Números enteros: Potencias y raíces (1º ESO)

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-==Raíces de números enteros==+==Raíces cuadradas de números enteros==
-La definición de raíz cuadrada de un número entero es la misma que la dada para números naturales:+La definición de raíz cuadrada de un número entero es la misma que la dada para números naturales.
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 +Ver: [[Raíz cuadrada (1º ESO)|'''Raíz de un número natural''']]
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===Número de soluciones de una raíz cuadrada=== ===Número de soluciones de una raíz cuadrada===
-Dependiendo del signo del número entero, su raíz puede existir o no. Tenemos los dos casos siguientes:+{{Número de soluciones de una raíz cuadrada}}
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-*La raíz cuadrada de un número entero '''positivo''' tiene dos soluciones iguales pero opuestas en signo, que no siempre son números enteros.+
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- 
-===Raíces cuadradas con la calculadora=== 
-Ten cuidado porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva. 
- 
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==Ejercicios propuestos== ==Ejercicios propuestos==
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Tabla de contenidos

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Potencias de números enteros

Los siguientes videotutoriales condensan lo que vamos a ver en este apartado sobre potencias de números enteros:

video
Potencias de números enteros
Tutorial 1 (6'09")     Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero. Ejemplos.

Tutorial 2 (13'07")     Sinopsis:

Ejemplos de potencias de números enteros.

Tutorial 3 (19'28")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica a través de varios ejemplos la potencia con números enteros y las operaciones combinadas con multiplicación, división y potencia de números enteros.

  • 00:00 a 05:55: Potencia de número enteros, definición.
  • 05:55 a 09:15: Ejercicios simples de Potencias.
  • 09:15 a 13:07: Ejercicios de Combinadas de Multiplicación, División y Potencias.
Tutorial 4 (9'54")     Sinopsis:

Potencias de números enteros.

Tutorial 5 (18'37")     Sinopsis:

Potencias de base entera y exponente natural. Producto de potencias. División de potencias. Potencias de una potencia. Potencia de un producto. Signo de una potencia.

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Definición de potencia

La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números naturales.

Ver: Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

nota
Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.
bartolomecossio.com

Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

ejercicio
Ejemplos: 

video
Potencias de números enteros
Actividad 1     Descripción:

Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros.

Actividad 2     Descripción:

Actividades sobre potencias de números enteros.

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Signo de la potencia

ejercicio

Signo de la potencia

Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

  • Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
  • Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

video
Signo de la potencia
Tutorial (3'23")     Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero negativo. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'58")     Sinopsis:

1) Completa la tabla. En ella debes indicar la base, el exponente, el valor y la cómo se leen las siguientes potencias de números enteros:

4^2 \ , \ 6^3 \ , \ 2^6 \ , \ (-5)^2 \ , \ 2^3 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ 8^4

2) Escribe en forma de potencia:

a) 3 \cdot 3 \;
b) (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \;
c) 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\;
d) (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \;

3) Escribe cómo se leen las siguientes potencias:

7^4 \ , \ 2^6 \ , \ 5^2 \ , \ 2^3
Ejercicio 3 (9'38")     Sinopsis:

4) Escribe las siguientes potencias en forma de producto:

15^2 \ , \ 6^4 \ , \ 8^4

5) Escribe cada producto en forma de potencia, calcula su valor e indica cuál es la base y el exponente.

3 \cdot 3 \ , \ 6 \cdot 6 \cdot 6

6) Calcula:

a) Doce elevado al cuadrado.
b) Once elevado al cubo.
c) Tres elevado a la quinta.
d) Dos elevado a la cuarta.

7) Desarrolla las siguientes potencias:

(-2)^4 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ (-5)^2

8) Calcula las siguientes potencias y razona cuánto valen todas las potencias de base 1:

1^0 \ , \ 1^1 \ , \ 1^2 \ , \ 1^3 \ , \ 1^5 \ , \ 1^{1000}

video
Signo de la potencia
Actividad 1     Descripción:
  1. Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros con base positiva o negativa.
  2. Actividad para practicar las potencias de enteros.
Actividad 2     Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) ( − 3)4    b) ( − 4)5    c) ( − 10)5    d) ( − 2)10

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Actividad 3     Descripción:

Actividad sobre potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación en los que debes determinar el signo de la potencia cuya base es un número entero.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 3     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 4     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

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Propiedades de las potencias de enteros

Las potencias de números enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Ver: Propiedades de las potencias de números naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

video
Propiedades de las potencias de números enteros
Tutorial 1a (6'46")     Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

  • Potencias de exponente 0.
  • Potencias de exponente 1.
  • Producto de potencias de la misma base.
  • Cociente de potencias de la misma base.
Tutorial 1b (5'05")     Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

  • Potencia de otra potencia.
  • Potencia de un producto.
  • Potencia de un cociente.
Ejercicio 1 (7'58")     Sinopsis:

Calcula:

a) (-2)^4 \cdot (-2)^3\; ;      b) (-6)^9 : (-6)^4\;
c) (-8)^2 \cdot (-8)^3\; ;      d) (-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)\;
e) (-3)^7 : (-3)^4\; ;      f) (-2)^5 \cdot (-2)^2\;
g) (-7)^{12} : (-7)^{10}\; ;      h) (-10)^3 : (-10)^2\;
Ejercicio 2 (12'23")     Sinopsis:

