Cálculos con porcentajes (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

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1 Porcentajes
2 Aumentos y disminuciones porcentuales
3 Encadenamiento de variaciones porcentuales
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Ejercicios y problemas

(Pág. 50)

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Porcentajes

Un porcentaje es una razón entre un número n y 100 y representa las partes que tomamos de un total de 100.
Se representa escribiendo el número seguido del símbolo %, esto es:

$n% = \cfrac{n}{100}$ (se lee " $n\;$ por ciento")

Ejemplos [Mostrar]

Significado del tanto por ciento [Mostrar]

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Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales

Hemos definido un porcentaje como una fracción y sabemos que una fracción se puede escribir como un número decimal. Por tanto, un porcentaje lo podemos expresar de tres formas equivalentes: como porcentaje, como fracción o como número decimal.

Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales [Mostrar]

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Cálculo de porcentajes

Cálculo del porcentaje

Para hallar el $n%\;$ de una cantidad, $C\;$ , podemos proceder de dos formas:

Calculando la fracción de dicha cantidad:

$n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C$

Mediante una proporción (regla de tres directa):

$\left .\begin{matrix}100 \rightarrow C \\ ~n~ \rightarrow x\end{matrix} \right \} \rightarrow x=\cfrac{n \cdot C}{100}$

Ejemplo: Cálculo de porcentajes (2 métodos)

En un pueblo hay 2000 habitantes, de los cuales el 16% son niños. ¿Cuántos niños hay en el pueblo?

Solución:[Mostrar]

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Cálculo rápido de un porcentaje

Hemos visto que un porcentaje es equivalente a una razón de divisor 100, y dividir entre 100 es muy fácil (basta correr la coma decimal dos lugares a la izquierda). Así, si transformamos esa razón en un número decimal mentalmente, el cálculo del tanto por ciento se reduce a una simple multiplicación.

Cálculo rápido de un porcentaje

Calcular el n% de una cantidad equivale a multiplicar la cantidad por el número que resulta de dividir n entre 100.

Ejemplos: [Mostrar]

Porcentajes [Mostrar]

Cálculo rápido de porcentajes Descripción: [Mostrar]

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Porcentajes sencillos

Hay algunos porcentajes que se pueden calcular fácilmente:

Procedimiento

Calcular el 10% equivale a dividir por 10.
Calcular el 20% equivale a dividir por 5.
Calcular el 25% equivale a dividir por 4.
Calcular el 50% equivale a dividir por 2.

Porcentajes sencillos Descripción: [Mostrar]

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Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes

En cualquier situación con porcentajes están involucrados tres elementos: la cantidad total, la parte de esa cantidad y el propio tanto por ciento.

Estos tres elementos forman parte de una proporción con dos razones igualadas, una de las cuales siempre tiene el número 100 como denominador.

$\cfrac{Tanto \ por \ ciento}{100}=\cfrac{Parte}{Total}$

También podemos verlo como una regla de tres:

$\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento ~ \ \longrightarrow \ Parte \\ \qquad \quad 100 \qquad \quad \longrightarrow \ ~~Total \end{matrix} \right \}$

Porcentajes como proporción directa [Mostrar]

Porcentajes como fracción [Mostrar]

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Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje (porcentaje inverso)

Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

Solución:[Mostrar]

Método 1: A partir de la definición de porcentaje:

Si llamamos $C\;\!$ al total de alumnos de la clase:

$5=\frac{20}{100} \cdot C$

Y despejando $C\;\!$ :

$C=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Método 2: Mediante una regla de tres

                %        alumnos
               ----      -------
  Parte:        20   ---->  5
  Total:       100   ---->  x

Y despejando $x\;\!$ :

$x=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Porcentaje inverso [Mostrar]

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Porcentaje correspondiente a una proporción

Procentaje correspondiente a una proporción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, $a\;\!$ , repecto a un total, $C\;\!$ , se efectúa la siguiente operación:

$\frac{a}{C}\cdot 100$

Ejemplo: Porcentaje correspondiente a una proporción

En un grupo del instituto, de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados?. ¿Y los suspensos?

