristo, el número de una planta del sótano de un edificio, etc.

Representación de los números enteros

ejercicio

Representación de los números enteros


Los números enteros podemos representarlos en una recta:

  • Sobre ella marcamos el número cero.
  • A la derecha del cero, y a distancias iguales, se van señalando los números positivos: 1, 2, 3, ...
  • A la izquierda del cero, y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: −1, −2, −3, ...

Valor absoluto de un entero

El valor absoluto de un número entero a\; se representa por |a|\; y se define de la siguiente manera:

  • Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo.
  • Si el número es negativo, su valor absoluto es igual a su opuesto.

ejercicio

Propiedades


  • El valor absoluto de un número es la distancia que lo separa del cero en la recta numérica.
  • El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
  • El valor absoluto de cero es cero.

Opuesto de un entero

El opuesto de un número entero, a\;\!, es otro número entero, -a\;\!, simétrico de a\;\! respecto del cero. En consecuencia, se encuentra a la misma distancia del cero que a\;\!, pero tiene signo contrario. Lo escribiremos Op(a)=-a\;.



Orden en el conjunto de los enteros

En la representación de los números enteros en la recta numérica se observa el orden que existe en dicho conjunto.

Un número es mayor que otro si está situado más a la derecha en la recta numérica y es menor si está situado más a la izquierda.

ejercicio

Relación de orden


Dados dos números, a\; y b\;, se dará uno de los siguientes casos:

  • El primero es menor que el segundo: a<b\; (Se lee "a es menor que b").
  • El primero es igual que el segundo: a=b\; (Se lee "a es igual que b").
  • El primero es mayor que el segundo: a>b\; (Se lee "a es mayor que b").



ejercicio

Propiedades


  • Todo número negativo es menor que cero y todo número positivo es mayor que cero.
  • Si dos números son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.
  • Si dos números son negativos, el mayor es el que tiene menor valor absoluto.
  • Si a > b\;, entonces -b > -a \;

Actividades

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda