Plantilla:Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numericos

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Recordemos las sucesivas ampliaciones de los conjuntos númericos que se han estudiado en cursos anteriores:

Tabla de contenidos

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1 Números naturales
2 Números enteros
3 Números racionales
4 Números irracionales

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Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Advertencia: [Mostrar]

Ejemplos [Mostrar]

Los números naturales [Mostrar]

Los números naturales Descripción: [Mostrar]

¿Qué números aparecieron primero, los cardinales o los ordinales? [Mostrar]

El género de los números y otras curiosidades [Mostrar]

La facultad de abstracción. Historia del cero (2'42") Sinopsis: [Mostrar]

Este conjunto es insuficiente si queremos dar solución a ecuaciones como:

$x+3=1\;$

Se precisa de un conjunto más amplio que incluya a los números negativos, el conjunto de los números enteros.

Para más información: Números naturales

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Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. Nos vemos obligados a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros

$\mathbb{Z}=\left \lbrace -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Está formado por:

El conjunto de los números naturales o enteros positivos : $\mathbb{Z}^+=\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$ .
Sus opuestos, los enteros negativos: $\mathbb{Z}^-=\left \lbrace \cdots, -1 ,\ -2,\ -3, \cdots \right \rbrace$ .
El cero (0).

Como consecuencia, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ , que se lee: "el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros".

Números naturales, números enteros y la recta numérica [Mostrar]

Este conjunto también se nos queda chico. Por ejemplo, la ecuación

$3x=2\;$

no tiene solución en el conjunto de los números enteros ya que requiere números fraccionarios. Es necesaria la ampliación al conjunto de los números racionales.

Para más información: Números enteros

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Números racionales

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

$\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace$

Obseva que:

Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}$

Todos los números decimales exactos o periódicos se pueden expresar en forma de fracción. Por tanto, son números racionales.
Cuando el número de decimales es infinito y no periódico, como ocurre con el número pi $(π)$ , no podemos expresarlo en forma de fracción. A estos números los llamaremos irracionales.

Proposición

La suma y el producto de dos números racionales es otro número racional.

Demostración:[Mostrar]

El conjunto de los números racionales (7'42") Sinopsis: [Mostrar]

El conjunto de los números racionales (4'38") Sinopsis:[Mostrar]

Números racionales e irracionales (3'08") Sinopsis:[Mostrar]

Números racionales e irracionales (8'58") Sinopsis: [Mostrar]

Representación de los números racionales mediante diagramas de Venn

portaleducativo.net

Prohibido dividir por cero (5'58") Sinopsis: [Mostrar]

Acertijo (4'12") Sinopsis: [Mostrar]

Para más información: Números racionales

Pero, ¿qué ocurre si queremos resolver la siguiente ecuación?:

$x^2=2\;$

La respuesta la tienes en el siguiente resultado:

Proposición

No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número $\sqrt{2} \,$ no es racional.

Demostración:[Mostrar]

Un número secreto (2´49") Sinopsis: [Mostrar]

El formato DIN A4 y la raíz de 2 (4´40") Sinopsis:[Mostrar]

El formarto DIN A: [Mostrar]

blog.imprentaonline24.es

No es necesario estar vinculado al sector de las Artes Gráficas o al mundo del diseño para estar en contacto diario con el sistema de clasificación o medidas de papel DIN A. Seguramente si alguna vez habrás tenido que imprimir un documento o imagen en un tamaño en concreto. Y en algún momento nos hemos preguntado si nuestra impresora podría tolerar ese tamaño de impresión. Estamos habituados a escuchar que si tal o cual formato está en A4, A3, A5, etc. ¿pero de qué manera funcionan todos? ¿cuál es su origen y sus utilidades? A continuación respondemos a estas preguntas.

DIN no es más que un acrónimo que significa Deutches Institut für Normung, que traducido significa Instituto Alemán de Normalización. Esta entidad que surgió en 1917 es la encargada de dictar los estándares o normas técnicas en Alemania. Dichas normas tienen como finalidad exclusiva asegurar y garantizar la calidad de aquello que se quiere normalizar, en este caso el tamaño del papel. Aunque quizás pienses que la normativa DIN sólo hace referencia al formato del papel, lo cierto es que existen y puedes encontrar aproximadamente 30.000 normativas DIN en este 2016 según archivo.

Fue el ingeniero berlinés Walter Porstmann quien estableció hacia el año 1922 las medidas DIN A a partir de la incorporación de la normativa DIN 476. El propósito era estandarizar de alguna manera los diferentes formatos de papel o página para aprovechar el máximo de papel y que hubiera el mínimo desperdicio posible. Dentro de la misma normativa DIN 476 encontramos la serie A, donde se definen precisamente estas medidas. Junto a la serie A también existen otras cuatro plantillas B, C, D y E y cada una de ellas contiene una numeración de varios tamaños: 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Las medidas DIN A parten de un formato referente que es el A0. El resto de formatos y series se calculan siempre a partir de éste.

En la serie A, al tamaño de papel de 1 m² se le llama A0. Las divisiones posteriores que disminuyen la superficie a la mitad, reciben el nombre de A1, A2, A3, A4, etc. Lo que en realidad está indicando la numeración asociada a la letra A es la cantidad de cortes a la mitad desde la hoja original. Así por ejemplo, una hoja tamaño A4 tiene una superficie igual a la mitad de una hoja medida A3.

Cuando se corta por la mitad una hoja en tamaño A0 (1 m²), el lado más corto se convierte en la parte más larga de la hoja resultante (A1). Por tanto, si cortamos cualquier hoja de la serie a la mitad de su lado más largo, obtendremos siempre dos hojas del tamaño siguiente, que al mismo tiempo mantienen perfectamente las proporciones entre el ancho y el largo, siendo la razón de proporcionalidad igual a la raíz cuadrada de 2. Es decir, para cualquier formato DIN A, si dividimos el largo entre el ancho, nos dará (aproximadamente) 1,4142.

