Porcentajes

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Podemos representar gráficamente estos porcentajes igual que se hace con las fracciones. Podemos representar gráficamente estos porcentajes igual que se hace con las fracciones.
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Representación de porcentajes''+{{representacion porcentajes}}
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-|enunciado='''Actividad 1.''' En la siguiente escena se pueden representar porcentajes.+
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-Cambia el valor del porcentaje mediante las flechitas o introduciendo el número y pulsando "Intro".{{p}}+
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==Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad== ==Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad==
-{{Caja_Amarilla|texto=Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma decimal (dividiéndolo por 100) y se multiplica por la cantidad.{{p}}+{{calculo del porcentaje}}
-<center><math>El \ n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C</math></center>+
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-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Cálculo de un porcentaje''+===Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes===
-|enunciado= +{{Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes}}
-Calcula el 16% de 2000.+
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-'''Método 1: A partir de la definición de pordentaje:'''+
- +
-El 16% de 2000<math>= \frac{16}{100} \cdot 2000=0,16 \cdot 2000=320</math>+
- +
-'''Método 2: Mediante una regla de tres'''+
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- +
-Y despejando <math>x\;\!</math>:+
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{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Cálculo de porcentajes''+===Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje===
-|cuerpo=+{{porcentaje inverso}}
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1.''' Calcula los siguientes porcentajes en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.+
-:a) 10% de 43; b) 60% de 200; c) 50% de 40; d) 5% de 1000; e) 25% de 400.+
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-¿Qué resultado es el correcto? Pincha con el ratón el punto rojo y llévalo a la caja del número que te parezca correcto. Para hacer otro ejercicio pulsa el botón inicio+
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/porcentajes/calculo_porcentaje2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
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-Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?+
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-'''Método 1: A partir de la definición de pordentaje:'''+
- +
-Si llamamos <math>C\;\!</math> al total de alumnos de la clase: +
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- +
-Y despejando <math>C\;\!</math>:+
- +
-<center><math>C=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos</math></center>+
- +
-'''Método 2: Mediante una regla de tres'''+
- +
- 20% ----> 5 alumnos+
- 100% ----> x alumnos+
- +
-Y despejando <math>x\;\!</math>:+
- +
-<center><math>x=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos</math></center>+
- +
-}}+
{{p}} {{p}}
-==Obtención del porcentaje correspondiente a una proporción==+===Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total===
{{Porcentaje de proporcion}} {{Porcentaje de proporcion}}
{{p}} {{p}}
==Aumentos y disminuciones porcentuales== ==Aumentos y disminuciones porcentuales==
-{{Caja_Amarilla|texto= +{{Aumentos y disminuciones porcentuales}}
-*Un '''aumento porcentual''' es añadir un porcentaje a una cierta cantidad y una '''disminución porcentual''' es quitar un porcentaje a una cierta cantidad. +
-<br>+
-*El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama '''índice de variación'''.+
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-<br>+
-*En '''aumentos porcentuales''' del n%, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.+
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-<br>+
-*En una '''disminución porcentual''' del n%, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal.+
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-<center> <math>Cantidad \ Final = Cantidad \ Inicial \cdot \left(1-\cfrac{n}{100}\right)</math> </CENTER>+
-}}+
- +
-}}+
-{{p}}+
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-|enunciado= +
-:a) Un litro de leche de 0,95 € aumenta su precio en un 12% ¿Cuánto vale ahora?+
-:b) Unas zapatillas de 120 € se rebajan un 15% ¿Cuál es el valor final?+
-|sol=+
-a) <math>0,95 \cdot (1+0,12)=0,95 \cdot 1,12=1,064\approx 1,06</math> €+
