Teorema de Pitágoras (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Teorema de Pitágoras
2 Aplicaciones del teorema de Pitágoras
- 2.1 Cálculo del lado desconocido en un triángulo rectángulo
- 2.2 Cálculo de la distancia entre dos puntos
3 Clasificación de un triángulo atendiendo a sus ángulos conocidos sus lados
4 Ternas pitagóricas
- 4.1 Generando ternas pitagóricas
5 Ejercicios y problemas
- 5.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 188)

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Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$a^2+b^2=c^2\;\!$

donde $a\;\!$ y $b\;\!$ son los catetos y $c\;\!$ la hipotenusa.

Este teorema se debe a Pitágoras de Samos (aprox. 582 a.C.- 507 a.C.)

Demostración:

Fíjate en la figura de la derecha y observa como el cuadrado grande, de lado

a + b

, puede descomponerse en un cuadrado de lado

c

y 4 triángulos rectángulos, como el de partida, de catetos

a

b

e hipotenusa

c

La superficie del cuadrado grande de lado $a + b$ es:

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\;\!$

La superficie de los cuatro triángulos rectángulos es :

$4 \cdot \cfrac {b \cdot a}{2}=2ab$

Restando el área del cuadrado grande de lado $a + b$ menos las areas de los 4 triángulos rectángulos, se obtiene el área del cuadrado de lado $c$ :

$c^2=(a+b)^2-2ab\;\!$

Desarrollando el cuadrado del binomio:

$c^2=(a^2+b^2+2ab)-2ab\;\!$

De donde obtenemos, simplificando:

$c^2=a^2+b^2 \;\!$

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras:

Tutorial 1 (7'24") Sinopsis:

Teorema de Pitágoras. Ejemplos y ejercicios.

Tutorial 2 (10'54") Sinopsis:

Teorema de Pitágoras. Ejemplos y ejercicios.

Tutorial 3 (2'17") Sinopsis:

Teorema de Pitágoras. Ejemplos.

Tutorial 4 (2'15") Sinopsis:

Teorema de Pitágoras y recíproco. Ejemplo.

Demostraciones:

Demostración 1 (4´29") Sinopsis:

Demostración del teorema de Pitágoras mediante una construcción geométrica, con ejemplos previos de casos particulares.

Demostración 2 (5'00") Sinopsis:

La misma demostración del teorema de Pitágoras mediante una construcción geométrica, sin ejemplos previos.

Demostración 3

Otra demostración basada en el teorema de la altura y el teorema del cateto.

Consta de tres partes:

1. Teorema de la altura (13´57") Sinopsis:

Demostración del teorema de de la altura.

2. Teorema del cateto (16´16") Sinopsis:

Demostración del teorema del cateto.

3. Teorema de Pitágoras (15´24") Sinopsis:

Demostración del teorema de Pitágoras.

Otros videos:

Pitágoras y su teorema (9'56") Sinopsis:

Pitágoras. El teorema de Pitágoras. Demostraciones.

Pitágoras: mucho más que un teorema (25´) Sinopsis:

Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música. Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. Exploraremos sus aportaciones tanto en el terreno de los sistemas de numeración que empleaban, como de sus habilidades astronómicas y geométricas. Del sistema sexagesimal de los babilonios hemos heredado tanto la división de la circunferencia en 360 grados como la forma actual de medir el tiempo en horas, minutos y segundos. Sus tablillas nos reservan unas cuantas sorpresas matemáticas. Quizás la más importante, la tablilla Plimpton, nos desvela el hecho sorprendente de que conocían las ternas pitagóricas mil años antes de que Pitagoras viera la luz.Disfrutaremos de alguna de las demostraciones gráficas más llamativas del famoso teorema, el que cuenta con un mayor número de demostraciones distintas a lo largo de la historia.

Teorema de Pitágoras

Demostraciones gráficas Descripción:

Esta unidad didáctica presenta varias demostraciones del teorema de Pitágoras.

Comprobación geométrica Descripción:

En esta escena podrás comprobar el teorema de Pitágoras mediante el procedimiento gráfico de los cuadrados construidos sobre los lados del triángulo.

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras

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Cálculo del lado desconocido en un triángulo rectángulo

Procedimiento

A partir de la fórmula del teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=c^2\;\!$

podemos despejar cualquiera de los lados:

$c=\sqrt{a^2+b^2} \qquad a=\sqrt{c^2-b^2} \qquad b=\sqrt{c^2-a^2}$

Aplicación del teorema de Pitágoras

Tutorial 1 (7´31") Sinopsis:

Enunciado y ejercicios del teorema de Pitágoras.

Tutorial 2 (29´37") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y demuestra el teorema más famoso de las matemáticas, el TEOREMA DE PITÁGORAS, y se resuelven algunos ejercicios sencillos en los que se aplica dicho teorema.