Puedes hacer la prueba: Mide el ancho y largo de una hoja tamaño DIN A4 y verás que se cumple la proporción; dóblala por el lado más largo y pártela por la mitad, mide el ancho y el largo de una de las mitades, divide las dos cifras y verás que se sigue cumpliendo: 1,4142.

Veamos la demostración:

wikipedia.es

Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:

$\cfrac{b}{a} = \cfrac{2a}{b}$

Esto es:

$\cfrac{b^2}{a^2} = 2 \rightarrow \quad \left ( {\cfrac{b}{a}} \right ) ^2 = 2 \rightarrow \quad \cfrac{b}{a} =\sqrt{2} \rightarrow \quad b = \sqrt{2} \cdot a$

Si la proporción entre el lado mayor y menor es raíz de dos, cortando un formato en dos iguales esta proporción se conserva.

Si el formato A0 tiene una superficie de un metro cuadrado, tendremos:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1m^2 \\ \\ b = \sqrt{2} \cdot a \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad a \cdot (\sqrt{2} \cdot a) = 1m^2 \rightarrow \quad \sqrt{2} \cdot a^2 = 1m^2 \rightarrow$

$a^2 = \cfrac{1m^2}{\sqrt{2}} \rightarrow \quad a = \sqrt{\cfrac{1m^2}{\sqrt{2}}} = \cfrac{1m}{\sqrt[4]{2}} = \cfrac{1}{1,189} \; m = 0,841 \; m$

Sabiendo el valor de a el cálculo de b es inmediato:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1 m^2 \\ \\ a = 0,841 m \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad (0,841 m) \cdot b = 1 m^2 \rightarrow \quad b = \cfrac{1 m^2}{0,841 m} = 1,189 m$

Lo que podemos resumir como regla mnemotécnica que el formato DIN A0, tiene por medidas:

$DIN \; A0 \quad \left \{ \begin{matrix} ancho = \cfrac{1}{\sqrt[4]{2}} \; m \\ \\ largo = \sqrt[4]{2} \; m \end{matrix} \right .$

Dividiendo el lado mayor entre dos, obtendremos sucesivamente los distintos formatos A1, A2, A3, A4 ...

Exraido de: blog.imprentaonline24.es y wikipedia.es

De forma más general:

Proposición

Si $p\;$ es un número primo, entonces el número $\sqrt{p} \,$ no es racional.

Demostración:[Mostrar]

Surge, por tanto, la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales, añadiendole estos nuevos números que llamaremos números irracionales.

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Números irracionales

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra $\mathbb{I}$ .

Advertencia: [Mostrar]

Ejemplos: [Mostrar]

Números irracionales [Mostrar]

Los números irracionales más famosos son los siguientes:

El número áureo, Phi:

El número áureo ( $\phi\;$ ) [Mostrar]

Phi, el número de oro Descripción: [Mostrar]

Para más información ver: El número áureo

El número Pi:

El número Pi ( $\pi\;$ ) [Mostrar]

El número e:

El número e [Mostrar]

Propiedades

La suma de un racional y un irracional es otro irracional

El producto de un racional por un irracional es otro irracional.

Existe al menos un irracional entre cualesquiera dos racionales.

Demostración:[Mostrar]

Ejercicios (10´47") Sinopsis: [Mostrar]

Autoevaluación Descripción: [Mostrar]

Para más información: Números irracionales

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Sucesivas_ampliaciones_de_los_conjuntos_numericos"

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 {{p}}
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+{{Video: Historia del cero}}
-|titulo1=La facultad de abstracción. Historia del cero
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-|sinopsis=Toda abstracción es en sí misma una fuente de contradicciones: su depuración es larga y difícil, pues las ideas siempre tardan en madurar.
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/04-la-facultad-de-abstraccion-historia-del-cero-6#.VCVYPhZ8HA8
-}}
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-|titulo1=Prohibido dividir por cero
-|duracion=5'58"
-|sinopsis=Todo cociente de números cuyo denominador sea 0 carece de sentido matemático.
-De otro modo: si se admite la división por "cero" es el caos, pues entonces 2 = 1. Por eso,si divides por cero, aunque sea sin darte cuenta, serás fusilado de inmediato y expulsado de la comunidad científica por los siglos de los siglos.
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/05-prohibido-dividir-por-cero-4#.VCVbhhZ8HA8
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 Este conjunto es insuficiente si queremos dar solución a ecuaciones como:
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 Se precisa de un conjunto más amplio que incluya a los números negativos, el conjunto de los números enteros.
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-Para más información: [[Números naturales]]
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 ===Números enteros===
 no tiene solución en el conjunto de los números enteros ya que requiere números fraccionarios. Es necesaria la ampliación al conjunto de los números racionales.
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-Estos números, o bien son enteros, o bien se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.
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 Pero, ¿qué ocurre si queremos resolver la siguiente ecuación?:
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 La respuesta la tienes en el siguiente resultado:
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-*La suma de un racional y un irracional es otro irracional
-*El producto de un racional por un irracional es otro irracional.
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-|titulo1=El producto de un racional por un irracional es otro irracional
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-|sinopsis=La demostración, en este videotutorial.
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-|titulo1=Existe al menos un irracional entre cualesquiera dos racionales
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-|sinopsis=La demostración, en este videotutorial.
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 Surge, por tanto, la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales, añadiendole estos nuevos números que llamaremos [[números irracionales]].
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