Paso de decimal a fracción (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Paso de decimal a fracción
- 1.1 Actividades
2 Números decimales sin fracción generatriz
3 Los números reales
4 Ejercicios propuestos

(Pág. 18)

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Paso de decimal a fracción

Se llama fracción generatriz de un número decimal, a aquella que tiene como valor dicho número decimal.

Observación

Toda fracción se puede pasar a forma decimal, sin embargo, lo contrario no es cierto: sólo se pueden pasar a fracción aquellos decimales que sean exactos o periódicos. Cuando el número de decimales es infinito y no periódico (número irracional), como ocurre con el número pi $(π)$ , no podemos expresarlo en forma de fracción.

Paso de decimal a fracción Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se obtiene la fracción generatriz de una expresión decimal exacta, periódica pura o periódica mixta.
Actividad en la que tendrás que hallar la fracción generatriz de una expresión decimal.

Paso de decimal a fracción

Tutorial 1 (9'07") Sinopsis:

Cómo obtener la fracción generatiz de un número decimal exacto o periódico (2 métodos) con ejemplos:

1. a) $1.37\;$ b) $28.1\;$ c) $3.\widehat{25}\;$ d) $2.3\widehat{4}\;$

2. a) $3.45\widehat{4}\;$ b) $0.4\widehat{82}\;$ c) $12.\widehat{4}\;$

Tutorial 2 (18'10") Sinopsis:

Tutorial en el que se da un rápido repaso a los distintos tipos de decimales y se explica el paso de un número en expresión decimal a su expresión fraccionaria equivalente, tanto en el caso de decimales finitos como periódicos.

Paso de decimal exacto a fracción

La fracción generatriz de un decimal exacto tiene en el numerador la expresión decimal sin la coma, y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

Demostración:

Es el caso más sencillo. Estos decimales tienen un número finito de cifras decimales. Sólo tenemos que "mover" la coma a la derecha tantos puestos como sea necesario. Para "mover" la coma basta con multiplicar por una potencia de 10. Si queremos mover un puesto, multiplicamos por 10, si son dos puestos, por 100, tres puestos, por 1000... Pero no podemos simplemente multiplicar, porque así cambiaría el valor del número. Hay que "compensar" esa multiplicación con su operación opuesta, la división. Lo que hacemos es poner como denominador la misma potencia de 10 por la que hemos multiplicado el número. Después sólo quedaría simplificar la fracción

También podemos proceder siguiendo el siguiente algoritmo:

Sea N el número decimal exacto cuya fracción generatriz queremos hallar.
Multiplicamos N por 10 elevado al número de decimales.
Despejamos N para obtener la fracción.

Ejemplos:

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa INICIO para ver más ejemplos

Paso de decimal exacto a fracción

Tutorial 1 (4'52") Sinopsis:

Paso de decimal exacto a fracción y su simplificación.

Tutorial 2 (6'29") Sinopsis:

Cómo obtener la fracción generatiz de un número decimal exacto. Ejemplos.

Ejercicio 1 (1'11") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $0.3\;$

Ejercicio 2 (1'35") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $0.05\;$

Ejercicio 3 (1'44") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $1.346\;$

Ejercicio 4 (5'56") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los números:

a) $0.125\;$

b) $3.16\;$

Ejercicio 5 (9'16") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los números:

a) $0.54\;$ ; b) $0.36\;$ ; c) $3.4\;$ ; d) $2.7\;$ ; e) $5.2\;$ ; f) $4.7\;$ ; g) $0.25\;$ ; h) $0.75\;$ ; i) $3.25\;$ ; j) $2.34\;$ ; k) $5.6\;$ ; l) $2.3\;$ ;

Ejercicio 6 (3'57") Sinopsis:

Transforma en fracción los siguientes números decimales exactos:

$0.4; \ 0.6; \ 0.9; \ 1.3; \ 1.8; \ 0.04; \ 0.20; \ 0.88; \ 1,15; \ 3.04; \ 3.005; \ 8.012; \ 6.124; \ 80.080\;$

Ejercicio 7 (1'09") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $0.8\;$

Ejercicio 8 (1'25") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $0.36\;$

Ejercicio 9 (2'46") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $0.0727\;$

Ejercicio 10 (2'46") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $0.15\;$

Ejercicio 11 (2'37") Sinopsis:

Convierte en número mixto $12.98\;$

Paso de decimal exacto a fracción Descripción:

Actividad en la que debes pasar de decimal exacto a fracción.