Solución:[Mostrar]

$\frac{21}{30}\cdot 100=0,7 \cdot 100=70$

Por tanto el 70% aprueban y el 30% suspenden.

También podemos hacerlo mediante una regla de tres:

                      %          alumnos
                    ----         -------
 Total:              100   ---->   30 
 Parte (aprobados):   x    ---->   21

$x=\frac{21 \cdot 100}{30}=70$

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Porcentajes

(Pág. 50)

1a,b; 2a,b

(Pág. 51)

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Aumentos y disminuciones porcentuales

Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad de partida.
Una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad de partida.

A la cantidad de partida la llamaremos cantidad inicial y al resultado cantidad final.

Proposición

En un aumento/disminución porcentual, se cumple:

$C_F = C_I \cdot I_V$

siendo $C_F\;$ = Cantidad final, $C_I\;$ = Cantidad inicial e $I_V\;$ = Indice de variación.

En aumentos porcentuales del n%:

$C_F = C_I \cdot \left(1+\cfrac{n}{100} \right)$

En una disminuciones porcentuales del n%:

$C_F = C_i \cdot \left(1-\cfrac{n}{100}\right)$

Demostración:[Mostrar]

Observación: [Mostrar]

Ejemplo: Aumento y disminución porcentual

a) Un litro de leche de 0,95 € aumenta su precio en un 12% ¿Cuánto vale ahora?

b) Unas zapatillas de 120 € se rebajan un 15% ¿Cuál es el valor final?

Solución:[Mostrar]

Aumentos y disminuciones porcentuales [Mostrar]

Aumentos porcentuales:

Actividad 1 Descripción: [Mostrar]

Actividad 2 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación Descripción: [Mostrar]

Disminuciones porcentuales:

Actividad 1 Descripción: [Mostrar]

Actividad 2 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 Descripción: [Mostrar]

Aumentos y disminuciones porcentuales:

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 Descripción: [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Aumentos y disminuciones porcentuales

(Pág. 51)

3, 4

(Pág. 52)

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Cálculo de la cantidad inicial tras un incremento/disminución porcentual

Proposición

La cantidad inicial se calcula dividiendo la cantidad final por el índice de variación:

$C_I = \cfrac{C_F}{I_V}$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Cálculo de la cantidad inicial

a) El precio de una moto es de 2800 €. ¿Cuál era el precio de fábrica antes de aplicarle el 16 % de aumento por el IVA?.

b) En las rebajas has comprado unas zapatillas de 90 €, con un descuento del 28 %. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

Solución:[Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Cálculo de la cantidad inicial

(Pág. 52)

5, 6

7, 8

(Pág. 53)

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Encadenamiento de variaciones porcentuales

Proposición

Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos, siendo el producto el índice de variación del encadenamiento.

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Encadenamiento porcentual

El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre.

a) Calcula el precio final tras las dos subidas.

b) ¿Ha subido un 3+4=7%?. ¿Qué porcentaje ha subido?

Solución:[Mostrar]

Problemas (32'26") Sinopsis:[Mostrar]

Encadenamientos porcentuales Descripción: [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Encadenamientos porcentuales

(Pág. 53)

9, 10

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Ejercicios y problemas

Ejercicios: Porcentajes (16'03") Sinopsis: [Mostrar]

Problemas con porcentajes (I) Descripción: [Mostrar]

Problemas con porcentajes (II) Descripción: [Mostrar]

Problemas de variaciones porcentuales Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 (Problemas) Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 4 Descripción: [Mostrar]

Problemas resueltos Descripción: [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/C%C3%A1lculos_con_porcentajes_%283%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Aritmética

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Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales

Cálculo de porcentajes

Cálculo rápido de un porcentaje

Porcentajes sencillos

Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes

Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

Porcentaje correspondiente a una proporción

Ejercicios propuestos

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Ejercicios propuestos

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