Potencias de fracciones (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Potencia de una fracción
2 Potencias de exponente negativo
3 Propiedades de las potencias de números racionales
4 Ejercicios propuestos

(Pág. 78)

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Potencia de una fracción

Procedimiento: Potencia de una fracción

Para elevar una fracción a una potencia se eleva el numerador y el denominador a dicha potencia.

$\left( \cfrac{a}{b} \right) ^n = \begin{matrix} ~ \\ \underbrace{ \cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{a}{b} \cdot \cdots \cdot \cfrac{a}{b} } \\ n \, \mbox{veces} \end{matrix} = \cfrac{a^n}{b^n}$

Ejemplo:

$\left( \cfrac{3}{2} \right) ^3 = \cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{3}{2} = \cfrac{3^3}{2^3}=\cfrac{27}{8}$

Actividad Descripción:

Potencias y raíces de fracciones.

Nota: Esta actividad también incluye raíces de fracciones. En el siguiente enlace puedes ver acerca de ellas.

Potencias y raíces de fracciones

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Potencias de exponente negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}$

Como consecuencia:

Propiedad

$\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)$

Ejemplos:

Potencias de exponente negativo

Tutorial 1 (6'44") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 2 (13'40") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 3 (0'43") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 4 (6'44") Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'52") Sinopsis:

$a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}\;$ . Ejemplos.

Tutorial 6a (9'22") Sinopsis:

Exponentes negativos. Ejemplos.

Tutorial 6b (4'39") Sinopsis:

Razonando sobre el por qué de la definición de los exponentes negativos.

Ejercicio 1 (4'31") Sinopsis:

Simplifica:

a) $4^{-3} \cdot 4^5\;$

b) $a^{-4} \cdot a^2\;$

c) $\cfrac{12^{-7}}{12^{-5}}\;$

d) $\cfrac{x^{-20}}{x^5}\;$

Ejercicio 2 (5'42") Sinopsis:

Simplifica:

a) $(3^{-8} \cdot 7^3)^{-2}\;$

b) $(a^{-2} \cdot 8^7)^2\;$

c) $\left( \cfrac{2^{-10}}{4^2} \right)\;$

Ejercicio 3 (8'02") Sinopsis:

Halla el valor de:

11) $100^{-1}\;$ ; 12) $100^{-3}\;$ ; 13) $10^{-4}\;$ ; 14) $(10^{-3})^{-1}\;$

15) $(-3)^{-2}\;$ ; 16) $2^{-1}\;$ ; 17) $\left( \cfrac{1}{2} \right)^{-1}\;$ ; 18) $\left( \cfrac{1}{7} \right)^{-1}\;$ ; 19) $\left( \cfrac{-1}{5} \right)^{-1}\;$

Potencias de exponente negativo

Actividad 1 Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre potencias de exponente negativo.

Actividad 3 Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $3^{-5}\;$ b) $5^{-3}\;$ c) $7^{-2}\;$ d) $2^{-7}\;$

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Autoevaluación 1a Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 1b Descripción:

Multiplica y divide potencias (exponentes enteros).

Autoevaluación 1c Descripción:

Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros)

Autoevaluación 1d Descripción:

Potencias de exponentes enteros.

Autoevaluación 2a Descripción:

Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación 2b Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

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Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números enteros.

Ver: Propiedades de las potencias de números enteros

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Potencias de fracciones

Tutorial (10'06") Sinopsis:

Tutorial que explica la potencia de exponente entero (positivo y negativo) con fracciones y operaciones combinadas con multiplicación, división y potencias, trabajando la simplificación previa.

Ejercicio 1 (9'43") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\left[\left(\cfrac{3}{5} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{9}{25} \right)^2 \right]^3$

b) $\left[\cfrac{16}{9} \cdot \left(\cfrac{56}{27} \right)^{-1} \right] \cdot \left(\cfrac{14}{9} \right)^3 \cdot \left(\cfrac{7}{12} \right)^{-2}$

Ejercicio 2 (4'05") Sinopsis:

Simplifica $\cfrac{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^5 \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-2}}{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^6}$

Ejercicio 3 (2'08") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \left( \cfrac{1}{3} \right)^{10} : \left( \cfrac{1}{3} \right)^7 \right]^2$

Ejemplos: Potencias de fracciones

Calcula simplificando previamente:

a) $\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4$ b) $\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3$ c) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3$

d) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2$ e) $\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2$ f) $\left( \cfrac{3}{5}\right)^0$