Paso de decimal periódico puro a fracción

La fracción generatriz de un número decimal periódico puro tiene como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma (sin repetir el periodo) y b es la parte entera del número; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.

Demostración:

Este caso es un poco más complicado. Como estos números tienen infinitas cifras decimales, no podemos simplemente "mover" la coma. La idea es buscar otro decimal con el mismo período a partir del decimal que tenemos. Una vez hecho esto, restaremos esos decimales con idéntico período, de forma que el resultado sea un entero. La única "pega" es que tendremos que resolver una pequeña ecuación.

El algoritmo es el siguiente:

Sea N el número decimal cuya fracción generatriz queremos hallar.
Multiplicamos N por 10 elevado al número de cifras que tenga el periodo, lo que permite obtener otro número con la misma parte decimal.
Restamos N y el número obtenido en el paso anterior.
Despejando N llegamos a la fracción buscada.

Ejemplos:

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Fracción generatriz de un número decimal periódico puro

Ejercicio 1 (8'39") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los números periódicos puros (2 métodos):

a) 1.6666...

b) 2.646464...

Ejercicio 2 (3'54") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de número periódico puro 0.3636... (Método largo)

Ejercicio 3 (8'11") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los siguientes números periódicos puros (Método corto):

a) 0.888...

b) 0.212121...

c) 0.537537537...

d) 2.444...

e) 10.484848...

Ejercicio 4 (5'07") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los números (Método corto):

0.363636...

2.045045...

Ejercicio 5 (1'53") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $0.\widehat{12}$ (Método corto)

Ejercicio 6 (1'47") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $1.\widehat{51}$ (Método corto)

Ejercicio 7 (2'17") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $2.\widehat{009}$ (Método corto)

Ejercicio 8 (11'14") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz por el método corto de:

$a) \ 2.\widehat{3} \, ; \, b) \ 3.\widehat{2} \, ; \, c) \ 0.\widehat{1} \, ; \, d) \ 0.\widehat{4} \, ; \, e) \ 3.\widehat{21} \, ; \, f) \ 2.\widehat{34} \, ; \, g) \ 0.\widehat{25} \, ; \, h) \ 0.\widehat{26} \, ; \,$

$i) \ 1.\widehat{05} \, ; \, j) \ 2.\widehat{36} \, ; \, k) \ 0.\widehat{27} \, ; \, l) \ 0.\widehat{36} \, ; \, m) \ 1.\widehat{32} \, ; \, n) \ 2.\widehat{34} \, ; \, o) \ 3.\widehat{35}$

Paso de decimal periódico puro a fracción Descripción:

Actividad en la que debes pasar de decimal periódico puro a fracción.

Paso de decimal periódico mixto a fracción

La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto tiene como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma (sin repetir el periodo) y b es el número escrito sin la coma quitándole la parte decimal periódica. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperiodo.

Demostración:

Este caso es aún más complicado. La idea es buscar dos decimales con el mismo período a partir del decimal que tenemos. Una vez hecho esto, restaremos esos decimales con idéntico período, de forma que el resultado sea un entero. La única "pega" es que tendremos que resolver una pequeña ecuación.

El algoritmo es el siguiente:

Sea N el número decimal cuya fracción generatriz queremos hallar.
Multiplicamos N por 10 elevado al número de cifras que tenga el periodo más el anteperiodo.
Multiplicamos N por 10 elevado al número de cifras que tenga el anteperiodo, lo que permite obtener otro número con la misma parte decimal que el del paso 2.
Restamos los números obtenidos en los pasos 2 y 3.
Despejando N llegamos a la fracción buscada.