00:00 a 03:00: Enunciado del Teorema de Pitágoras.
03:00 a 07:05: Demostración del Teorema de Pitágoras.
07:05 a 26:35: Ejercicios donde se aplica el Teorema de Pitágoras.
26:35 a 29:37: Teorema recíproco de Pitágoras.

Tutorial 3 (9´35") Sinopsis:

Aprende a aplicar el teorema de Pitágoras.

Tutorial 4 (4´34") Sinopsis:

Ejemplos de como se aplica el teorema de Pitágoras.

Tutorial 5 (12´45") Sinopsis:

Ejercicios con el Teorema de Pitágoras.

Problema 1 (2'59") Sinopsis:

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, respectivamente.

Problema 2 (2'57") Sinopsis:

Halla la distancia entre dos ciudades situadas en los vértices de un triángulo rectángulo.

Problema 3 (3'16") Sinopsis:

Halla la distancia entre dos ciudades situadas en los vértices de un triángulo rectángulo.

Problema 4 (3'32") Sinopsis:

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 23 cm y uno de los catetos mide 6 cm, calcula el otro cateto.

Problema 5 (4'22") Sinopsis:

Calcula la longitud de los lados desconocidos de dos triángulos rectángulos dados.

Problema 6 (4'05") Sinopsis:

Calcula la longitud de los lados desconocidos de una figura dada.

Problema 7 (4'58") Sinopsis:

Calcula la altura de un campo de cultivo con forma de triángulo isósceles, sabiendo que el perímetro es 450 y el lado desigual mide 160 m.

Problema 8 (2'44") Sinopsis:

Calcula la diagonal de un rectángulo de base 4 cm ya altura 6 cm.

Problema 9 (4'39") Sinopsis:

Un albañil está construyendo una pared rectangular de 12 m de base y 9 m de altura. En la diagonal quiere poner una cenefa para dividir la pared en dos partes iguales. ¿Cuántos metros de cenefa necesitará?. Si cada metro de cenefa cuesta 3.25 €, ¿tendrá suficiente con 50€?

Problema 10 (3'07") Sinopsis:

Halla la diagonal de un cuadrado de 40 m de lado.

Problema 11 (3´17") Sinopsis:

El triángulo equilátero: construcción y cálculo de la altura.

Problema 12 (2'31") Sinopsis:

Cálculo de la diagonal de un cubo a partir de su arista.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras Descripción:

Ejemplos y ejercicios de aplicación del teorema de Pitágoras.

Problemas de aplicación del teorema de Pitágoras Descripción:

En esta escena podrás ver como se resuelven algunos problemas típicos mediante el teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras (Khan Academy) Descripción:

Actividades sobre el teorema de Pitágoras en Khan Academy.

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Cálculo de la distancia entre dos puntos

Conocidas las coordenadas de dos puntos del plano, el teorema de Pitágoras nos permite calcular la distancia entre ambos:

Proposición

La distancia entre dos puntos $P(x_1,y_1)\,$ y $Q(x_2,y_2)\,$ es igual a:

$d(PQ)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Demostración:

Demostración:

Ver el siguiente videotutorial.

Distancia ente dos puntos

Tutorial 1 (8´59") Sinopsis:

Módulo de un vector = distancia entre dos puntos. Demostración de la fórmula.
Ejemplos y ejercicios.

Tutorial 2 (8'37") Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano. Ejemplos.

Tutorial 3 (6'12") Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano. Ejemplos.

Tutorial 4 (10'06") Sinopsis:

Fórmula de la distancia euclidea entre dos puntos del plano. Ejemplos.
Otra distancia: la "distancia de Manhattan".

Cálculo de distancias:

Ejercicio 1 (2'30") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos A(7,3) y B(3,-1).

Ejercicio 2 (4'17") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos A(3,1/2) y B(4/3,-1).

Ejercicio 3 (4'21") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos A(3/2,-1/6) y B(-1/2,1/3).

Ejercicio 4 (3'31") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos $A(5\sqrt{6},8\sqrt{2})\;$ y $B(3\sqrt{6},-7\sqrt{2})\;$ .

Ejercicio 5 (4'49") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos $A \left( \cfrac{-\sqrt{5}}{4},\cfrac{3}{5}\right)\;$ y $B \left(\cfrac{\sqrt{5}}{4},-\cfrac{1}{5}\right)\;$ .

Halla la coordenada que falta:

Ejercicio 1 (5'11") Sinopsis:

Halla el valor de "x" para que la distancia entre los puntos A(x,-1) y B(9,4) sea 13.

Ejercicio 2 (4'30") Sinopsis:

Halla el valor de "y" para que la distancia entre los puntos P(7,1) y Q(3,y) sea 5.

