Divisibilidad
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| Línea 19: | Línea 19: | ||
| {{Descomposición factorial de un número}} | {{Descomposición factorial de un número}} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | |||
| - | ===Obtención de los divisores de un número=== | ||
| - | Para obtener los divisores de un número podemos proceder siguiendo uno de los dos métodos que ilustramos con el siguiente ejemplo: | ||
| - | {{Ejemplo | ||
| - | |titulo= | ||
| - | Ejemplo: ''Obtener los divisores de un número'' | ||
| - | |enunciado= | ||
| - | :Obtén los divisores de 90. | ||
| - | |sol= | ||
| - | '''Método 1:''' | ||
| - | Descomponemos 90 en factores primos: | ||
| - | <center><math>90=2 \cdot3^2 \cdot 5</math></center> | ||
| - | Construimos una tabla para formar las posibles combinaciones de productos de factores. | ||
| - | <center>[[Imagen:divisores90.png|500px]]</center>{{p}} | ||
| - | Cada casilla de la tabla contiene un divisor: 1, 3, 9, 2, 6, 18, 5, 15, 45, 10, 30 y 90. | ||
| - | ---- | ||
| - | '''Método 2:''' | ||
| - | Dividimos 90 por su primer divisor: | ||
| - | :90:1=90. Ya tenemos dos divisores: 1 y 90. | ||
| - | Dividimos 90 por el siguiente divisor: | ||
| - | :90:2=45. Ya tenemos otros dos: 2 y 45. | ||
| - | Proseguimos de igual forma: | ||
| - | :90:3=30. Obtenemos 3 y 30. | ||
| - | :90:5=18. Obtenemos 5 y 18. | ||
| - | :90:6=15. Obtenemos 6 y 15. | ||
| - | :90:9=10. Obtenemos 9 y 10. | ||
| - | Paramos porque el siguiente divisor es 10, que ya se ha obtenido. | ||
| - | }}{{p}} | ||
| - | {{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Divisores de un número''|cuerpo= | ||
| - | {{ai_cuerpo | ||
| - | |enunciado=1. Calcula los divisores de un número. | ||
| - | |actividad= | ||
| - | Marca el número que quieras en la ventana del control que está bajo la escena y pulsa intro, así aparecerán todos los divisores que tiene ese número. | ||
| - | |||
| - | También puedes ir variando el valor del número utilizando los triángulos arriba y abajo. | ||
| - | El número más grande que puedes marcar es el 10.000 | ||
| - | |||
| - | <center><iframe> | ||
| - | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Multiplos_divisores/divisores_1.html | ||
| - | width=420 | ||
| - | height=420 | ||
| - | name=myframe | ||
| - | </iframe></center> | ||
| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Multiplos_divisores/divisores_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
| - | Investiga y contesta en tu cuaderno: | ||
| - | |||
| - | Toma nota de la cantidad de divisores de cada uno de los números del 0 al 50 | ||
| - | :a) ¿Cuál es el número natural que tiene mayor cantidad de divisores? ¿Cuántos divisores tiene? | ||
| - | :b) ¿Cuál es el número natural que tiene menor cantidad de divisores? ¿Cuántos divisores tiene? | ||
| - | :c) ¿Cuántos divisores tiene un número primo? | ||
| - | Marca un número de 4 cifras, pulsa intro, con el triángulo arriba vete aumentando de uno en uno el valor del número. Observa la disparidad de número de divisores que tiene cada número. Anota lo que observes. | ||
| - | :d) ¿Crees que un número grande es de esperar necesariamente que tenga más divisores? | ||
| - | :e) ¿De qué crees que depende? | ||
| - | |||
| - | }} | ||
| - | }} | ||
| - | <br> | ||
| ==Máximo común divisor== | ==Máximo común divisor== | ||
Revisión de 07:43 20 feb 2009
Tabla de contenidos[esconder] |
Múltiplos y divisores
Plantilla:Múltiplos y divisores
Criterios de divisibilidad
Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.
| Divisible por: | Criterio |
|---|---|
| 2 | El número acaba en 0 ó cifra par. |
| 3 | La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. |
| 4 | El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4. |
| 5 | La última cifra es 0 ó 5. |
| 6 | El número es divisible por 2 y por 3. |
| 7 | La diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7. |
| 8 | El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8. |
| 9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9. |
| 10 | La última cifra es 0. |
| 11 | Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es) |
Números compuestos y números primos
 Propiedad
 |  |
Criba de Eratóstenes
La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n, que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C. Procedimiento Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera:
|  |
Determinemos, mediante el siguiente ejemplo, el proceso para determinar la lista de los números primos menores de 20.
