Números reales (1ºBach)

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"Dios creó los números naturales, lo demás es obra de los hombres."

L. Kronecker

(pág. 32)

Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos

Recordemos las sucesivas ampliaciones de los conjuntos númericos que se han estudiado en cursos anteriores:

Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Advertencia: [Mostrar]

Ejemplos [Mostrar]

Los números naturales [Mostrar]

Los números naturales Descripción: [Mostrar]

¿Qué números aparecieron primero, los cardinales o los ordinales? [Mostrar]

El género de los números y otras curiosidades [Mostrar]

La facultad de abstracción. Historia del cero (2'42") Sinopsis:[Mostrar]

Prohibido dividir por cero (5'58") Sinopsis:[Mostrar]

Este conjunto es insuficiente si queremos dar solución a ecuaciones como:

$x+3=1\;$

Se precisa de un conjunto más amplio que incluya a los números negativos, el conjunto de los números enteros.

Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. Nos vemos obligados a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros

$\mathbb{Z}=\left \lbrace -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Está formado por:

El conjunto de los números naturales o enteros positivos : $\mathbb{Z}^+=\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$ .
Sus opuestos, los enteros negativos: $\mathbb{Z}^-=\left \lbrace \cdots, -1 ,\ -2,\ -3, \cdots \right \rbrace$ .
El cero (0).

Como consecuencia, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ , que se lee: "el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros".

Números naturales, números enteros y la recta numérica [Mostrar]

Este conjunto también se nos queda chico. Por ejemplo, la ecuación

$3x=2\;$

no tiene solución en el conjunto de los números enteros ya que requiere números fraccionarios. Es necesaria la ampliación al conjunto de los números racionales.

Números racionales

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

$\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace$

Estos números, o bien son enteros, o bien se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.

Pero, ¿qué ocurre si queremos resolver la siguiente ecuación?:

$x^2=2\;$

La respuesta la tienes en el siguiente resultado:

Proposición

No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número $\sqrt{2} \,$ no es racional.

Demostración:[Mostrar]

Un número secreto (2´49") Sinopsis: [Mostrar]

El formato DIN A4 y la raíz de 2 (4´40") Sinopsis:[Mostrar]

El formarto DIN A: [Mostrar]

blog.imprentaonline24.es

No es necesario estar vinculado al sector de las Artes Gráficas o al mundo del diseño para estar en contacto diario con el sistema de clasificación o medidas de papel DIN A. Seguramente si alguna vez habrás tenido que imprimir un documento o imagen en un tamaño en concreto. Y en algún momento nos hemos preguntado si nuestra impresora podría tolerar ese tamaño de impresión. Estamos habituados a escuchar que si tal o cual formato está en A4, A3, A5, etc. ¿pero de qué manera funcionan todos? ¿cuál es su origen y sus utilidades? A continuación respondemos a estas preguntas.

DIN no es más que un acrónimo que significa Deutches Institut für Normung, que traducido significa Instituto Alemán de Normalización. Esta entidad que surgió en 1917 es la encargada de dictar los estándares o normas técnicas en Alemania. Dichas normas tienen como finalidad exclusiva asegurar y garantizar la calidad de aquello que se quiere normalizar, en este caso el tamaño del papel. Aunque quizás pienses que la normativa DIN sólo hace referencia al formato del papel, lo cierto es que existen y puedes encontrar aproximadamente 30.000 normativas DIN en este 2016 según archivo.

Fue el ingeniero berlinés Walter Porstmann quien estableció hacia el año 1922 las medidas DIN A a partir de la incorporación de la normativa DIN 476. El propósito era estandarizar de alguna manera los diferentes formatos de papel o página para aprovechar el máximo de papel y que hubiera el mínimo desperdicio posible. Dentro de la misma normativa DIN 476 encontramos la serie A, donde se definen precisamente estas medidas. Junto a la serie A también existen otras cuatro plantillas B, C, D y E y cada una de ellas contiene una numeración de varios tamaños: 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Las medidas DIN A parten de un formato referente que es el A0. El resto de formatos y series se calculan siempre a partir de éste.

En la serie A, al tamaño de papel de 1 m² se le llama A0. Las divisiones posteriores que disminuyen la superficie a la mitad, reciben el nombre de A1, A2, A3, A4, etc. Lo que en realidad está indicando la numeración asociada a la letra A es la cantidad de cortes a la mitad desde la hoja original. Así por ejemplo, una hoja tamaño A4 tiene una superficie igual a la mitad de una hoja medida A3.

