Porcentajes

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Tabla de contenidos

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1 Definición de porcentaje
2 Representación de los porcentajes
- 2.1 Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales
3 Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad
4 Aumentos y disminuciones porcentuales
5 Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final
6 Encadenamiento de variaciones porcentuales
7 Ejercicios y problemas

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Definición de porcentaje

Un porcentaje es una razón entre un número n y 100 y representa las partes que tomamos de un total de 100.
Se representa escribiendo el número seguido del símbolo %, esto es:

$n% = \cfrac{n}{100}$ (se lee " $n\;$ por ciento")

Ejemplos [Mostrar]

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Representación de los porcentajes

Podemos representar gráficamente estos porcentajes igual que se hace con las fracciones.

Significado del tanto por ciento [Mostrar]

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Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales

Hemos definido un porcentaje como una fracción y sabemos que una fracción se puede escribir como un número decimal. Por tanto, un porcentaje lo podemos expresar de tres formas equivalentes: como porcentaje, como fracción o como número decimal.

Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales [Mostrar]

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Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad

Cálculo del porcentaje

Para hallar el $n%\;$ de una cantidad, $C\;$ , podemos proceder de dos formas:

Calculando la fracción de dicha cantidad:

$n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C$

Mediante una proporción (regla de tres directa):

$\left .\begin{matrix}100 \rightarrow C \\ ~n~ \rightarrow x\end{matrix} \right \} \rightarrow x=\cfrac{n \cdot C}{100}$

Ejemplo: Cálculo de porcentajes (2 métodos)

En un pueblo hay 2000 habitantes, de los cuales el 16% son niños. ¿Cuántos niños hay en el pueblo?

Solución:[Mostrar]

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Cálculo rápido de un porcentaje

Hemos visto que un porcentaje es equivalente a una razón de divisor 100, y dividir entre 100 es muy fácil (basta correr la coma decimal dos lugares a la izquierda). Así, si transformamos esa razón en un número decimal mentalmente, el cálculo del tanto por ciento se reduce a una simple multiplicación.

Cálculo rápido de un porcentaje

Calcular el n% de una cantidad equivale a multiplicar la cantidad por el número que resulta de dividir n entre 100.

Ejemplos: [Mostrar]

Porcentajes [Mostrar]

Cálculo rápido de porcentajes Descripción: [Mostrar]

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Porcentajes sencillos

Hay algunos porcentajes que se pueden calcular fácilmente:

Procedimiento

Calcular el 10% equivale a dividir por 10.
Calcular el 20% equivale a dividir por 5.
Calcular el 25% equivale a dividir por 4.
Calcular el 50% equivale a dividir por 2.

Porcentajes sencillos Descripción: [Mostrar]

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Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes

En cualquier situación con porcentajes están involucrados tres elementos: la cantidad total, la parte de esa cantidad y el propio tanto por ciento.

Estos tres elementos forman parte de una proporción con dos razones igualadas, una de las cuales siempre tiene el número 100 como denominador.

$\cfrac{Tanto \ por \ ciento}{100}=\cfrac{Parte}{Total}$

También podemos verlo como una regla de tres:

$\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento ~ \ \longrightarrow \ Parte \\ \qquad \quad 100 \qquad \quad \longrightarrow \ ~~Total \end{matrix} \right \}$

Porcentajes como proporción directa [Mostrar]

Porcentajes como fracción [Mostrar]

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Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje (porcentaje inverso)

Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

Solución:[Mostrar]

Método 1: A partir de la definición de porcentaje:

Si llamamos $C\;\!$ al total de alumnos de la clase:

$5=\frac{20}{100} \cdot C$

Y despejando $C\;\!$ :

$C=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Método 2: Mediante una regla de tres

                %        alumnos
               ----      -------
  Parte:        20   ---->  5
  Total:       100   ---->  x

Y despejando $x\;\!$ :

$x=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Porcentaje inverso [Mostrar]

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Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

Procentaje correspondiente a una proporción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, $a\;\!$ , repecto a un total, $C\;\!$ , se efectúa la siguiente operación:

$\frac{a}{C}\cdot 100$

Ejemplo: Porcentaje correspondiente a una proporción

En un grupo del instituto, de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados?. ¿Y los suspensos?

Solución:[Mostrar]

$\frac{21}{30}\cdot 100=0,7 \cdot 100=70$

Por tanto el 70% aprueban y el 30% suspenden.

También podemos hacerlo mediante una regla de tres:

                      %          alumnos
                    ----         -------
 Total:              100   ---->   30 
 Parte (aprobados):   x    ---->   21

$x=\frac{21 \cdot 100}{30}=70$

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total [Mostrar]

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Aumentos y disminuciones porcentuales

Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad de partida.
Una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad de partida.