Solución:

a) $\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4=\left( \cfrac{3}{7} \cdot \cfrac{7}{6} \right)^4 = \left( \cfrac{3 \cdot \not{7}}{\not{7} \cdot 6} \right)^4 = \left( \cfrac{3}{6} \right)^4= \left( \cfrac{1}{2} \right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}$

b) $\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3=\left( \cfrac{3}{10} : \cfrac{6}{5}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{10 \cdot 6}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{\not{3} \cdot \not{5}}{\not{5} \cdot 2 \cdot \not{3} \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{1}{4}\right)^3=\cfrac{1^3}{4^3}=\cfrac{1}{64}$

c) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{2+3}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^5=\cfrac{3^5}{4^5}=\cfrac{243}{1024}$

d) $\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{3-2}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^1=\cfrac{3}{4}$

e) $\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2=\left( \cfrac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2}=\left( \cfrac{1}{2}\right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}$

f) $\left( \cfrac{3}{5}\right)^0=1$

Potencias de fracciones. Propiedades

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de fracciones.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números racionales.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Potencias de fracciones

(Pág. 80)

1; 2a,c,d,e; 3a,d,f; 4a,d,f; 5a,c,e; 6a,c,e; 7a,c,e; 8a,d; 9a,d; 10a,d; 11a,c,e; 12; 13; 14

2b,f; 3b,c,e; 4b,c,e; 5b,d,f; 6b,d,f; 7b,d,f; 8b,c; 9c,e; 10b,c; 11b,d,f;

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Potencias_de_fracciones_%282%C2%BA_ESO%29"