Ejemplos:

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Fracción generatriz de un número decimal periódico mixto

Ejercicio 1 (9'35") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los siguientes números periódicos mixtos (2 métodos):

a) 2.46666...

b) 3.246262626...

Ejercicio 2 (3'16") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de número periódico mixto 0.4333... (Método largo)

Ejercicio 3 (11') Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los siguientes números periódicos mixtos (Método corto):

a) 0.5111...

b) 0.935555...

c) 3.8121212...

d) 1.06434343...

Ejercicio 4 (9'47") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de los siguientes números periódicos mixtos (Método corto):

a) 0.3851851...

b) 4.1244444...

Ejercicio 5 (2'15") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $0.3\widehat{5}$ (Método corto)

Ejercicio 6 (2'27") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $0.1\widehat{84}$ (Método corto)

Ejercicio 7 (2'48") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz de $4.099\widehat{129}$ (Método corto)

Ejercicio 8 (9'17") Sinopsis:

Halla la fracción generatriz por el método corto de:

$a) \ 0.1\widehat{3} \, ; \, b) \ 0.2\widehat{4} \, ; \, c) \ 0.3\widehat{5} \, ; \, d) \ 1.1\widehat{3} \, ; \, e) \ 1.2\widehat{3} \, ; \, f) \ 1.5\widehat{2} \, ; \, g) \ 3.52\widehat{3}$

$h) \ 1.37\widehat{4} \, ; \, i) \ 3.2\widehat{63} \, ; \, j) \ 1.6\widehat{32} \, ; \, k) \ 3.5\widehat{63} \, ; \, l) \ 1.1\widehat{51}$

Paso de decimal periódico mixto a fracción Descripción:

Actividad en la que debes pasar de decimal periódico mixto a fracción.

Autoevaluación: Fracción generatriz Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre fracciones generatrices.

Ejemplos: Paso de decimal a fracción

Expresa en forma de fracción los números decimales:

a) $2.5 \;$

b) $15,\widehat{34}$

c) $12,3 \widehat{67}$

Solución:

a) $N=2.5 \rightarrow 10N=25 \rightarrow N=\cfrac{25}{10}$

b) $\left . \begin{matrix} N=15,3434 \cdots \\100N=1534,3434 \cdots \end{matrix} \right \}$ Restando: $100N-N=1534-15;\quad 99N=1519;\quad N=\cfrac{1519}{99}$

c) $\left . \begin{matrix} N=12,36767 \cdots \\10N=123,6767 \cdots \\1000N=12367,6767 \cdots \end{matrix} \right \}$ Restando: $1000N-10N=12367-123;\quad 990N=12244;\quad N=\cfrac{12244}{990}$

Calculadora: Fracciones. Paso a decimal y viceversa

Para introducir fracciones usaremos la tecla . Esta tecla se usará también para pasar a decimal.

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {1}{3}$

Procedimiento: $1\;\!$ $3\;\!$ (Para pasar a decimal pulsaremos y para pasar de nuevo a fracción también pulsaremos la misma tecla)

Solución: $1 \lnot 3 \ (= 0.33333)\;\!$

Paso de decimal a fracción

Actividad: Expresión decimal de una fracción

Expresa en forma de fracción:

$a)\ 3,4 \widehat{56} \quad b)\ 12, \widehat{3} \quad c)\ 56,02$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Rationalize[3.45656...] b) Rationalize[12.33...] c) Rationalize[56.02]

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Actividades

Ejercicios

Ejercicio 1 (8'43") Sinopsis:

1) Aproxima al entero o decimal exacto más cercano:

a) $0.999...\;$ ; b) $1.999...\;$ ; c) $2.999...\;$ ; d) $3.999...\;$ ; e) $5.999...\;$ ; f) $6.999...\;$ ; g) $2.3999...\;$ ;

h) $4.5999...\;$ ; i) $6.7999...\;$ ; j) $5.61\widehat{9}$ ; k) $3.26\widehat{9}$ ; l) $1.03\widehat{9}$

2) Halla las siguiente división: $0.\widehat{28}:0.\widehat{2}$ >.

