Problemas con porcentajes (2º ESO)
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(Pág. 102)
Cálculo de porcentajes
Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes
En cualquier situación con porcentajes están involucrados tres elementos: la cantidad total, la parte de esa cantidad y el propio tanto por ciento.
Estos tres elementos forman parte de una proporción con dos razones igualadas, una de las cuales siempre tiene el número 100 como denominador.
![\cfrac{Tanto \ por \ ciento}{100}=\cfrac{Parte}{Total}](/wikipedia/images/math/6/4/7/6475fad7d9961581b58cd2996f87be52.png)
También podemos verlo como una regla de tres:
![\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento ~ \ \longrightarrow \ Parte \\ \qquad \quad 100 \qquad \quad \longrightarrow \ ~~Total \end{matrix} \right \}](/wikipedia/images/math/5/8/2/58205193edd92e77fca094c1d5d4c552.png)
Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje
Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje (porcentaje inverso)
Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?
Método 1: A partir de la definición de porcentaje:
Si llamamos al total de alumnos de la clase:
![5=\frac{20}{100} \cdot C](/wikipedia/images/math/6/a/d/6adf934c681146b514d310e5cc741b70.png)
Y despejando :
![C=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos](/wikipedia/images/math/4/d/c/4dca8cf95de357ceeb8a096277c1b8ff.png)
Método 2: Mediante una regla de tres
% alumnos ---- ------- Parte: 20 ----> 5 Total: 100 ----> x
Y despejando :
![x=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos](/wikipedia/images/math/0/a/b/0ab6e1abfb5ad6b053a40b9a6f51ef71.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Cálculo del total conocida una parte y el porcentaje. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se dan los conceptos matemáticos de porcentajes y se explica/justifica como calcular porcentajes de cantidades o bien la cantidad a la que se le aplicó una proporción.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
¿De qué número es 300 el 40%?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
¿De qué número es 150 el 25%?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
¿De qué número es 78 es el 15%?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Hoy las guayabas estaban rebajadas un 30% en el mercado y por 6 unidades pagué $12.60. ¿Cuánto habría pagado por 2 guayabas si no hubiesen estado rebajadas?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Un zoológico tiene 15 pingüinos emperador que constituyen el 30% del total de pingüinos del zoológico. ¿Cuántos pingüinos hay en el zoológico?
Actividades en las que practicarás el cálculo del total conocida una parte y el porcentaje (porcentaje inverso), y de la parte conocido el total y el porcentaje (porcentaje directo).
Actividades de autoevaluación sobre cálculo de porcentajes inversos.
Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total
Procentaje correspondiente a una proporción
Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, , repecto a un total,
, se efectúa la siguiente operación:
![\frac{a}{C}\cdot 100](/wikipedia/images/math/6/d/9/6d920ee09b516c627f305cacb42d3b12.png)
Ejemplo: Porcentaje correspondiente a una proporción
En un grupo del instituto, de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados?. ¿Y los suspensos?
![\frac{21}{30}\cdot 100=0,7 \cdot 100=70](/wikipedia/images/math/0/3/0/03041b82e6b16db10221f6d4233d80dc.png)
Por tanto el 70% aprueban y el 30% suspenden.
También podemos hacerlo mediante una regla de tres:
% alumnos ---- ------- Total: 100 ----> 30 Parte (aprobados): x ----> 21
![x=\frac{21 \cdot 100}{30}=70](/wikipedia/images/math/7/2/e/72e75cf12cf21500bbe77ddcd26354b7.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
¿Qué porcentaje es 425 de 500?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
¿Qué porcentaje de 16 es 4?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
¿Qué porcentaje es 100 de 80?
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Un hotel tiene 300 habitaciones de las que 60 están vacías. ¿Cua´l es el porcentaje de ocupación?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
En México 13 de cada 20 latas son recicladas. ¿Qué porcentaje de latas es reciclado?
Actividades en las que practicarás el cálculo del porcentaje conocida una parte y el total.
Actividades de autoevaluación sobre cálculo del porcentaje a partir de la parte y el total.
Actividades
Actividades en las que practicarás el cálculo del total conocida una parte y el porcentaje, o del porcentaje conocida una parte y el total.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre porcentajes.
![](/wikipedia/images/thumb/1/17/Melide.jpg/22px-Melide.jpg)
Problemas de autoevaluación sobre porcentajes.
Antes de hacer la autoevaluación puedes ver algunos ejemplos aquí: Ejemplos
Aumentos y disminuciones porcentuales
La forma de resolver problemas de aumentos y disminuciones porcentuales no es diferente a la que hemos usado para resolver otros problemas de porcentajes, pero hay que tener especial precaución a la hora de colocar los elementos que intervienen en la regla de tres.
![\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento \ tr\acute{a}s \ disminuir \ o \ aumentar ~ \ \longrightarrow \ Valor \ tr\acute{a}s \ disminuir \ o \ aumentar \\ \qquad \qquad 100 \qquad \qquad \qquad \longrightarrow \ Valor \ inicial \end{matrix} \right \}](/wikipedia/images/math/7/9/c/79cf46dbf9f66a10634128b573491278.png)
Aumentos porcentuales
Ejercicio resuelto: Aumentos porcentuales
Las reservas de agua de un embalse han aumentado este año un 20% respecto al año pasado, que eran 60 millones de litros. ¿Cuáles son las reservas actuales?