Ejercicio 3 (6'09") Sinopsis:

Halla el punto Q el eje Y que equidista de A(4,2) y B(5,5).

Ejercicio 4 (5'26") Sinopsis:

Halla el punto P el eje X que equidista de A(5,1) y B(0,6).

Ejercicio 5 (11'53") Sinopsis:

Halla el punto P que equidista de A(7,-3), B(8,-2) y C(0,-2).

Ejercicio 6 (7'10") Sinopsis:

La abscisa, x, de un punto P, es el doble de sus ordenada, y. P equidista de Q(4,-3) y R(1,6). Halla el punto P.

Ejercicio 7 (6'15") Sinopsis:

Sean los puntos M(5,2) y N(1,k). Determina "k" en cada uno de los siguientes casos:

a) d(M,N)=4; b) d(M,N)=6; c) d(M,N)=1

Polígonos:

Ejercicio 1 (6'21") Sinopsis:

Halla el perímetro del triángulo de vértices A(3,-8), B(-2,2) y C(7,-1).

Ejercicio 2 (6'21") Sinopsis:

Halla el perímetro del polígono de vértices A(3,2), B(5,5), C(-2,4) y D(-4,1).

Ejercicio 3 (9'17") Sinopsis:

Halla el área del triángulo de vértices P(-1,2), Q(2,4) y R(0,5), usando la fórmula de Herón.

Ejercicio 4 (9'17") Sinopsis:

Halla el área del triángulo de vértices P(6,0), Q(2,-5) y R(-2,-1), usando la fórmula de Herón.

Ejercicio 5 (7'56") Sinopsis:

Verifica que los puntos A(3,5), B(-1,-1) y C(4,4) son los vértices de un triángulo rectángulo. Halla su área.

Ejercicio 6 (8'04") Sinopsis:

Verifica que los puntos A(-2,4), B(6,2) y C(3,-1) son los vértices de un triángulo rectángulo. Halla su área.

Ejercicio 7 (5'46") Sinopsis:

Verifica que los puntos $A(-1,0)\;$ , $B(3,0)\;$ y $C(1,2\sqrt{3})$ forman un triángulo equilátero.

Ejercicio 8 (6'04") Sinopsis:

Verifica que los puntos A(-2,-3), B(-4,-5) y C(-1,-6) son los vértices de un triángulo isósceles.

Ejercicio 9 (7'54") Sinopsis:

Analizar si el triángulo A(7,3), B(1,-4) y C(3,5) es equilátero.

Puntos colineales:

Ejercicio 1 (6´12") Sinopsis:

Determina si los puntos A(-3,1), B(0,2) y C(6,4) son colineales, usando distancias.

Ejercicio 2 (6´11") Sinopsis:

Determina si los puntos A(321), B(0,0) y C(9,6) son colineales, usando distancias.

Ejercicio 3 (8´12") Sinopsis:

Determina si los puntos A(-3,3), B(1,1/3) y C(3,-1) son colineales, usando distancias.

Otros:

Ejercicio 1 (7'30") Sinopsis:

Determina los puntos del plano cuya distancia al punto M(3,-5) sea 2.

Distancia entre dos puntos del plano Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la distancia entre dos puntos del plano.

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Clasificación de un triángulo atendiendo a sus ángulos conocidos sus lados

En un triángulo cualquiera, si llamamos $a$ al lado mayor, y a los otros dos $b$ y $c$ , se cumple que:

Si $a 2 > b 2 + c 2$ , el triángulo es obtusángulo
Si $a 2 = b 2 + c 2$ , el triángulo es rectángulo
Si $a 2 < b 2 + c 2$ , el triángulo es acutángulo

Clasificar un triángulo atendiendo a sus ángulos conocidos sus lados

Tutorial (3'16") Sinopsis:

Clasificar un triángulo atendiendo a sus ángulos conocidos sus lados. Ejemplos.

Ejercicio 1 (1'37") Sinopsis:

Los lados de un triángulo miden 5, 2 y 3 cm, respectivamente. Averigua, sin dibujarlo, si es rectángulo.

Ejercicio 2 (2'30") Sinopsis:

Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 11 cm, respectivamente. Averigua si es rectángulo.

¿Rectángulo, acutángulo u obtusángulo? Descripción:

Clasificación de los triángulos atendiendo a sus ángulos basada en la longitud de sus lados.

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Ternas pitagóricas

Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras.
Las ternas cuyos tres números son primos entre sí, es decir, tales que m.c.d(a,b,c)=1, reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas.

Ejemplos:

(3,4,5) es una terna pitagórica ( $52 = 3 2 + 4 2$ ).

También son ternas pitagóricas sus múltiplos: (6,8,10), (9,12,15), ... ,(3k,4k,5k) con $k \in \mathbb{N}$ .

Ternas pitagóricas (1'56") Sinopsis:

Las ternas pitagóricas. Ejemplos.

