Problemas con porcentajes (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Cálculo de porcentajes
2 Aumentos y disminuciones porcentuales
- 2.1 Aumentos porcentuales
- 2.2 Disminuciones porcentuales
3 Ejercicios
- 3.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 102)

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Cálculo de porcentajes

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Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes

En cualquier situación con porcentajes están involucrados tres elementos: la cantidad total, la parte de esa cantidad y el propio tanto por ciento.

Estos tres elementos forman parte de una proporción con dos razones igualadas, una de las cuales siempre tiene el número 100 como denominador.

$\cfrac{Tanto \ por \ ciento}{100}=\cfrac{Parte}{Total}$

También podemos verlo como una regla de tres:

$\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento ~ \ \longrightarrow \ Parte \\ \qquad \quad 100 \qquad \quad \longrightarrow \ ~~Total \end{matrix} \right \}$

Porcentajes como proporción directa

Tutorial (4'27") Sinopsis:

Cálculo de porcentajes como proporción directa.

Problemas (14'04") Sinopsis:

Problemas usando porcentajes como proporción directa.

Porcentajes como fracción

Tutorial (3'41") Sinopsis:

Cálculo del porcentajes como fracción de una cantidad. Cálculo de la parte, del total o del porcentaje.

Problemas (12'27") Sinopsis:

Problemas de ejemplo de cálculo del porcentajes como fracción de una cantidad. Cálculo de la parte, del total o del porcentaje.

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Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje (porcentaje inverso)

Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

Solución:

Método 1: A partir de la definición de porcentaje:

Si llamamos $C\;\!$ al total de alumnos de la clase:

$5=\frac{20}{100} \cdot C$

Y despejando $C\;\!$ :

$C=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Método 2: Mediante una regla de tres

                %        alumnos
               ----      -------
  Parte:        20   ---->  5
  Total:       100   ---->  x

Y despejando $x\;\!$ :

$x=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Porcentaje inverso

Tutorial 1 (4'58") Sinopsis:

Cálculo del total conocida una parte y el porcentaje. Ejemplos.

Tutorial 2 (16'34") Sinopsis:

Tutorial en el que se dan los conceptos matemáticos de porcentajes y se explica/justifica como calcular porcentajes de cantidades o bien la cantidad a la que se le aplicó una proporción.

Ejercicio 1 (2'13") Sinopsis:

¿De qué número es 300 el 40%?

Ejercicio 2 (2'32") Sinopsis:

¿De qué número es 150 el 25%?

Ejercicio 3 (6'28") Sinopsis:

¿De qué número es 78 es el 15%?

Problema 1 (6'19") Sinopsis:

Hoy las guayabas estaban rebajadas un 30% en el mercado y por 6 unidades pagué $12.60. ¿Cuánto habría pagado por 2 guayabas si no hubiesen estado rebajadas?

Problema 2 (3'31") Sinopsis:

Un zoológico tiene 15 pingüinos emperador que constituyen el 30% del total de pingüinos del zoológico. ¿Cuántos pingüinos hay en el zoológico?

Porcentaje inverso

Actividad Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo del total conocida una parte y el porcentaje (porcentaje inverso), y de la parte conocido el total y el porcentaje (porcentaje directo).

Autoevaluación Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre cálculo de porcentajes inversos.

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Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

Procentaje correspondiente a una proporción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, $a\;\!$ , repecto a un total, $C\;\!$ , se efectúa la siguiente operación:

$\frac{a}{C}\cdot 100$

Ejemplo: Porcentaje correspondiente a una proporción

En un grupo del instituto, de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados?. ¿Y los suspensos?

Solución:

$\frac{21}{30}\cdot 100=0,7 \cdot 100=70$

Por tanto el 70% aprueban y el 30% suspenden.

También podemos hacerlo mediante una regla de tres:

                      %          alumnos
                    ----         -------
 Total:              100   ---->   30 
 Parte (aprobados):   x    ---->   21

$x=\frac{21 \cdot 100}{30}=70$

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

Tutorial (5'30") Sinopsis:

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total. Ejemplos.

Ejercicio 1 (2'20") Sinopsis:

¿Qué porcentaje es 425 de 500?

Ejercicio 2 (5'15") Sinopsis:

¿Qué porcentaje de 16 es 4?

Ejercicio 3 (4'38") Sinopsis:

¿Qué porcentaje es 100 de 80?

Problema 1 (1'47") Sinopsis:

Un hotel tiene 300 habitaciones de las que 60 están vacías. ¿Cua´l es el porcentaje de ocupación?

Problema 2 (4'38") Sinopsis:

En México 13 de cada 20 latas son recicladas. ¿Qué porcentaje de latas es reciclado?

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

Actividad Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo del porcentaje conocida una parte y el total.

Autoevaluación Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre cálculo del porcentaje a partir de la parte y el total.

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Actividades

Cálculo del total y del porcentaje

Actividad Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo del total conocida una parte y el porcentaje, o del porcentaje conocida una parte y el total.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre porcentajes.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas de autoevaluación sobre porcentajes.

Antes de hacer la autoevaluación puedes ver algunos ejemplos aquí: Ejemplos

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Aumentos y disminuciones porcentuales

La forma de resolver problemas de aumentos y disminuciones porcentuales no es diferente a la que hemos usado para resolver otros problemas de porcentajes, pero hay que tener especial precaución a la hora de colocar los elementos que intervienen en la regla de tres.

