Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

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Tabla de contenidos

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Teorema de Pitágoras

ejercicio

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:


a^2+b^2=c^2\;\!


donde a\;\! y b\;\! son los catetos y c\;\! la hipotenusa.


Este teorema se debe a Pitágoras de Samos (aprox. 582 a.C.- 507 a.C.)

Demostración geométrica animada

Ternas pitagóricas

  • Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras.
  • Las ternas cuyos tres números son primos entre sí, es decir, tales que m.c.d(a,b,c)=1, reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas.

Generando ternas pitagóricas

ejercicio

Proposición

Si (a,b,c)\; es una terna pitagórica entonces también lo es (ka,kb,kc)\;, con k \in \mathbb{N}.

ejercicio

Proposición

  • \{ (a,b,c) \ / \ a=k^2+1 \, ; \ b=2k\, ; \ c=k^2-1 \, , \ k \in \mathbb{N} \} son ternas pitagóricas.
  • \{ (a,b,c) \ / \ a=p^2-q^2 \, ; \ b=2pq \, ; \ c=p^2+q^2 \,, \ p>q \} son ternas pitagóricas.

ejercicio

Proposición

Si x_{n-1}, \, x_n, \, x_{n+1}, \, x_{n+2} \; son cuatro términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, entonces los siguientes números

a_1 = x_{n-1} x_{n+2}\, ; \ \ a_2= 2x_n x_{n+1}\, ; \ \ a_3=\sqrt{a_1^2 +a_2^2}

forman una terna pitagórica.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Cálculo del lado desconocido en un triángulo rectángulo

ejercicio

Procedimiento

A partir de la fórmula del teorema de Pitágoras:

a^2+b^2=c^2\;\!

podemos despejar cualquiera de los lados:

c=\sqrt{a^2+b^2} \qquad a=\sqrt{c^2-b^2} \qquad b=\sqrt{c^2-a^2}

Cálculo de la distancia entre dos puntos

Conocidas las coordenadas de dos puntos del plano, el teorema de Pitágoras nos permite calcular la distancia entre ambos:

ejercicio

Actividades Interactivas: Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Actividad 1: Conocidos los catetos: a=4 cm. y b=5 cm., calcular la hipotenusa, c.
Actividad 2: Conocido un cateto a=5 cm. y la hipotenusa c=8 cm., calcular el otro cateto, b.
Actividad 3: El tamaño de las pantallas de televisión viene dado por la longitud en pulgadas de la diagonal de la pantalla (una pulgada equivale a 2,54 cm). Si un televisor mide 34,5 cm de base y 30 cm de altura, ¿cuál será su tamaño?
Actividad 4: Halla la altura de un triángulo equilatero de 4 cm. de lado.
Actividad 5: Halla la altura de un triángulo isósceles cuyos lados miden c=5 cm. y a=b=4 cm.
Actividad 6: Calcular el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio.

Clasificar un triángulo atendiendo a sus ángulos conocidos sus lados

En un triángulo cualquiera, si llamamos a al lado mayor, y a los otros dos b y c, se cumple que:

  • Si a2 > b2 + c2, el triángulo es obtusángulo
  • Si a2 = b2 + c2, el triángulo es rectángulo
  • Si a2 < b2 + c2, el triángulo es acutángulo

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