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Generando ternas pitagóricas

Proposición

Si $(a,b,c)\;$ es una terna pitagórica entonces también lo es $(ka,kb,kc)\;$ , con $k \in \mathbb{N}$ .

Demostración:

Sea (a,b,c) es una terna pitagórica. Se cumple:

$a^2+b^2=c^2 \,$ [1]

Vamos a comprobar que (ka,kb,kc) también lo es y para ello veremos que también cumple el teorema de Pitágoras:

$(ka)^2+(kb)^2=k^2a^2+k^2b^2=k^2(a^2+b^2)=k^2c^2=(kc)^2\;$

donde en el el penúltimo paso hemos utilizado la igualdad [1].

Por tanto, (ka,kb,kc) cumple el teorema de Pitágoras y es una terna pitagórica.

Proposición

$\{ (a,b,c) \ / \ a=k^2+1 \, ; \ b=2k\, ; \ c=k^2-1 \, , \ k \in \mathbb{N} \}$ son ternas pitagóricas.

$\{ (a,b,c) \ / \ a=p^2-q^2 \, ; \ b=2pq \, ; \ c=p^2+q^2 \,, \ p>q \}$ son ternas pitagóricas.

Generación de ternas pitagóricas Descripción:

En esta escena podrás ver como se generan ternas pitagóricas.

Proposición

Si $x_{n-1}, \, x_n, \, x_{n+1}, \, x_{n+2} \;$ son cuatro términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, entonces los siguientes números

$a_1 = x_{n-1} x_{n+2}\, ; \ \ a_2= 2x_n x_{n+1}\, ; \ \ a_3=\sqrt{a_1^2 +a_2^2}$

forman una terna pitagórica.

Demostración:

Se demuestra expresando los términos centrales de la subsucesión de Fibonacci, en función de los términos extremos y, luego, aplicando el teorema de Pitágoras para $a_1 \, y \, a_2 \;$ considerándolos como 'catetos'.

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Ejercicios y problemas

Ejercicios resueltos: Aplicaciones del teorema de Pitágoras Descripción:

Ejercicios de aplicación del teorema de Pitágoras.

Autoevaluación I: Aplicaciones del teorema de Pitágoras Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre aplicaciones del teorema de Pitágoras.

Autoevaluación II: Aplicaciones del teorema de Pitágoras Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre aplicaciones del teorema de Pitágoras.

Autoevaluación III: Aplicaciones del teorema de Pitágoras Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre aplicaciones del teorema de Pitágoras.

Autoevaluación IV: Aplicaciones del teorema de Pitágoras Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre aplicaciones del teorema de Pitágoras.

Problemas: Áreas y perímetros de polígonos

Problema 1 (5'34") Sinopsis:

Calcula el área de un triángulo equilátero de 36 m de perímetro.

Problema 2 (3'44") Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 6 cm y 2 cm, respectivamente. La altura mide 3 cm. Calcula su perímetro.

Problema 3 (4'00") Sinopsis:

El lado de un rombo mide 20 m y una de las diagonales 32 m. Calcula su área.

Problema 4 (8´12") Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 36 cm y 24 cm.

Problema 5 (4'53") Sinopsis:

Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 5 m y 6 m, respectivamente.

Problema 6 (5'19") Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1 cm.

Problema 7 (6'27") Sinopsis:

Calcula el área de una hexágono regular de 10 cm de lado.

Problema 8 (6'33") Sinopsis:

¿Cuántas baldosas con forma de hexágono regular de 80 cm de lado se necesitan para embaldosar una habitación de 13 m de largo por 9.4 m de ancho?

Problema 9 (4'39") Sinopsis:

Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 10 y 14 cm, respectivamente.

Problema 10 (4'10") Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 4 cm y 7 cm, y su altura 4 cm. Halla su perímetro.

Problema 11 (4'09") Sinopsis:

Calcula el área de un triángulo equilátero de 7 cm de lado.

Problema 12 (6'44") Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm.

Problemas: Cuerdas de circunferencias

Problema 1 (5'21") Sinopsis:

En una circunferencia de 5 cm de radio, trazamos una cuerda cuya distancia al centro es de 3 cm. Calcula la longitud de la cuerda.

Problema 2 (5'21") Sinopsis:

En una circunferencia de radio 10 cm se traza la cuerda de 16 cm. Calcula la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda.

Problemas: Áreas de figuras complejas

Problema 1 (3'00") Sinopsis:

Calcula el área que resulta de quitarle a un cuadrado de 6 m de lado, un círculo inscrito en él.

Problema 2 (4'13") Sinopsis:

Calcula el área de una figura formada por la unión de un semicírculo y un triángulo isósceles tales que el diámetro del semicírculo coincide con el lado desigual del triángulo y los lados iguales del triángulo miden 4 m.

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