Ejercicio 2 (9'52") Sinopsis:

Halla:

a) $0.\widehat{32}:0.\widehat{5}$

b) $0.\widehat{6}:0.\widehat{3}$

c) $0.5\widehat{3}:2$

d) $0.2\widehat{61}:3$

e) $0.3\widehat{14}:6$

Actividad Descripción:

Obtención de fracciones generatrices planteando ecuaciones.

Autoevaluación Descripción:

Obten la fracción generatriz de un número decimal:

Pulsa el botón "EJERCICIO" para generar una fracción. Debes averiguar de que tipo de expresión decimal se trata sin hacer la división. Luego halla su expresión decimal.

Lo haces en tu cuaderno, escribe la solución en la casilla "Expresión Decimal" y pulsa el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

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Números decimales sin fracción generatriz

Los números decimales exactos y los periódicos se pueden expresar en forma de fracción. Sin embargo, hay números cuya expresión decimal tiene infinitos decimales que no es exacta ni periódica y que, por tanto, no se pueden expresar en forma de fracción. Son los números irracionales.

Observación

"El número decimal que resulta de dividir el numerador de una fracción entre su denominador es siempre exacto o periódico".

En efecto, piensa en el algoritmo de la división. Si tenemos la suerte de llegar a resto 0, el cociente será un decimal exacto. Si, por el contrario, no conseguimos que el resto sea 0, podemos bajar ceros del dividendo tantas veces como queramos. El asunto es que los restos que pueden aparecer en cada paso tienen que ser menores que el divisor, por tanto, hay un número limitado de restos posibles. Por ejemplo, si dividimos entre 4, los restos podrían ser 0, 1, 2 o 3. Entonces, si seguimos dividiendo (bajando ceros) y no conseguimos que el resto sea cero, en algún momento tendrá que repetirse un resto de entre todos los posibles y el cociente será un decimal periódico.

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra $\mathbb{I}$ .

Advertencia:

No existe una notación universal para representar al conjunto de los números irracionales, aunque la letra $\mathbb{I}$ es generalmente aceptada. Una de las razones es que el conjunto de números irracionales no constituye estructura algebraica alguna, como ocurre con los naturales ( $\mathbb{N}$ ), los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ), los reales ( $\R$ ) y los complejos ( $\mathbb{C}$ ). Por otro lado, está el hecho de que la $\mathbb{I}$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios, lo cual puede crear confusión.

Ejemplos:

Son números irracionales:

La raíces cuadradas no exactas de números enteros como $\sqrt{2} \ , \sqrt{5} \ , \sqrt{7} \, \cdots$
Número famosos como el número pi, el número e o el número de oro $Φ$ :

$\pi=3.141592654..., e=2.718281..., \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...$

Números con un patrón que no sea periódico: 5,123456789101112..., 8,12112111211112...

Números irracionales

Tutorial (4´57") Sinopsis:

Aquí se habla un poco sobre algunos números extraños. Aunque no son tan extraños tampoco.

Ejercicio 1 (1´44") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

$\cfrac{\sqrt{8}}{2} \ ; \ \pi \ ; \ 5.0 \ ; \ 0.325 \ ; \ 7.7777... \ ; \ 8 \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$

Ejercicio 2 (4´05") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

$9+\sqrt{45} \ ; \ \cfrac{\sqrt{45}}{3\sqrt{5}} \ ; \ 3\sqrt{9}$

Números irracionales

Actividad Descripción:

Actividades sobre números irracionales.

Autoevaluación Descripción:

Clasifica en números racionales o irracionales.

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Los números reales

El conjunto de los números reales es el formado por la unión de los números racionales y de los números irracionales y se designa por $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

$\mbox{Reales } (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales }(\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros } (\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\ \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2} \end{cases}$