Cuando se corta por la mitad una hoja en tamaño A0 (1 m²), el lado más corto se convierte en la parte más larga de la hoja resultante (A1). Por tanto, si cortamos cualquier hoja de la serie a la mitad de su lado más largo, obtendremos siempre dos hojas del tamaño siguiente, que al mismo tiempo mantienen perfectamente las proporciones entre el ancho y el largo, siendo la razón de proporcionalidad igual a la raíz cuadrada de 2. Es decir, para cualquier formato DIN A, si dividimos el largo entre el ancho, nos dará (aproximadamente) 1,4142.

Puedes hacer la prueba: Mide el ancho y largo de una hoja tamaño DIN A4 y verás que se cumple la proporción; dóblala por el lado más largo y pártela por la mitad, mide el ancho y el largo de una de las mitades, divide las dos cifras y verás que se sigue cumpliendo: 1,4142.

Veamos la demostración:

wikipedia.es

Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:

$\cfrac{b}{a} = \cfrac{2a}{b}$

Esto es:

$\cfrac{b^2}{a^2} = 2 \rightarrow \quad \left ( {\cfrac{b}{a}} \right ) ^2 = 2 \rightarrow \quad \cfrac{b}{a} =\sqrt{2} \rightarrow \quad b = \sqrt{2} \cdot a$

Si la proporción entre el lado mayor y menor es raíz de dos, cortando un formato en dos iguales esta proporción se conserva.

Si el formato A0 tiene una superficie de un metro cuadrado, tendremos:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1m^2 \\ \\ b = \sqrt{2} \cdot a \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad a \cdot (\sqrt{2} \cdot a) = 1m^2 \rightarrow \quad \sqrt{2} \cdot a^2 = 1m^2 \rightarrow$

$a^2 = \cfrac{1m^2}{\sqrt{2}} \rightarrow \quad a = \sqrt{\cfrac{1m^2}{\sqrt{2}}} = \cfrac{1m}{\sqrt[4]{2}} = \cfrac{1}{1,189} \; m = 0,841 \; m$

Sabiendo el valor de a el cálculo de b es inmediato:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1 m^2 \\ \\ a = 0,841 m \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad (0,841 m) \cdot b = 1 m^2 \rightarrow \quad b = \cfrac{1 m^2}{0,841 m} = 1,189 m$

Lo que podemos resumir como regla mnemotécnica que el formato DIN A0, tiene por medidas:

$DIN \; A0 \quad \left \{ \begin{matrix} ancho = \cfrac{1}{\sqrt[4]{2}} \; m \\ \\ largo = \sqrt[4]{2} \; m \end{matrix} \right .$

Dividiendo el lado mayor entre dos, obtendremos sucesivamente los distintos formatos A1, A2, A3, A4 ...

Exraido de: blog.imprentaonline24.es y wikipedia.es

De forma más general:

Proposición

Si $p\;$ es un número primo, entonces el número $\sqrt{p} \,$ no es racional.

Demostración:[Mostrar]

Propiedades

La suma de un racional y un irracional es otro irracional

El producto de un racional por un irracional es otro irracional.

Existe al menos un irracional entre cualesquiera dos racionales.

Demostración:[Mostrar]

Surge, por tanto, la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales, añadiendole estos nuevos números que llamaremos irracionales

Números irracionales

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra $\mathbb{I}$ .

Advertencia: [Mostrar]

Ejemplos: [Mostrar]

Números irracionales [Mostrar]

Números irracionales famosos

El número áureo, Phi:

El número áureo ( $\phi\;$ ) [Mostrar]

Phi, el número de oro Descripción: [Mostrar]

Para más información ver: El número áureo

El número Pi:

El número Pi ( $\pi\;$ ) [Mostrar]

El número e:

El número e [Mostrar]

Los números reales

El conjunto de los números reales es el formado por la unión de los números racionales y de los números irracionales y se designa por $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

$\mbox{Reales } (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales }(\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros } (\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\ \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2} \end{cases}$

El conjunto de los números reales

_{de portaleduativo.net}

Sin embargo, sigue habiendo ecuaciones, algunas tan sencillas como

$x^2+1=0\;$

que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Esto se solucionará por medio de un nuevo conjunto numérico, el de los números complejos.

La recta real

(pág. 32)

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales.

Para su construcción:

Se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen y al que se le asocia el número 0.
Se selecciona una unidad U de longitud para medir distancias que es la que separa los números 0 y 1.
Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto.
A cada número real p se le asocia un punto de la recta que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva o negativa, dependiendo de si el número p es positivo o negativo, respectivamente.