$\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento \ tr\acute{a}s \ disminuir \ o \ aumentar ~ \ \longrightarrow \ Valor \ tr\acute{a}s \ disminuir \ o \ aumentar \\ \qquad \qquad 100 \qquad \qquad \qquad \longrightarrow \ Valor \ inicial \end{matrix} \right \}$

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Aumentos porcentuales

Ejercicio resuelto: Aumentos porcentuales

Las reservas de agua de un embalse han aumentado este año un 20% respecto al año pasado, que eran 60 millones de litros. ¿Cuáles son las reservas actuales?

Solución:

Método 1: A partir de la definición de porcentaje

Reservas actuales = Reservas del año pasado + aumento del 20% =

$= 60 + \cfrac {20 \cdot 60}{100} = 60 + 12 = 72$ millones de litros.

Método 2: Mediante una regla de tres

                %         Reservas
               -----      --------
  Año pasado:   100  ---->  60
  Año actual:   120  ---->   x

$x=\frac{60 \cdot 120}{100}= 72$ millones de litros

Método 3: Multiplicando por el índice de variación

El índice de variación para un aumento del 20% se calcula como sigue:

$I_V=1+\cfrac{20}{100}=1+0.2=1.2$

Reservas actuales $=60 \cdot 1.2 = 72$ millones de litros.

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Disminuciones porcentuales

Ejercicio resuelto: Disminuciones porcentuales

Las reservas de agua de un embalse han disminuido este año un 20% respecto al año pasado, que eran 60 millones de litros. ¿Cuáles son las reservas actuales?

Solución:

Método 1: A partir de la definición de porcentaje

Reservas actuales = Reservas del año pasado - disminución del 20% =

$= 60 - \cfrac {20 \cdot 60}{100} = 60 - 12 = 48$ millones de litros.

Método 2: Mediante una regla de tres

                %         Reservas
               ----       --------
  Año pasado:  100   ---->   60
  Año actual:   80   ---->    x

$x=\frac{60 \cdot 80}{100}= 48$ millones de litros

Método 3: Multiplicando por el índice de variación

El índice de variación para una disminución del 20% se calcula como sigue:

$I_V=1-\cfrac{20}{100}=1-0.2=0.8$

Reservas actuales $= 60 \cdot 0.8 = 48$ millones de litros.

Aumentos y disminuciones porcentuales

Tutorial 1 (6'03") Sinopsis:

Cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales . Ejemplos.

Tutorial 2 (26'05") Sinopsis:

Tutorial que explica los problemas de porcentajes y proporciones simples, es decir donde sólo interviene una variación, viendo distintos métodos para dar con la solución.

Tutorial 3 (6'35") Sinopsis:

Cálculo de porcentajes y de incrementos y disminuciones porcentuales por el método directo. Ejemplos.

Problemas (6'35") Sinopsis:

Problemas de cálculo de porcentajes y de incrementos y disminuciones porcentuales por el método directo.

Aumentos y disminuciones porcentuales

Aumentos porcentuales:

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de aumentos porcentuales.

Actividad 2 Descripción:

Calcula los siguientes aumentos porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) En un instituto hay un 12% más de alumnas que de alumnos. ¿Cuántas alumnas hay sabiendo que hay 150 alumnos?

b) El precio de una bicicleta que costaba 400 € el año pasado, ha subido un 20%.¿Cuál es el precio actual?

c) Actualmente me dan 15 € mensuales de paga, pero he convencido a mis padres para que me suban el 15%. ¿Cuál será mi paga a partir de ahora?

d) ¿Cuánto hay que pagar por un disco de 15 € si hay que sumarle el 16% de IVA?

e) La factura de teléfono de este mes es de 45 € sin IVA. ¿Cuánto será al añadirle el 16% de IVA?

f) ¿Cuánto nos costará dormir una noche en un hotel sabiendo que la habitación vale 70 € sin IVA y el IVA es del 7%?

Autoevaluación Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de aumentos porcentuales.

Disminuciones porcentuales:

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de disminuciones porcentuales.

Actividad 2 Descripción:

Calcula las siguientes disminuciones porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) Un ordenador cuesta este año 850 €. ¿Cuánto costará el año que viene sabiendo que perderá el 40% de su valor?

b) Mis padres me han dado 40 € por mi cumpleaños. ¿Cuánto me quedará al final del día si me gasto el 80% de lo que me han dado?

c) Un trabajador tiene un salario bruto de 980 € al mes, del que le descuentan un 12% en impuestos. ¿Qué salario neto percibe?

d) En una tienda hacen una rebaja del 20% a todos los artículos. ¿Cuanto costará ahora una camisa que antes costaba 35 €? ¿Y un pantalón de 40 €?

e) Tengo 52 € y me quiero comprar un MP3 que costaba antes de las rebajas 60 €. ¿Podré pagarlo si lo rebajan un 15%?

f) Quiero comprarme unas zapatillas de deporte. En una tienda veo dos que me gustan; las primeras tienen un precio de 45 € y una rebaja del 30% y las segundas cuestan 35 € pero no tienen rebaja. ¿Cuáles salen más baratas?

Autoevaluación 1 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de disminuciones porcentuales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de disminuciones porcentuales.

Aumentos y disminuciones porcentuales:

Autoevaluación 1 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales.

Si quieres puedes ver unos ejemplos antes de hacer la autoevaluación: [1]

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas de cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales.

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