10) Escribe en forma de una sola potencia:

a) [(-2)^3]^5\; ;      b) [(-3)^2]^3\;
c) [(-5)^2]^4\; ;      d) [(-6)^3]^3\;
e) (2^4)^5\; ;      f) (3^4)^2\;
g) [(-2)^1]^6\; ;      h) [(-2)^2]^6\;
i) (3^{10})^2\; ;      j) (3^2)^{10}\;

11) Expresa en forma de producto de varias potencias:

a) [(-3) \cdot (-2) \cdot (-5)]^4\;
b) [(-2) \cdot 5 \cdot (-6)]^2\;
c) [2 \cdot 7 \cdot 6]^3\;
a) [(-2) \cdot (-3) \cdot (-6)]^3\;

11) Expresa en forma de una sola potencia:

a) (-2)^3 \cdot (-3)^3 \cdot (-4)^3\;
b) (-2)^4 \cdot 3^4\;
c) 2^6 \cdot 4^6 \cdot 5^6\;
d) (-3)^6 \cdot (-10)^6\;

12) Calcula los cuadrados de los cinco primeros números positivos.

Ejercicio 3 (10'07")     Sinopsis:

14) Escribe las cuartas potencias de: -3, -2, -5, 3, 2 y 5.

15) Calcula:

a) 2 \cdot (-3)^2\; ;      b) 3 \cdot (-2)^2\;
c) -1 \cdot (-3)^2\; ;      d) -1 \cdot (-2)^2\;
e) -2 \cdot (-3)^2\; ;      f) -5 \cdot (-5)^2\;
g) 2 \cdot (-3)^2\;
Ejercicio 4 (12'24")     Sinopsis:

16) Escribe como potencias de base positiva:

(-3)^2 \ , \ (-3)^3 \ , \ (-5)^2 \ , \ (-5)^3 \ , \ (-7)^2 \ , \ (-7)^3\;

17) Escribe el resultado como potencia de base positiva:

a) (-5)^8 : (-5)^5\; ;      b) (-10)^5 : (-10)^3\;
c) (-20)^5 \cdot (-20)^3\; ;      d) (-6)^2 \cdot 6^3\;
e) (-3)^4 \cdot 3^2\; ;      f) (-2)^5 \cdot 2^3\;
Ejercicio 5 (2'09")     Sinopsis:

Simplifica: 2 a^3 \cdot a^5

Ejercicio 6 (3'37")     Sinopsis:

Simplifica: \left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2

Ejercicio 7 (3'42")     Sinopsis:

Simplifica: \left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3

Ejercicio 8 (3'40")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}

Ejercicio 9 (2'47")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}

video
Propiedades de las potencias de enteros
Actividad 1: Potencias de productos y cocientes     Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de productos y cocientes.

Actividad 2: Producto y cociente de potencias     Descripción:

Actividades para aprender a calcular productos y cocientes de potencias.

Actividad 3: Potencia de otra potencia     Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de otra potencia.

Actividad 4: Ejercicios resueltos     Descripción:

Ejercicios resueltos sobre las propiedades de las potencias de números entero.

Actividad 5     Descripción:

Actividades sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

video
Autoevaluación 3
2.1. Potencia de un producto     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.2. Potencia de un cociente     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.3.Potencia de una potencia     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.4. Producto de potencias de la misma base     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

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Raíces cuadradas de números enteros

La definición de raíz cuadrada de un número entero es la misma que la dada para números naturales.

Ver: Raíz de un número natural

La raíz cuadrada de un número a\; es otro número b\; que elevado al cuadrado da a\;. Simbólicamente:

\sqrt{a}=b \ \iff \ b^2=a

Al número a\; se le llama radicando y al número b\; se le llama raíz.

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Número de soluciones de una raíz cuadrada

Dependiendo del signo del número entero, su raíz puede existir o no. Tenemos los dos casos siguientes:

ejercicio

Número de soluciones de la raíz cuadrada

  • La raíz cuadrada de un número entero positivo tiene dos soluciones iguales pero opuestas en signo, que no siempre son números enteros.
  • La raíz cuadrada de un número entero negativo no existe.

ejercicio
Ejemplos: 
  • \sqrt{+9}=\pm 3, porque 3^2=9\,  y  (-3)^2=9\,.
  • \sqrt{-9}  no existe, porque no hay níngún número cuyo cuadrado sea negativo, -9.

video
Raíz cuadrada de un número entero
Tutorial 1 (5'07")     Sinopsis:

Raíz cuadrada de un número entero. Ejemplos

Tutorial 2 (para ampliar) (7'00")     Sinopsis:

Simplificando raíces ccuadradas no exactas: 5\,\sqrt{117}

video
Raíces cuadradas de números enteros
Actividad 1     Descripción:
  1. Actividad para aprender a calcular raíces de números enteros.
  2. Actividad para practicar las raíces de números enteros.
Actividad 2     Descripción:

Actividades sobre raíces cuadradas exactas y enteras.

Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre raíces de números enteros.

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Raíces cuadradas con la calculadora

Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

Ejemplo:
  • Operación: \sqrt {16}


  • Procedimiento: Raíz cuadrada 16\;\! Obtener resultado


  • Solución: 4\;\!
ejercicio
Advertencia:

Ten cuidado, si trabajas con números enteros, porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva.

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Raíces de otros índices (Ampliación)

Raíces de otros índices     Descripción:

Actividades sobre raíces de índice mayor que 2.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Potencias y raíces de números enteros

    (Pág. 77)

     2; 3; 4; 6a,c,e; 8a,c,d,e; 9a,c; 10; 12; 14

     1; 5; 6b,d,f; 8b,d,f; 9b,d; 15; 16

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