A la cantidad de partida la llamaremos cantidad inicial y al resultado cantidad final.

Proposición

En un aumento/disminución porcentual, se cumple:

$C_F = C_I \cdot I_V$

siendo $C_F\;$ = Cantidad final, $C_I\;$ = Cantidad inicial e $I_V\;$ = Indice de variación.

En aumentos porcentuales del n%:

$C_F = C_I \cdot \left(1+\cfrac{n}{100} \right)$

En una disminuciones porcentuales del n%:

$C_F = C_i \cdot \left(1-\cfrac{n}{100}\right)$

Demostración:[Mostrar]

Observación: [Mostrar]

Ejemplo: Aumento y disminución porcentual

a) Un litro de leche de 0,95 € aumenta su precio en un 12% ¿Cuánto vale ahora?

b) Unas zapatillas de 120 € se rebajan un 15% ¿Cuál es el valor final?

Solución:[Mostrar]

Aumentos y disminuciones porcentuales [Mostrar]

Aumentos porcentuales:

Actividad 1 Descripción: [Mostrar]

Actividad 2 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación Descripción: [Mostrar]

Disminuciones porcentuales:

Actividad 1 Descripción: [Mostrar]

Actividad 2 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 Descripción: [Mostrar]

Aumentos y disminuciones porcentuales:

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 Descripción: [Mostrar]

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Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final

Proposición

La cantidad inicial se calcula dividiendo la cantidad final por el índice de variación:

$C_I = \cfrac{C_F}{I_V}$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Cálculo de la cantidad inicial

a) El precio de una moto es de 2800 €. ¿Cuál era el precio de fábrica antes de aplicarle el 16 % de aumento por el IVA?.

b) En las rebajas has comprado unas zapatillas de 90 €, con un descuento del 28 %. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

Solución:[Mostrar]

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Encadenamiento de variaciones porcentuales

Proposición

Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos, siendo el producto el índice de variación del encadenamiento.

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Encadenamiento porcentual

El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre.

a) Calcula el precio final tras las dos subidas.

b) ¿Ha subido un 3+4=7%?. ¿Qué porcentaje ha subido?

Solución:[Mostrar]

Problemas (32'26") Sinopsis:[Mostrar]

Encadenamientos porcentuales Descripción: [Mostrar]

Problemas: Encadenamiento porcentual

1. El precio de un libro, 12 €, primero sube el 5 %, después sube el 10 % y, finalmente, baja el 15 %.

a) ¿Cuál es su precio final? ¿Es igual que el inicial?

b) ¿Cúal es el índice de variación total, y a qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde?

Solución:[Mostrar]

2. Según un artículo de un periódico, a unos trabajadores en el año 2002 se les sube el sueldo un 2%, en el 2003 el 3%, en el 2004 el 4% y los dos siguientes el 1%. ¿Es cierta la afirmación que en los 5 últimos años, a los trabajadores se les ha subido el sueldo un 2 + 3 + 4 + 1 + 1 = 11%?

Solución:[Mostrar]

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Ejercicios y problemas

Ejercicios: Porcentajes (16'03") Sinopsis: [Mostrar]

Problemas con porcentajes (I) Descripción: [Mostrar]

Problemas con porcentajes (II) Descripción: [Mostrar]

Problemas de variaciones porcentuales Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 (Problemas) Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 4 Descripción: [Mostrar]

Problemas resueltos Descripción: [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Porcentajes"