-b) <math> 120 \cdot (1-0,15)=120 \cdot 0,85=102 </math> €+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Aumentos y disminuciones porcentuales''+
-|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1.''' Calcula los siguientes aumentos porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena. +
- +
-a) En un instituto hay un 12% más de alumnas que de alumnos. ¿Cuántas alumnas hay sabiendo que hay 150 alumnos?+
- +
-b) El precio de una bicicleta que costaba 400 € el año pasado, ha subido un 20%.¿Cuál es el precio actual?+
- +
-c) Actualmente me dan 15 € mensuales de paga, pero he convencido a mis padres para que me suban el 15%. ¿Cuál será mi paga a partir de ahora?+
- +
-d) ¿Cuánto hay que pagar por un disco de 15 € si hay que sumarle el 16% de IVA?+
- +
-e) La factura de teléfono de este mes es de 45 € sin IVA. ¿Cuanto será al añadirle el 16% de IVA?+
- +
-f) ¿Cuánto nos costará dormir una noche en un hotel sabiendo que la habitación vale 70 € sin IVA y el IVA es del 7%?+
- +
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/porcentajes/Aumentos_porcentuales.htm '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
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-|enunciado='''Actividad 2.''' Calcula las siguientes disminuciones porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena. +
- +
-a) Un ordenador cuesta este año 850 €. ¿Cuánto costará el año que viene sabiendo que perderá el 40% de su valor?+
- +
-b) Mis padres me han dado 40 € por mi cumpleaños. ¿Cuánto me quedará al final del día si me gasto el 80% de lo que me han dado?+
- +
-c) Un trabajador tiene un salario bruto de 980 € al mes, del que le descuentan un 12% en impuestos. ¿Qué salario neto percibe? +
- +
-d) En una tienda hacen una rebaja del 20% a todos los artículos. ¿Cuanto costará ahora una camisa que antes costaba 35 €? ¿Y un pantalón de 40 €?+
- +
-e) Tengo 52 € y me quiero comprar un MP3 que costaba antes de las rebajas 60 €. ¿Podré pagarlo si lo rebajan un 15%?+
- +
-f) Quiero comprarme unas zapatillas de deporte. En una tienda veo dos que me gustan; las primeras tienen un precio de 45 € y una rebaja del 30% y las segundas cuestan 35 € pero no tienen rebaja. ¿Cuáles salen más baratas?+
- +
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==Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final== ==Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final==
- +{{cantidad inicial sabiendo variacion porcentual}}
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-La cantidad inicial se calcula '''dividiendo''' la cantidad final por el índice de variación.+
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-<center><math>Cantidad \ Inicial = \cfrac{Cantidad \ Final}{\acute{I}ndice \ de \ Variaci \acute{o} n}</math></center>+
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-|enunciado= a) El precio de una moto es de 2800 €. ¿Cuál era el precio de fábrica antes de aplicarle el 16 % de aumento por el IVA?.+
- +
-b) En las rebajas has comprado unas zapatillas de 90 €, con un descuento del 28 %. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?+
-|sol=a) Por ser un aumento porcentual, el índice de variación es: 1 + 0,16 = 1,16. Por tanto, el precio inicial de la moto es +
-<center><math> \frac{2800}{1,16}= 2413,79 </math>€</center>+
- +
-b) Por ser una disminución porcentual, el índice de variación es: 1 - 0,28 = 0,72. Por tanto, el precio inicial de la moto es +
-<center><math> \frac{90}{0,72}= 125 </math>€</center>+
- +
- +
-}}+
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==Encadenamiento de variaciones porcentuales== ==Encadenamiento de variaciones porcentuales==
-{{Caja_Amarilla|texto= +{{Encadenamiento de variaciones porcentuales}}
-Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos, siendo el producto el índice de variación del encadenamiento+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Encadenamiento porcentual''+
-|enunciado= El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre.+
-:a) Calcula el precio final tras las dos subidas.+
-:b) ¿Ha subido un 3+4=7%?. ¿Qué porcentaje a subido?+
-|sol= +
-a) El precio final es: <math>102 \cdot 1,03 \cdot 1,04= 109,2624</math> céntimos de € +
- +
-b) No, pués el índice de variación total es <math>1,03 \cdot 1,04 = 1,0712 \;\!</math>, es decir un aumento del <math>(1,0712-1) \cdot 100=7,12%</math>.+
-}}+
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 +==Ejercicios y problemas==
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 +|titulo1=Ejercicios: ''Porcentajes''
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 +}}
 +{{Actividades: Porcentajes}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]
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Definición de porcentaje

