Plantilla:Propiedades del producto de números enteros

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Propiedades de la multiplicación

Operación interna: El producto de dos números enteros es otro número entero:

$a , \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{Z}$

Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

$a \cdot b = b \cdot a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

$a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c$

Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

$1 \cdot a = a \,$

Ejemplos:

Conmutativa:

$-8 \cdot 6 = 6 \cdot (-8)\,$

$-48 = -48\,$

Asociativa:

$( -3 \cdot 2 ) \cdot 6 = -3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,$

$-6 \cdot 6 = -3 \cdot 12\,$

$-36 = -36\,$

Distributiva:

$(-3) \cdot (2 + 6) = (-3) \cdot 2 + (-3) \cdot 6 \,$

$(-3) \cdot 8 = -6 - 18 \,$

$-24 = -24\,$

Elemento neutro:

$-3 \cdot 1 = -3\,$

Observación:

Gracias a la propiedad distributiva, tenemos dos opciones a la hora de enfrentarnos a unos paréntesis:

Podemos realizar primero las operaciones que aparezcan dentro de los paréntesis.
Podemos aplicar la propiedad distributiva y eliminar los paréntesis sin completar las operaciones que aparezcan dentro de ellos.

Esta propiedad es clave para realizar operaciones combinadas que veremos proximamente.

La propiedad distributiva tiene una especie de propiedad "recíproca" que llamaremos sacar factor comun. En realidad es la misma propiedad, pero usada "al revés". La idea es buscar un divisor común a todos los sumandos que tengamos y "sacarlo" fuera del paréntesis en el que meteremos al resultado de dividir a cada uno de los sumandos por ese factor.

Ejemplos:

a) En este primer ejemplo sacaremos 3 como factor común:

$3 \cdot (-5)+ 3 \cdot 4 -3 \cdot 2 = 3 \cdot (-5+4-2)\;$

b) En este otro sacaremos 5 como factor común:

$15 + 20 - 35 = 5 \cdot (3+4-7)\;$

Observación:

Sacar factor común no nos será especialmente útil en este tema, sin embargo, si será de gran utilidad, más adelante, cuando trabajemos con expresiones algebraicas.