Categorías: Matemáticas | Números

-{{Menú Matemáticas 3ESO
+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
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 |ampliar=
 {{p}}
 ==Definición de porcentaje==
-{{Caja_Amarilla|texto=
+{{def porcentaje}}
-Las fracciones con denominador igual a 100 se llaman tanto por ciento o, simplemente,  '''porcentajes'''.
-<center>
-<math>\frac{30}{100}=30%; \quad \frac{28}{100}=28%; \quad \frac{70}{100}=70%;\quad \frac{12}{100}=12%;
-</math>
-</center>{{p}}
-Leemos: 30 por ciento; 28 por ciento; 70 por ciento; y 12 por ciento.
-}}
-{{p}}
 ==Representación de los porcentajes==
 Podemos representar gráficamente estos porcentajes igual que se hace con las fracciones.
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-|enunciado='''Actividad 1.''' En la siguiente escena se pueden representar porcentajes.
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-Cambia el valor del porcentaje mediante las flechitas o introduciendo el número y pulsando "Intro".{{p}}
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 ==Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad==
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+{{Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes}}
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-|enunciado='''Actividad 1.''' Calcula los siguientes porcentajes en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.
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-¿Qué resultado es el correcto? Pincha con el ratón el punto rojo y llévalo a la caja del número que te parezca correcto. Para hacer otro ejercicio pulsa el botón inicio
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-*'''Un aumento porcentual''' es añadir un porcentaje a una cierta cantidad.
-*'''Una disminución porcentual''' es quitar un porcentaje a una cierta cantidad.
-*El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama '''índice de variación'''.
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+{{cantidad inicial sabiendo variacion porcentual}}
-*En '''aumentos porcentuales''', el índice de variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.
+==Encadenamiento de variaciones porcentuales==
-*En una '''disminución porcentual''', el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal.
+{{Encadenamiento de variaciones porcentuales}}
-*Para calcular el valor final, halla el índice de variación y multiplícalo por la cantidad inicial:
-<center> '''VALOR FINAL = VALOR INICIAL <math>\cdot</math> ÍNDICE DE VARIACIÓN''' </CENTER>
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Aumento y disminución porcentual''
-|enunciado=
-:a) Un litro de leche de 0,95 € aumenta su precio en un 12% ¿Cuánto vale ahora?
-:b) Unas zapatillas de 120 € se rebajan un 15% ¿Cuál es el valor final?
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-}}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Aumentos y disminuciones porcentuales''
+{{ejercicio
+|titulo=Problemas: ''Encadenamiento porcentual''
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-{{ai_cuerpo
+{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1.''' Calcula los siguientes aumentos porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.
+|enunciado=
+'''1.''' El precio de un libro, 12 €, primero sube el 5 %, después sube el 10 % y, finalmente, baja el 15 %.
-a) En un instituto hay un 12% más de alumnas que de alumnos. ¿Cuántas alumnas hay sabiendo que hay 150 alumnos?
+a) ¿Cuál es su precio final? ¿Es igual que el inicial?
-b) El precio de una bicicleta que costaba 400 € el año pasado, ha subido un 20%.¿Cuál es el precio actual?
+b) ¿Cúal es el índice de variación total, y a qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde?
-c) Actualmente me dan 15 € mensuales de paga, pero he convencido a mis padres para que me suban el 15%. ¿Cuál será mi paga a partir de ahora?
+|sol= a) 11,78 €. No
+{{p}}
+b) I.V. = 0,98175, entonces una disminución o descuento del 1,825 %
+}}
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado=
+'''2.''' Según un artículo de un periódico, a unos trabajadores en el año 2002 se les sube el sueldo un 2%, en el 2003 el 3%, en el 2004 el 4% y los dos siguientes el 1%. ¿Es cierta la afirmación que en los 5 últimos años, a los trabajadores se les ha subido el sueldo un 2 + 3 + 4 + 1 + 1 = 11%?
-d) ¿Cuánto hay que pagar por un disco de 15 € si hay que sumarle el 16% de IVA?
+|sol= No, pués el índice de variación total = 1,02 . 1,03 . 1,04 . 1,01 . 1,01 = 1,1146, es decir un aumento del 11,46%
+}}
+}}
-e) La factura de teléfono de este mes es de 45 € sin IVA. ¿Cuanto será al añadirle el 16% de IVA?
+==Ejercicios y problemas==
+{{Video_enlace_matemovil
-f) ¿Cuánto nos costará dormir una noche en un hotel sabiendo que la habitación vale 70 € sin IVA y el IVA es del 7%?
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-|enunciado='''Actividad 2.''' Calcula las siguientes disminuciones porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.
-a) Un ordenador cuesta este año 850 €. ¿Cuánto costará el año que viene sabiendo que perderá el 40% de su valor?
-b) Mis padres me han dado 40 € por mi cumpleaños. ¿Cuánto me quedará al final del día si me gasto el 80% de lo que me han dado?
-c) Un trabajador tiene un salario bruto de 980 € al mes, del que le descuentan un 12% en impuestos. ¿Qué salario neto percibe?
-d) En una tienda hacen una rebaja del 20% a todos los artículos. ¿Cuanto costará ahora una camisa que antes costaba 35 €? ¿Y un pantalón de 40 €?
-e) Tengo 52 € y me quiero comprar un MP3 que costaba antes de las rebajas 60 €. ¿Podré pagarlo si lo rebajan un 15%?
-f) Quiero comprarme unas zapatillas de deporte. En una tienda veo dos que me gustan; las primeras tienen un precio de 45 € y una rebaja del 30% y las segundas cuestan 35 € pero no tienen rebaja.  ¿Cuáles salen más baratas?
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 }}
-{{p}}
+{{Actividades: Porcentajes}}
+[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]
-==Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final==
-==Encadenamiento de variaciones porcentuales==

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