Expresiones algebraicas

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 +__TOC__
{{p}} {{p}}
-==Expresiones algebraicas==+{{Cita: la belleza del álgebra}}
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-Una '''expresión algebraica''' es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan '''variables''' o '''incógnitas'''. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Expresión algebraica''+==Introducción==
-|enunciado=+{{Introducción : expresiones algebraicas}}
-:Expresa mediante expresiones algebraicas el perímetro y el área de un terreno rectangular.+
-|sol=+
-Si suponemos que mide <math>x\;\!</math> metros de largo e <math>y\;\!</math> metros de ancho, tenemos que:+
- +
-*Perimetro:<math>2x+2y\;\!</math>+
-*Area:<math>x \cdot y</math>+
-}}+
{{p}} {{p}}
-===Tipos de expresiones algebraicas===+{{Introducción: Utilidad del álgebra}}
-Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-*Dependiendo del número de sumandos, tenemos: '''monomios''' (1 sumando) y '''polinomios''' (varios sumandos).+
-*Algunos polinomios tienen nombre propio: '''binomio''' (2 sumandos), '''trinomio''' (3 sumandos), ...+
-*Dos expresiones algebraicas separadas por un signo <math>=\;\!</math> reciben el nombre de '''ecuación'''.+
-*Un caso particular de ecuación es la '''identidad''', en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=+
-*'''Monomios:''' <math>3x^5 \, ,\quad \cfrac{3x}{5} \, , \quad \cfrac{4}{3} \, \pi r^3</math> +
-*'''Polinomios:''' <math>3x^5+2x\;\!</math> (binomio), <math>4ab-5b^2+ \cfrac{x}{5}</math> (trinomio)+
-*'''Ecuaciones:''' <math>5x+3=2x-1\;\!</math>+
-*'''Identidades:''' <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\;\!</math>+
-}}+
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-===Valor numérico de una expresión algebraica===+==El lenguaje algebraico==
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Uso de letras en lugar de números}}
-Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el '''valor númerico''' de la expresión algebraica para los valores de las letras dados.+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Valor numérico de una expresión algebraica'' 
-|enunciado= 
-{{p}} 
-:a) Halla el valor numérico del perímetro y del área de un terreno rectangular cuyos lados miden 50 y 30 m, respectivamente. 
-:b) Halla el valor numérico del polinomio {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>3x^5+2x\;\!</math>}} para {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>x=2\;\!</math>}}+==Expresiones algebraicas==
-|sol=+{{expresiones algebraicas}}
-a) Según vimos en el ejemplo anterior: Si <math>x\;\!</math> es el largo e <math>y\;\!</math> el ancho, en metros, tenemos que:+
{{p}} {{p}}
-*Perimetro<math>=2x+2y=2 \cdot 50+2 \cdot 30=160 \ m</math>+===Tipos de expresiones algebraicas===
-*Area<math>=x \cdot y=50 \cdot 30=1500 \ m^2</math>+{{tipos de expresiones algebraicas}}
{{p}} {{p}}
-b) El valor numérico del polinomio es: {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>3 \cdot 2^5+2 \cdot 2=100</math>}} 
-}} 
-{{p}} 
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Valor numérico de una expresión algebraica''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado={{b4}}Calcula el valor numérico del polinomio {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>a^2-2ax+4\;\!</math>}} en los casos:{{p}} 
-{{b4}}{{b4}}a) <math>a=2 \, , \ x=3\;\!</math> 
-{{b4}}{{b4}}b) <math>a=-2 \, , \ x=1\;\!</math> 
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos posteriormente en la siguiente escena: 
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/monomios_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
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-|titulo=Actividad: ''Valor numérico de una expresión algebraica'' 
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-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-:Calcula el valor numérico del polinomio {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>x^3-xy-3\;\!</math>}} en los casos: 
-:a) <math>x=2 \, , \ y=0\;\!</math>+===Valor numérico de una expresión algebraica===
 +{{Valor numérico de una expresión algebraica}}
-:b) <math>x=-1 \, , \ y=1\;\!</math> 
-{{p}} 
-|sol= 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
- 
-:a) {{consulta|texto=x^3-xy-3 where x=2, y=0}} 
-:b) {{consulta|texto=x^3-xy-3 where x=-1, y=1}} 
- 
-{{widget generico}} 
-}} 
- 
-}} 
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]]

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Tabla de contenidos

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     "La Filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante nuestros ojos; quiero decir, el Universo; pero no se puede entender si antes no aprendemos su lenguaje y distinguimos los símbolos en el que está escrito. Este libro está escrito en el lenguaje de las matemáticas ... sin las cuales uno deambula vanamente en un obscuro laberinto."

Galileo Galilei

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Introducción

Hasta ahora nos ha bastado con utilizar números (enteros, fracciones, decimales...) y operaciones entre ellos para resolver multitud de problemas. Sin embargo, el lenguaje matemático no puede limitarse a números y operaciones. En muchas ocasiones necesitaremos pasar de lo concreto a lo general (abstracción) para intentar resolver no sólo un problema, sino un conjunto de problemas del mismo tipo. Muchas situaciones requieren manejar una infinidad de números al mismo tiempo, y como mencionarlos a todos, uno a uno, no es una opción, necesitamos una herramienta que nos facilite la tarea.

