Potencias y raíces de números enteros (2º ESO)

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===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===

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Tabla de contenidos

(Pág. 36)

Potencias de números enteros

Los siguientes videotutoriales condensan lo que vamos a ver en este apartado sobre potencias de números enteros:

video
Potencias de números enteros
Tutorial 1 (6'09")     Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero. Ejemplos.

Tutorial 2 (13'07")     Sinopsis:

Ejemplos de potencias de números enteros.

Tutorial 3 (19'28")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica a través de varios ejemplos la potencia con números enteros y las operaciones combinadas con multiplicación, división y potencia de números enteros.

  • 00:00 a 05:55: Potencia de número enteros, definición.
  • 05:55 a 09:15: Ejercicios simples de Potencias.
  • 09:15 a 13:07: Ejercicios de Combinadas de Multiplicación, División y Potencias.
Tutorial 4 (9'54")     Sinopsis:

Potencias de números enteros.

Tutorial 5 (18'37")     Sinopsis:

Potencias de base entera y exponente natural. Producto de potencias. División de potencias. Potencias de una potencia. Potencia de un producto. Signo de una potencia.

Definición de potencia

La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números naturales.

Ver: Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

nota
Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.
bartolomecossio.com

Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

ejercicio
Ejemplos: 

video
Potencias de números enteros
Actividad 1     Descripción:

Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros.

Actividad 2     Descripción:

Actividades sobre potencias de números enteros.

Signo de la potencia

ejercicio

Signo de la potencia

Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

  • Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
  • Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

video
Signo de la potencia
Tutorial (3'23")     Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero negativo. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'58")     Sinopsis:

1) Completa la tabla. En ella debes indicar la base, el exponente, el valor y la cómo se leen las siguientes potencias de números enteros:

4^2 \ , \ 6^3 \ , \ 2^6 \ , \ (-5)^2 \ , \ 2^3 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ 8^4

2) Escribe en forma de potencia:

a) 3 \cdot 3 \;
b) (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \;
c) 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\;
d) (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \;

3) Escribe cómo se leen las siguientes potencias:

7^4 \ , \ 2^6 \ , \ 5^2 \ , \ 2^3
Ejercicio 3 (9'38")     Sinopsis:

4) Escribe las siguientes potencias en forma de producto:

15^2 \ , \ 6^4 \ , \ 8^4

5) Escribe cada producto en forma de potencia, calcula su valor e indica cuál es la base y el exponente.

3 \cdot 3 \ , \ 6 \cdot 6 \cdot 6

6) Calcula:

a) Doce elevado al cuadrado.
b) Once elevado al cubo.
c) Tres elevado a la quinta.
d) Dos elevado a la cuarta.

7) Desarrolla las siguientes potencias:

(-2)^4 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ (-5)^2

8) Calcula las siguientes potencias y razona cuánto valen todas las potencias de base 1:

1^0 \ , \ 1^1 \ , \ 1^2 \ , \ 1^3 \ , \ 1^5 \ , \ 1^{1000}

video
Signo de la potencia
Actividad 1     Descripción:
  1. Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros con base positiva o negativa.
  2. Actividad para practicar las potencias de enteros.
Actividad 2     Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) ( − 3)4    b) ( − 4)5    c) ( − 10)5    d) ( − 2)10

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Actividad 3     Descripción:

Actividad sobre potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación en los que debes determinar el signo de la potencia cuya base es un número entero.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 3     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 4     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Propiedades de las potencias de enteros

Las potencias de números enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Ver: Propiedades de las potencias de números naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

video
Propiedades de las potencias de números enteros
Tutorial 1a (6'46")     Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

  • Potencias de exponente 0.
  • Potencias de exponente 1.
  • Producto de potencias de la misma base.
  • Cociente de potencias de la misma base.
Tutorial 1b (5'05")     Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

  • Potencia de otra potencia.
  • Potencia de un producto.
  • Potencia de un cociente.
Ejercicio 1 (7'58")     Sinopsis:

Calcula:

a) (-2)^4 \cdot (-2)^3\; ;      b) (-6)^9 : (-6)^4\;
c) (-8)^2 \cdot (-8)^3\; ;      d) (-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)\;
e) (-3)^7 : (-3)^4\; ;      f) (-2)^5 \cdot (-2)^2\;
g) (-7)^{12} : (-7)^{10}\; ;      h) (-10)^3 : (-10)^2\;
Ejercicio 2 (12'23")     Sinopsis:

10) Escribe en forma de una sola potencia:

a) [(-2)^3]^5\; ;      b) [(-3)^2]^3\;
c) [(-5)^2]^4\; ;      d) [(-6)^3]^3\;
e) (2^4)^5\; ;      f) (3^4)^2\;
g) [(-2)^1]^6\; ;      h) [(-2)^2]^6\;
i) (3^{10})^2\; ;      j) (3^2)^{10}\;

11) Expresa en forma de producto de varias potencias:

a) [(-3) \cdot (-2) \cdot (-5)]^4\;
b) [(-2) \cdot 5 \cdot (-6)]^2\;
c) [2 \cdot 7 \cdot 6]^3\;
a) [(-2) \cdot (-3) \cdot (-6)]^3\;

11) Expresa en forma de una sola potencia:

a) (-2)^3 \cdot (-3)^3 \cdot (-4)^3\;
b) (-2)^4 \cdot 3^4\;
c) 2^6 \cdot 4^6 \cdot 5^6\;
d) (-3)^6 \cdot (-10)^6\;

12) Calcula los cuadrados de los cinco primeros números positivos.