Los números reales. La recta real (16´23") Sinopsis:[Mostrar]

Densidad de los números racionales

Los números racionales, al situarlos sobre la recta real, la ocupan densamente. Esto quiere decir que:

Entre dos números racionales hay infinitos números racionales.
Si tomamos un punto cualquiera de la recta numérica, hay infinitos números racionales tan cerca de él como queramos.

No obstante, en la recta real hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada uno de esos puntos le corresponde un número irracional.

Completitud de los números reales

Gracias al axioma del supremo o axioma de completitud, el conjunto de los números reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales de manera que a cada punto de la recta le hace corresponder un único número real y viceversa.

La recta real ampliada (8'14") Sinopsis:[Mostrar]

Representación gráfica de números reales en la recta real

En los siguientes ejemplos puedes ver distintos procedimientos de representación, dependiendo de cómo sea el número real que queramos representar:

Ejemplos [Mostrar]

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

Representación gráfica de números irracionales [Mostrar]

Construcción del número de oro Descripción: [Mostrar]

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:[Mostrar]

Números reales [Mostrar]

Ejercicios: Números reales

1. Obtén el valor del número áureo $\phi \,$ teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones $\phi :1 \,$ es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado de lado 1. (Ver fig.1)

Fig.1 Rectángulo áureo

2. Sitúa los siguientes números en el diagrama (Ver fig.2):

$\sqrt{3}, \, 5, \, -2, \, 4.5, \, 7.\widehat{3}, \, -\sqrt[3]{6}, \, \sqrt{64}, \, \sqrt[3]{-27}, \, \sqrt{-8}$

Fig.2

Intervalos de la recta real

(pág. 33)

Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura que debes conocer:

NOMBRE	SIMBOLO	SIGNIFICADO
Intervalo abierto	$(a, b)\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a<x<b \right \}$ Números comprendidos entre a y b.
Intervalo cerrado	$[a, b]\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x \le b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, ambos incluidos.
Intervalo semiabierto	$(a, b]\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a<x \le b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, b incluido.
Intervalo semiabierto	$[a, b)\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x<b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, a incluido.
Semirrecta	$( - \infty , a)\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x<a \right \}$ Números menores que a.
	$( - \infty , a]\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \le a \right \}$ Números menores o iguales que a.
	$( a, + \infty )\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a < x \right \}$ Números mayores que a.
	$[ a, + \infty )\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x \right \}$ Números mayores o iguales que a.

La recta real se representa en forma de intervalo: $\mathbb{R}=( - \infty, + \infty )$

Intervalos de la recta real [Mostrar]

Operaciones con intervalos [Mostrar]

Intevalos y semirrectas [Mostrar]

Intervalos y semirrectas [Mostrar]

Ejercicios resueltos: Intervalos y semirrectas

1. Representar los siguientes conjuntos numéricos:

a) Números mayores que 3.

b) $\left \{ x \in \mathbb{R} \ / 2 \le x<5 \right \}$

c) $\left \{ x \in \mathbb{R} \ / 3 \le x \le 7 \right \}$

d) Números menores que 1 excluyendo el 0.

e) $\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x^2 \ge 4 \right \} = \left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \le 2 \right \} \cup \left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \ge 2 \right \}$

Solución:[Mostrar]

Valor absoluto de un número real

(pág. 32)

El valor absoluto o módulo de un número real $a\;$ es el propio número $a\;$ , si es positivo o nulo. Y su opuesto, $-a\;$ , si es negativo. Es decir:

$|a| = \begin{cases} \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\ -a\, , & \mbox{si } a < 0 \end{cases}$

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a\;$ corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde $a\;$ hasta el cero.

Ejemplos: [Mostrar]

Actividades: Valor absoluto Descripción: [Mostrar]

Propiedades del valor absoluto

Propiedades del valor absoluto

1. $|x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0$

2. $\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k$

3. $\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$

4. $\forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k$

5. $|x \cdot y|= |x| \cdot |y|$

6. $\forall n \in \mathbb{N} \, , \, \ |x^n|= |x|^n$

7. $\left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}$

8. $|x^2| = x^2\;$

9. $|x + y| \le |x|+|y|$ (desigualdad triangular)

10. $|x - y| \le |x|+|y|$

11. $|x| - |y| \le |x-y|$

12. $\left| |x| - |y| \right| \le |x-y|$

Valor absoluto de un número real. Propiedades [Mostrar]

Tutorial 1 (13´53") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2 (2´47") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 3 (8´36") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 3 (demostración) (8´33") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 5 (demostración) (7´38") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 6 (demostración) (2´53") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 7 (demostración) (2´11") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 8 (demostración) (3´15") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 9 (demostración) (12´36") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 9 (demostración 2) (4´33") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 9 (demostración 3) (3´22") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 10 (demostración) (1´43") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 11 (demostración) (1´43") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad nº 12 (demostración) (4´56") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad: La media geométrica es menor que la aritmética (demostración) (7´24") Sinopsis: [Mostrar]