Sello ruso representando a Muhammad ibn Musa al-JwarizmiWikipedia
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Sello ruso representando a Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi

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Los primeros matemáticos que intentaron describir métodos generales para la resolución de problemas se apoyaron en el lenguaje convencional. La idea era redactar los pasos para la solución de un problema utilizando las palabras del idioma propio. Fíjate en el siguiente extracto de una traducción del Libro del Álgebra, escrito por el matemático Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, que vivió entre finales del siglo VIII y comienzos del siglo IX:

"Un hombre muere y deja dos hijos, y lega a un amigo un tercio del capital. Y deja diez dirhams de capital y una deuda de diez dirhams a uno de sus hijos. La solución está en tomar como cosa lo extraído de la deuda, y lo sumamos sobre el capital (que es diez dirhams), y tenemos diez más la cosa. Después pones aparte un tercio (porque legó un tercio de su capital), que es tres dirhams más un tercio más un tercio de la cosa..."

El fragmento está incompleto, pero más allá de eso, resulta difícil seguir su explicación, pese a que el objetivo de la obra era facilitar la transmisión de los métodos de resolución de problemas conocidos en la época. Sí puedes apreciar que utiliza varias veces la palabra "cosa" para referirse a lo que se quiere calcular. Es lo que nosotros llamamos en la actualidad incógnita o variable. Esta obra fue uno de los primeros pasos en la creación del lenguaje algebraico, que ha cambiado mucho a lo largo del tiempo, hasta llegar a lo que es hoy en día, un lenguaje universal (no depende de traducciones, es igual en cualquier parte del mundo) y conciso (elimina todos lo elementos superfluos, propios del lenguaje habitual, y se centra en los elementos necesarios para resolver el problema que corresponda).

Es difícil definir el lenguaje algebraico con pocas palabras. Podríamos decir, por ejemplo, que es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la transmisión de ideas matemáticas. Es una definición demasiado amplia, pero lo que realmente nos interesa es aprender a usarlo. Muchos de esos símbolos y reglas ya los conoces (los números, el orden de las operaciones, las propiedades de las operaciones, ...) y otros los estudiaremos en breve (monomios, polinomios, operaciones con polinomios, ...). (Extraido de aquí)

Empecemos el tema con un toque divertido:

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El lenguaje algebraico

Muchas veces, las Matemáticas requieren trabajar con números cuyo valor es desconocido o variable. En tales casos, los números se representan mediante letras y se operan con ellas utilizando las mismas reglas que cuando trabajamos con números. Estamos traduciendo al "lenguaje de las Matemáticas".

Llamaremos lenguaje algebraico al conjunto de símbolos (números, letras, símbolos de operación) y reglas que se utilizan para la transmisión de ideas matemáticas. De su estudio se encarga la parte de las matemáticas denominada álgebra.

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Cómo se traduce al lenguaje algebraico

Al pasar del lenguaje convencional al lenguaje algebraico, debemos tener en cuenta algunas cosas:

  • Los elementos desconocidos o aquellos que no tienen un valor fijo (variables) se representan mediante letras, mientras que aquellos que tienen su valor completamente determinado (constantes) se suelen expresar con números.
  • Si un enunciado habla de dos números que pueden ser diferentes, es necesario usar una letra distinta para cada uno. Cuando una letra aparece repetida en un mismo enunciado, se entiende que son varias referencias a un mismo número.
  • Las relaciones entre números y variables se expresan mediante operaciones matemáticas.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Traducir al lenguaje algebraico

Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones del lenguaje habitual:

a) El doble de un número menos cuatro unidades.
b) La mitad de sumarle 5 al triple de un número.
c) El perímetro y el área de un terreno rectangular.

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Expresiones algebraicas

  • Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por las operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, ...), que respeta las reglas del lenguaje algebraico.
  • Las letras, que suelen representar cantidades desconocidas, no tienen un valor fijo y se denominan variables. Los números se denominan constantes porque tienen un valor fijo.

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Tipos de expresiones algebraicas

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas. Nosotros nos vamos a centrar, de manera especial, en unas que llamaremos monomios y polinomios.

  • Monomio: es una expresión algebraica que consta de un número (coeficiente), multiplicado por letras (variables) con exponentes naturales.
  • Polinomio: es la suma de varios monomios. Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...

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Valor numérico de una expresión algebraica

El lenguaje algebraico sirve para pasar de casos particulares a casos generales, sin embargo, en muchas ocasiones haremos el proceso inverso, pasaremos de una expresión general a un valor concreto.

Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras (variables) por números y se realizan las operaciones correspondientes, se obtiene un número al que llamaremos el valor númerico de la expresión algebraica para los valores de las letras asignados.

Valor numérico de (3x+2y)/z para x=2, y=-1 y z=4.
Aumentar
Valor numérico de (3x+2y)/z para x=2, y=-1 y z=4.

ejercicio

Ejemplo: Valor numérico de una expresión algebraica

Halla el valor numérico:

a) 3x^5+2x\;\! para x=2\;\!
b) 2xy-3y^2+5\; para x=1\; e y=2\;.

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