Ejercicio 3 (10'07")     Sinopsis:

14) Escribe las cuartas potencias de: -3, -2, -5, 3, 2 y 5.

15) Calcula:

a) 2 \cdot (-3)^2\; ;      b) 3 \cdot (-2)^2\;
c) -1 \cdot (-3)^2\; ;      d) -1 \cdot (-2)^2\;
e) -2 \cdot (-3)^2\; ;      f) -5 \cdot (-5)^2\;
g) 2 \cdot (-3)^2\;
Ejercicio 4 (12'24")     Sinopsis:

16) Escribe como potencias de base positiva:

(-3)^2 \ , \ (-3)^3 \ , \ (-5)^2 \ , \ (-5)^3 \ , \ (-7)^2 \ , \ (-7)^3\;

17) Escribe el resultado como potencia de base positiva:

a) (-5)^8 : (-5)^5\; ;      b) (-10)^5 : (-10)^3\;
c) (-20)^5 \cdot (-20)^3\; ;      d) (-6)^2 \cdot 6^3\;
e) (-3)^4 \cdot 3^2\; ;      f) (-2)^5 \cdot 2^3\;
Ejercicio 5 (2'09")     Sinopsis:

Simplifica: 2 a^3 \cdot a^5

Ejercicio 6 (3'37")     Sinopsis:

Simplifica: \left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2

Ejercicio 7 (3'42")     Sinopsis:

Simplifica: \left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3

Ejercicio 8 (3'40")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}

Ejercicio 9 (2'47")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}

video
Propiedades de las potencias de enteros
Actividad 1: Potencias de productos y cocientes     Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de productos y cocientes.

Actividad 2: Producto y cociente de potencias     Descripción:

Actividades para aprender a calcular productos y cocientes de potencias.

Actividad 3: Potencia de otra potencia     Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de otra potencia.

Actividad 4: Ejercicios resueltos     Descripción:

Ejercicios resueltos sobre las propiedades de las potencias de números entero.

Actividad 5     Descripción:

Actividades sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

video
Autoevaluación 3
2.1. Potencia de un producto     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.2. Potencia de un cociente     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.3.Potencia de una potencia     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.4. Producto de potencias de la misma base     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Potencias con números enteros

(Pág. 36)

2; 3; 5; 6

1

ejercicio

Ejercicios propuestos: Propiedades de las potencias con números enteros

(Pág. 38)

7a,c,e; 8; 9; 11; 12; 14; 15; 18; 20; 21a,c,e; 22a,c,e;

7b,d; 10; 13; 16; 17; 19; 21b,d,f; 22a,c,e;

Raíces de números enteros

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Raíces de números enteros

(Pág. 39)

1, 2

Operaciones combinadas con números enteros

A la hora de operar con números enteros utilizaremos la misma jerarquía de operaciones que con números naturales:

Ver: Jerarquía de las operaciones con números naturales

ejercicio

Jerarquía de las operaciones

A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias y las raíces.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
  3. Las sumas y las restas.

nota
Observaciones:
  • Cuando aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se puede optar por cambiar los paréntesis más exteriores por corchetes, con el fin de facilitar la lectura de la operación.
  • Cuando resuelvas los paréntesis puedes completar las operaciones que encierren o aplicar la propiedad distributiva.
  • En cada uno de los pasos que des para resolver una expresión con operaciones combinadas se puede llevar a cabo más de una operación, siempre que no suponga romper el orden que acabamos de establecer.

Jerarquía de las operaciones con números enteros (19'37")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica a través de varios ejemplos el orden en el que hay que realizar las operaciones con números, lo que se llama la jerarquía de operaciones.

  • 00:00 a 03:47 : Conceptos básicos. Jerarquía de operaciones.
  • 03:47 a 19:37 : Ejercicios de Operaciones Combinadas.
wolfram
Operaciones combinadas
wolfram

Actividad: Operaciones combinadas

Calcula:
a) 12+3 \cdot 2^3-(5-3)


Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) 12+3·2^3-(5-3)

Autoevaluación: Operaciones combinadas con enteros (I)     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas con números enteros.

Autoevaluación: Operaciones combinadas con enteros (II)     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas con números enteros.

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