Propiedad: Desigualdad triangular generalizada (demostración) (2´35") Sinopsis: [Mostrar]

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean $x, y, z \in \mathbb{R}$ , se cumplen las siguientes propiedades:

1. $x<y \Rightarrow x+z<y+z$

2. $x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z$

3. $x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z$

4. $x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}$

Como consecuencia, en una inecuación:

Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad? (10'00") Sinopsis: [Mostrar]

Ecuaciones con valor absoluto

Procedimiento

Para resolver ecuaciones con valor absoluto utilizaremos la 2ª de las propiedades del valor absoluto, que dice:

$\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k$

Ecuaciones con valor absoluto [Mostrar]

Valor absoluto [Mostrar]

(pág. 33)

Inecuaciones con valor absoluto

Procedimiento

Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:

$\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$

$\forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k$

Ejercicios resueltos: Valor absoluto

¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) $|x| \ge 3\;$

b) $|x-2|\le 3\;$

Solución:[Mostrar]

Inecuaciones con valor absoluto [Mostrar]

Actividades

Autoevaluación: Valor absoluto Descripción: [Mostrar]

Distancia y entornos

Distancia

Dados dos puntos $x\;$ e $y\;$ de la recta real, se define la distancia de $x\;$ a $y\;$ como el siguiente número real:

$d(x,y)=|x-y|\;$

Distancia entre dos puntos de la recta real [Mostrar]

Distancia entre dos puntos

Entornos

Se llama entorno de centro c y radio r, y se denota por $B_r(c)\;$ o $B(c,r)\;$ , al intervalo abierto $(c - r, c + r)\;$ , que viene dado por los puntos x de la recta real que están a una distancia de c menor que r:

$B_r(c) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ |x-c|<r \right\}$

Se llama entorno reducido de centro c y radio r, y se denota por $B^*_r(c)\;$ o $B^*(c,r)\;$ , al entorno de centro c y radio r quitándole su centro:

$B^*_r(c) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ 0<|x-c|<r \right\}$

Entorno de un punto (11'24") Sinopsis: [Mostrar]

Entorno simple y entorno reducido. (4'01") Sinopsis: [Mostrar]

Fig.1 - Entorno de centro a y radio r

Autoevaluación: Entornos Descripción: [Mostrar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Intervalos y valor absoluto

(Pág. 33)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_reales_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 |enunciado=
-:a) Representa los números <math>0,\ 1,\ 5,\ \phi,\ \pi</math> en la recta numérica.
+a) Representa los números <math>0,\ 1,\ 5,\ \phi,\ \pi</math> en la recta numérica.
-:b) ¿Es -5 un número entero?
-:c) ¿Es 5/3 un número racional?
+b) ¿Es -5 un número entero?
-:d) ¿Es pi un numero irracional?
-:e) ¿Cual es el valor del número de oro?
+c) ¿Es 5/3 un número racional?
-:f) Resuelve la ecuación {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>x^2-x-1=0\;</math>}}
-:g) ¿Recuerdas cómo se escribe 75 en números romanos?
+d) ¿Es pi un numero irracional?
+e) ¿Cual es el valor del número de oro?
+f) Resuelve la ecuación {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>x^2-x-1=0\;</math>}}
+g) ¿Recuerdas cómo se escribe 75 en números romanos?
 {{p}}
 |sol=
 :a) {{consulta|texto=number line 0, 1, 5, golden number, pi}}
 :b) {{consulta|texto=is -5 an integer?}}
 :c) {{consulta|texto=is 5/3 a rational number?}}
 :d) {{consulta|texto=Is pi an irrational number?}}
 :e) {{consulta|texto=golden number}}
 :f) {{consulta|texto=solve x^2-x-1=0}}, o bien, {{consulta|texto=solve x^2-x-1=0 over the reals}}
 :g) {{consulta|texto=75 in roman numerals}}
 {{widget generico}}

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Números reales (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de 10:06 18 sep 2016

Tabla de contenidos

Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos

Números naturales

Números enteros

Números racionales

Números irracionales

Números irracionales famosos

Los números reales

La recta real

Representación gráfica de números reales en la recta real

Intervalos de la recta real

Valor absoluto de un número real

Propiedades del valor absoluto

Ecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto

Actividades

Distancia y entornos

Distancia

Entornos

Ejercicios propuestos

Vistas

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