Método 1: A partir de la definición de porcentaje
Reservas actuales = Reservas del año pasado + aumento del 20% =
millones de litros.
Método 2: Mediante una regla de tres
% Reservas ----- -------- Año pasado: 100 ----> 60 Año actual: 120 ----> x
![x=\frac{60 \cdot 120}{100}= 72](/wikipedia/images/math/9/3/0/93002bbc3b781af73cd4aff127e42dea.png)
Método 3: Multiplicando por el índice de variación
El índice de variación para un aumento del 20% se calcula como sigue:
![=60 \cdot 1.2 = 72](/wikipedia/images/math/4/e/f/4ef50598f93d75aaabef297466764465.png)
Disminuciones porcentuales
Ejercicio resuelto: Disminuciones porcentuales
Las reservas de agua de un embalse han disminuido este año un 20% respecto al año pasado, que eran 60 millones de litros. ¿Cuáles son las reservas actuales?
Método 1: A partir de la definición de porcentaje
Reservas actuales = Reservas del año pasado - disminución del 20% =
millones de litros.
Método 2: Mediante una regla de tres
% Reservas ---- -------- Año pasado: 100 ----> 60 Año actual: 80 ----> x
![x=\frac{60 \cdot 80}{100}= 48](/wikipedia/images/math/1/5/6/156a61130929f9a091bceca72375dcdd.png)
Método 3: Multiplicando por el índice de variación
El índice de variación para una disminución del 20% se calcula como sigue:
![= 60 \cdot 0.8 = 48](/wikipedia/images/math/5/5/d/55d0059f4bb30b5a23fb5f66f0f40a6c.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales . Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial que explica los problemas de porcentajes y proporciones simples, es decir donde sólo interviene una variación, viendo distintos métodos para dar con la solución.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Cálculo de porcentajes y de incrementos y disminuciones porcentuales por el método directo. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Problemas de cálculo de porcentajes y de incrementos y disminuciones porcentuales por el método directo.
Aumentos porcentuales:
Actividades en las que practicarás el cálculo de aumentos porcentuales.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Calcula los siguientes aumentos porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.
a) En un instituto hay un 12% más de alumnas que de alumnos. ¿Cuántas alumnas hay sabiendo que hay 150 alumnos?
b) El precio de una bicicleta que costaba 400 € el año pasado, ha subido un 20%.¿Cuál es el precio actual?
c) Actualmente me dan 15 € mensuales de paga, pero he convencido a mis padres para que me suban el 15%. ¿Cuál será mi paga a partir de ahora?
d) ¿Cuánto hay que pagar por un disco de 15 € si hay que sumarle el 16% de IVA?
e) La factura de teléfono de este mes es de 45 € sin IVA. ¿Cuánto será al añadirle el 16% de IVA?
f) ¿Cuánto nos costará dormir una noche en un hotel sabiendo que la habitación vale 70 € sin IVA y el IVA es del 7%?
Actividades en las que practicarás el cálculo de aumentos porcentuales.
Disminuciones porcentuales:
Actividades en las que practicarás el cálculo de disminuciones porcentuales.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Calcula las siguientes disminuciones porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.
a) Un ordenador cuesta este año 850 €. ¿Cuánto costará el año que viene sabiendo que perderá el 40% de su valor?
b) Mis padres me han dado 40 € por mi cumpleaños. ¿Cuánto me quedará al final del día si me gasto el 80% de lo que me han dado?
c) Un trabajador tiene un salario bruto de 980 € al mes, del que le descuentan un 12% en impuestos. ¿Qué salario neto percibe?
d) En una tienda hacen una rebaja del 20% a todos los artículos. ¿Cuanto costará ahora una camisa que antes costaba 35 €? ¿Y un pantalón de 40 €?
e) Tengo 52 € y me quiero comprar un MP3 que costaba antes de las rebajas 60 €. ¿Podré pagarlo si lo rebajan un 15%?
f) Quiero comprarme unas zapatillas de deporte. En una tienda veo dos que me gustan; las primeras tienen un precio de 45 € y una rebaja del 30% y las segundas cuestan 35 € pero no tienen rebaja. ¿Cuáles salen más baratas?
Actividades en las que practicarás el cálculo de disminuciones porcentuales.
Actividades en las que practicarás el cálculo de disminuciones porcentuales.
Aumentos y disminuciones porcentuales:
![](/wikipedia/images/thumb/1/17/Melide.jpg/22px-Melide.jpg)
Actividades en las que practicarás el cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales.
Si quieres puedes ver unos ejemplos antes de hacer la autoevaluación: [1]
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Problemas de cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales.
Ejercicios
Practica distintos problemas de porcentajes.
Problemas con porcentajes de diversos tipos.
Problemas de aumentos y disminuciones porcentuales de diversos tipos.
![](/wikipedia/images/thumb/b/b5/Anaya_logo.jpg/22px-Anaya_logo.jpg)
Autoevaluación sobre porcentajes.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Autoevaluación sobre problemas con porcentajes.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Autoevaluación sobre problemas de aumentos porcentuales y comisiones.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Problemas de autoevaluación sobre porcentajes.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Problemas resueltos sobre porcentajes.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Porcentajes |