Categoría: Ejercicios de Matemáticas

 (Pág. 78)
 {{p}}
-==Potencias de fracciones==
+==Potencia de una fracción==
-===Potencias de exponente negativo===
+{{Def: potencia fracción}}
-{{Def potencia exponente entero}}
-{{p}}
-{{AI potencias exponente entero}}
 {{p}}
+{{AI_melide
+|titulo1=Actividad
+|descripcion=Potencias y raíces de fracciones.
+----
+'''Nota:''' Esta actividad también incluye raíces de fracciones. En el siguiente enlace puedes ver acerca de ellas.
-===Propiedades de las potencias de números racionales===
+[http://maralboran.org/web_ma/Melide/Operaciones_con_fracciones/Potenciasyraicesfracciones.html Potencias y raíces de fracciones]
-Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números enteros.
+|url1=http://maralboran.org/web_ma/Melide/Operaciones_con_fracciones/Ejercicios_3.html
+}}
-Ver: [[Potencias y raíces de números enteros (2º ESO)#Propiedades de las potencias de enteros|'''Propiedades de las potencias de números enteros''']]
+==Potencias de exponente negativo==
-{{p}}
+{{Def potencia exponente entero}}
-{{propiedades potencias naturales}}
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-{{Videos ejemplos propiedades potencias fracciones}}
+{{AI potencias exponente entero}}
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-a) <math>\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3</math>{{b4}}{{b4}}
+==Propiedades de las potencias de números racionales==
+{{Propiedades de las potencias de números racionales}}
-d) <math>\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2</math>{{b4}}{{b4}}e) <math>\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2</math>{{b4}}{{b4}}f) <math>\left( \cfrac{3}{5}\right)^0</math>
+==Ejercicios propuestos==
-|sol=
-a)<math>\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4=\left( \cfrac{3}{7} \cdot \cfrac{7}{6} \right)^4 = \left( \cfrac{3 \cdot \not{7}}{\not{7} \cdot 6} \right)^4 = \left( \cfrac{3}{6} \right)^4= \left( \cfrac{1}{2} \right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}</math>
-----
-b)<math>\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3=\left( \cfrac{3}{10} : \cfrac{6}{5}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{10 \cdot 6}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{\not{3} \cdot \not{5}}{\not{5} \cdot 2 \cdot \not{3} \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{1}{4}\right)^3=\cfrac{1^3}{4^3}=\cfrac{1}{64}</math>
-----
-c)<math>\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{2+3}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^5=\cfrac{3^5}{4^5}=\cfrac{243}{1024}</math>
-----
-d)<math>\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{3-2}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^1=\cfrac{3}{4}</math>
-----
-e) <math>\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2=\left( \cfrac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2}=\left( \cfrac{1}{2}\right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}</math>
-----
-f) <math>\left( \cfrac{3}{5}\right)^0=1</math>
-}}
-===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio
 |titulo=Ejercicios propuestos: ''Potencias de fracciones''
 (Pág. 80)
-[[Imagen:red_star.png|12px]] 1; 2a,c,d,e; 3a,d,f; 4a,d,f; 5a,c,e; 6a,c,e; 7a,c,e; 8a,d; 9a,d; 11a,c,e; 12; 13; 14
+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1; 2a,c,d,e; 3a,d,f; 4a,d,f; 5a,c,e; 6a,c,e; 7a,c,e; 8a,d; 9a,d; 10a,d; 11a,c,e; 12; 13; 14
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 |sol=
 }}
-(Pág. 81)
-==Potencias de base 10==
-{{Potencias de 10}}
-{{Videos: Potencias de 10}}
-{{p}}
-===Operaciones con potencias de base 10===
-{{Productos y cocientes con potencias de 10}}
-{{p}}
-===Descomposición polinómica de un número===
-{{Definición: Descomposición polinómica número}}
-{{p}}
-Ya conoces del curso pasado la descomposición polinómica de un número natural:
-Ver: [[Potencias de base 10 (1º ESO)#Descomposición polinómica de un número|Descomposición polinómica de un número natural]]
-A continuación veremos como se descompone un número decimal:
-{{p}}
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=
-Para descomponer polinómicamente un número decimal procederemos de la siguiente manera:
-*La parte entera del número se descompone como se hace con los números naturales, utilizando potencias de exponente positivo, teniendo en cuenta las equivalencias:
-<center><math>10^0=1 \, ; \ 10^1=10 \, ; \ 10^2=100 \, ; \ 10^3=1000 \, ; \ \cdots</math></center>
-*La parte decimal del número se descompone de forma análoga pero utilizando potencias de exponente negativo, teniendo en cuenta las siguientes equivalencias:
-<center><math>10^{-1}=0.1 \, ; \ 10^{-2}=0.01 \, ; \ 10^{-3}=0.001 \, ; \ \cdots</math></center>
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido=Vamos a obtener la descomposición polinómica del número 5034.652:
-<math>5034.652 = 5000 + 30 + 4 + 0.6 + 0.05 + 0.002 =\;</math>
-:::<math>= 5 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 6 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2} + 2 \cdot 10^{-3}
-</math>}}
-{{p}}
-===Notación científica===
-{{Definición: Notacion cientifica}}
-{{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Notación científica|enunciado=
-{{Video_enlace_tutomate
-|titulo1=Tutorial 1
-|duracion=7'37"
-|sinopsis=Números en notación científica. Ejemplos.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=B-ZJywpOLzw&list=PLWRbPOo5oaTcOZhRaF3-DuT9bjIDrP8ZB&index=5
-}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=Tutorial 2
-|duracion=5'19"
-|sinopsis=Potencias de 10 y notación científica. Ejemplos.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=rssQ5Vg3nDk
-}}
-----
-{{Video_enlace
-|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion=4'22"
-|sinopsis=Escribe en notación científica:
-a) 407 000 000 000 000
-b) 24 000
-c) 0.000 000 078
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=bg_4G32yCnM
-}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=Ejercicio 2
-|duracion=6'32"
-|sinopsis=Escribe en notación científica:
-a) 5 000 000 000{{b4}}{{b4}}b) 27 000{{b4}}{{b4}}c) 900{{b4}}{{b4}}d) 129 000
-e) 0.000 000 025{{b4}}{{b4}}f) 0.000 678{{b4}}{{b4}}g) 0.000 000 000 000 853
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=EMYTxbpXnJI
-}}
-}}
-{{AI_descartes|titulo1=Ejemplos de números en notación científica
-|descripcion=En la siguiente escena, genera distintos números, pulsando el botón inferior.
-Anótalos en tu cuaderno, explicando qué condiciones cumple para que esté en notación científica.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/notacion/notacion_cientifica_1.html
-width=700
-height=450
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-</iframe></center>
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/notacion/notacion_cientifica_1.html
-}}
-{{AI_descartes|titulo1=Significado del exponente en la notación científica
-|descripcion=Consulta la ayuda de la escena y contesta.
-Modifica los valores de las cifras y del exponente y observa qué sucede con la coma en los siguientes casos:
-*Si el exponente es cero
-*Si el exponente es negativo
-*Si el exponente es positivo
-Anota en tu cuaderno las conclusiones a las que hayas llegado.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/notacion/notacion_cientifica_3.html
-width=700
-height=350
-name=myframe
-</iframe></center>
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/notacion/notacion_cientifica_3.html
-}}
-{{AI_cidead
-|titulo1=Notación científica
-|descripcion=Actividades para aprender a manejar la notación científica.
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena1/2quincena1_contenidos_3b.htm
-}}
-===Ejercicios propuestos===
-{{ejercicio
-|titulo=Ejercicios propuestos: ''Potencias de fracciones''
-|cuerpo=
-(Pág. 81)
-[[Imagen:red_star.png|12px]] 15, 16, 17, 18
-|sol=
-}}
 [[Categoría: Ejercicios de Matemáticas|Números]]

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