- Primer paso: listar los números naturales comprendidos entre 2 y 20.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
- 2. Segundo paso: Se toma el primer número no rayado ni marcado, como número primo.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
- 3. Tercer paso: Se tachan todos los múltiplos del número que se acaba de indicar como primo.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
- 4. Cuarto paso: Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces se repite el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos.
- Como 3² = 9 < 20, se vuelve al segundo paso:
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
- 5. Quinto paso: En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Se tachan sus múltiplos. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y se consideran primos todos los números que no han sido tachados.
- Como resultado se obtienen los números primos comprendidos entre 2 y 20, y estos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Cómo averiguar si un número es primo
Procedimiento para ver si un número es primo
Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).
(cociente=83, resto=1) No es divisible por 2. Como 83>3 sigo probando con 3.
Descomposición factorial de un número
Se le llama descomposición factorial o factorización de un número, a su expresión como producto de potencias de números primos.
Descomposición en factores primos
Cualquier número puede expresarse como producto de potencias de números primos.
Máximo común divisor
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes elevados al menor exponente.
Actividad Interactiva: m.c.d.
1. Calcula el m.c.d. de dos números.
|
Propiedad
Si a es múltiplo de b, entonces m.c.d.(a,b)=b.
Por ejemplo, m.c.d.(15, 30)=15.
Números primos entre sí
Dos números son primos entre sí, si su m.c.d. es 1.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman todos los factores elevados al mayor exponente.
Actividad Interactiva: m.c.m.
1. Calcula el m.c.m. de dos o tres números.
|
Propiedades
- Si a es múltiplo de b, entonces
.
- Si a y b son primos entre sí, entonces
.
Por ejemplo:
- m.c.m.(15, 30)=30, porque 30 es múltiplo de 15.
- m.c.m.(4,11)=44, porque 4 y 11 son primos entre sí.
Actividad Interactiva: m.c.d. y m.c.m.
Actividad 1: Una fórmula que relaciona el m.c.d. y el m.c.m.
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Ejercicios y problemas
Ejercicios
Actividad Interactiva: m.c.d. y m.c.m.
Actividad 1: Las baldosas de mi cuarto.
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 Ejercicios
1. Averigua si son primos o no los números 233 y 1.573.
2. Descompón en factores los números 3.450 y 114.400.
Solución:[Mostrar]
3. Escribe todos los divisores de 840
4. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:
5. ¿Cuáles de estos pares de números son primos entre sí?
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Problemas
Problemas
1. Cierto planeta A tarda 150 días en completar una orbita completa alrededor de su sol. Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas están alineados con el sol, ¿Cuánto tardarán en volver a estarlo?
2. Jaime hace una revisión rutinaria de su vehículo cada 15.000 km y hace otra revisión más a fondo cada 70.000 km ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos revisiones?
3. Una empresa vinícola de Montilla tiene que embasar 1.650 litros de vino dulce y 3.600 litros de vino fino, en toneles iguales de la mayor capacidad posible. ¿De qué capacidad serán los toneles?
4. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si queremos que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la anchura del azulejo?
5. En una peña hay entre 300 y 400 amigos. Para hacer una competición podemos formar grupos de 9, de 15 o de 21, sin que sobre o falte nadie. ¿Cuántos son en la peña?
6. Si agrupamos las cajas de una almacén de 2 en 2, de 3 en 3, o de 4 en 4, siempre sobra 1. Calcula cuántos cajas hay sabiendo que no hay más de 20.
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Calculadora
WIRIS: Factorizar, m.c.d., m.c.m., números primos
Ayúdate de los ejemplos anteriores y utiliza el editor para:
- a) Calcular m.c.d.(24,68,80).
- b) Calcular m.c.m.(12,16,20).
- c) Descomponer en factores primos del número 2.560.
- d) Comprobar si el número 331 es primo.
Hazlos primero en tu cuaderno.