  • Un porcentaje es una razón entre un número n y 100 y representa las partes que tomamos de un total de 100.
  • Se representa escribiendo el número seguido del símbolo %, esto es:

n% = \cfrac{n}{100}         (se lee "n\; por ciento")

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Representación de los porcentajes

Podemos representar gráficamente estos porcentajes igual que se hace con las fracciones.

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Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales

Hemos definido un porcentaje como una fracción y sabemos que una fracción se puede escribir como un número decimal. Por tanto, un porcentaje lo podemos expresar de tres formas equivalentes: como porcentaje, como fracción o como número decimal.

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Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad

ejercicio

Cálculo del porcentaje

Para hallar el n%\; de una cantidad, C\;, podemos proceder de dos formas:

  • Calculando la fracción de dicha cantidad:

n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C

  • Mediante una proporción (regla de tres directa):

\left .\begin{matrix}100 \rightarrow C \\ ~n~ \rightarrow x\end{matrix} \right \} \rightarrow x=\cfrac{n \cdot C}{100}

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de porcentajes (2 métodos)

En un pueblo hay 2000 habitantes, de los cuales el 16% son niños. ¿Cuántos niños hay en el pueblo?

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Cálculo rápido de un porcentaje

Hemos visto que un porcentaje es equivalente a una razón de divisor 100, y dividir entre 100 es muy fácil (basta correr la coma decimal dos lugares a la izquierda). Así, si transformamos esa razón en un número decimal mentalmente, el cálculo del tanto por ciento se reduce a una simple multiplicación.

ejercicio

Cálculo rápido de un porcentaje

Calcular el n% de una cantidad equivale a multiplicar la cantidad por el número que resulta de dividir n entre 100.

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Porcentajes sencillos

Hay algunos porcentajes que se pueden calcular fácilmente:

ejercicio

Procedimiento

  • Calcular el 10% equivale a dividir por 10.
  • Calcular el 20% equivale a dividir por 5.
  • Calcular el 25% equivale a dividir por 4.
  • Calcular el 50% equivale a dividir por 2.

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Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes

En cualquier situación con porcentajes están involucrados tres elementos: la cantidad total, la parte de esa cantidad y el propio tanto por ciento.

Estos tres elementos forman parte de una proporción con dos razones igualadas, una de las cuales siempre tiene el número 100 como denominador.

\cfrac{Tanto \ por \ ciento}{100}=\cfrac{Parte}{Total}

También podemos verlo como una regla de tres:

\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento ~ \ \longrightarrow \ Parte \\ \qquad \quad 100 \qquad \quad \longrightarrow \ ~~Total \end{matrix} \right \}

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Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje (porcentaje inverso)

Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

[editar]

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

ejercicio

Procentaje correspondiente a una proporción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, a\;\!, repecto a un total, C\;\!, se efectúa la siguiente operación:

\frac{a}{C}\cdot 100

ejercicio

Ejemplo: Porcentaje correspondiente a una proporción

En un grupo del instituto, de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados?. ¿Y los suspensos?

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Aumentos y disminuciones porcentuales

  • Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad de partida.
  • Una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad de partida.

  • A la cantidad de partida la llamaremos cantidad inicial y al resultado cantidad final.

ejercicio

Proposición

En un aumento/disminución porcentual, se cumple:

C_F = C_I \cdot I_V

siendo C_F\; = Cantidad final, C_I\; = Cantidad inicial e I_V\; = Indice de variación.

  • En aumentos porcentuales del n%:

C_F = C_I \cdot \left(1+\cfrac{n}{100} \right)

  • En una disminuciones porcentuales del n%:

C_F = C_i \cdot \left(1-\cfrac{n}{100}\right)

ejercicio

Ejemplo: Aumento y disminución porcentual

a) Un litro de leche de 0,95 € aumenta su precio en un 12% ¿Cuánto vale ahora?

b) Unas zapatillas de 120 € se rebajan un 15% ¿Cuál es el valor final?

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Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final

ejercicio

Proposición

La cantidad inicial se calcula dividiendo la cantidad final por el índice de variación:

C_I = \cfrac{C_F}{I_V}

ejercicio

Ejemplo: Cálculo de la cantidad inicial

a) El precio de una moto es de 2800 €. ¿Cuál era el precio de fábrica antes de aplicarle el 16 % de aumento por el IVA?.

b) En las rebajas has comprado unas zapatillas de 90 €, con un descuento del 28 %. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

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Encadenamiento de variaciones porcentuales

ejercicio

Proposición

Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos, siendo el producto el índice de variación del encadenamiento.

ejercicio

Ejemplo: Encadenamiento porcentual

El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre.

a) Calcula el precio final tras las dos subidas.
b) ¿Ha subido un 3+4=7%?. ¿Qué porcentaje ha subido?

ejercicio

Problemas: Encadenamiento porcentual

1. El precio de un libro, 12 €, primero sube el 5 %, después sube el 10 % y, finalmente, baja el 15 %.

a) ¿Cuál es su precio final? ¿Es igual que el inicial?

b) ¿Cúal es el índice de variación total, y a qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde?
2. Según un artículo de un periódico, a unos trabajadores en el año 2002 se les sube el sueldo un 2%, en el 2003 el 3%, en el 2004 el 4% y los dos siguientes el 1%. ¿Es cierta la afirmación que en los 5 últimos años, a los trabajadores se les ha subido el sueldo un 2 + 3 + 4 + 1 + 1 = 11%?
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Ejercicios y problemas

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Herramientas personales
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