Números racionales e irracionales (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Números racionales
2 Números irracionales
3 Números irracionales famosos
4 Representación gráfica de números irracionales
5 Números reales
6 Ejercicios propuestos

(Pág. 34)

Números racionales

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

$\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace$

Estos números, o bien son enteros, o bien se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.

Proposición

Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

Demostración:

Demostración:

Bastará aplicar la siguiente proposición:

Dados dos puntos, $x_1\;$ y $x_2\;$ , de la recta numérica, el punto medio, $x_m\;$ entre esos dos puntos viene dado por

$x_m=\cfrac{x_1+x_2}{2}$

Punto medio entre dos puntos de la recta numérica

Ejercicio 1 (2´09") Sinopsis:

Halla el punto medio entre $x_1=3\;$ y $x_2=10\;$ .

Ejercicio 2 (4´01") Sinopsis:

Halla el punto medio entre $x_1=-\cfrac{3}{4}\;$ y $x_2=\cfrac{1}{6}\;$ .

Ejercicio 3 (2´03") Sinopsis:

Halla el punto medio entre $x_1=-2\sqrt{3}\;$ y $x_2=5\sqrt{3}\;$ .

Aplicaremos esto de forma reiterada, y tendremos en cuenta que si $x_1\;$ y $x_2\;$ son números racionales, entonces $x_m\;$ también lo es.

Autoevaluación: Números racionales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números racionales.

Números irracionales

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra $\mathbb{I}$ .

Advertencia:

No existe una notación universal para representar al conjunto de los números irracionales, aunque la letra $\mathbb{I}$ es generalmente aceptada. Una de las razones es que el conjunto de números irracionales no constituye estructura algebraica alguna, como ocurre con los naturales ( $\mathbb{N}$ ), los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ), los reales ( $\R$ ) y los complejos ( $\mathbb{C}$ ). Por otro lado, está el hecho de que la $\mathbb{I}$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios, lo cual puede crear confusión.

Ejemplos:

Son números irracionales:

La raíces cuadradas no exactas de números enteros como $\sqrt{2} \ , \sqrt{5} \ , \sqrt{7} \, \cdots$
Número famosos como el número pi, el número e o el número de oro $Φ$ :

$\pi=3.141592654..., e=2.718281..., \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...$

Números con un patrón que no sea periódico: 5,123456789101112..., 8,12112111211112...

Números irracionales

Tutorial (4´57") Sinopsis:

Aquí se habla un poco sobre algunos números extraños. Aunque no son tan extraños tampoco.

Ejercicio 1 (1´44") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

$\cfrac{\sqrt{8}}{2} \ ; \ \pi \ ; \ 5.0 \ ; \ 0.325 \ ; \ 7.7777... \ ; \ 8 \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$

Ejercicio 2 (4´05") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

$9+\sqrt{45} \ ; \ \cfrac{\sqrt{45}}{3\sqrt{5}} \ ; \ 3\sqrt{9}$

Números irracionales

Actividad Descripción:

Actividades sobre números irracionales.

Autoevaluación Descripción:

Clasifica en números racionales o irracionales.

Números irracionales famosos

El número áureo, Phi:

El número áureo ( $\phi\;$ )

¿Es divina la sección áurea? (5'06") Sinopsis:

¡Phi! El número dorado, la proporción divina... ¿Qué hace de éste número algo tan interesante? ¿Es cierto la sección áurea esconde el secreto del universo y la naturaleza? ¿Es mágica la proporción áurea?

El número áureo (18´) Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Actividades

La divina proporción: el número phi (6') Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número áureo y el cuerpo humano (1'54") Sinopsis:

La proporción áurea en el mundo que nos rodea y en el cuerpo humano como símbolo de belleza.

Phi, el número de oro Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

Para más información ver: El número áureo

El número Pi:

El número Pi ( $\pi\;$ )

¿Qué es Pi? (4'24") Sinopsis:

El número Pi

Historias de pi (25´) Sinopsis:

Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es "pi" ( $π = 3,141592...$ ). La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está intimamente ligada al número pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número. Pero el verdadero padre de pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo. Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de pi aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados.Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.

Actividades

¿Cómo medir Pi? (5'45") Sinopsis:

Distintas formas de obtener aproximaciones del número pi.

Einstein, los rios y el número pi (3'09") Sinopsis:

¿Qué relación hay entre Albert Einstein, los ríos y el famoso número Pi? Hoy en Derivando te lo vamos a explicar. ¡Ah! Y te recomendamos ver este vídeo mientras tomas una taza de té, ya verá cómo lo entiendes mejor.

¿Podemos encontrar El Quijote en los decimales del número Pi? (5'01") Sinopsis:

Una de las constantes matemáticas más importantes que genera fascinantes problemas: el número Pi.

Un truco para aprenderse los 20 primeros dígitos de Pi (3'01") Sinopsis:

Curiosidades de Pi y cómo aprenderse sus decimales.

El número e:

El número e

¿Qué es el número e? (4'12") Sinopsis:

¿Qué tiene el número Pi que no tenga e?

Te explicamos uno de los más importantes números reales irracionales y trascendentes, base de los logaritmos neperianos.

Un número llamado e (13') Sinopsis:

Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.

Actividades

Representación gráfica de números irracionales

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

Representación gráfica de números irracionales

Representación de la raíz de 2 Descripción:

Observa en la escena la representación de $\sqrt{2}$ .

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Representación de otras raíces cuadradas Descripción:

Observa en la escena la representación de otras raices cuadradas.

Pulsando sobre el control pasos puedes observar cómo se representa la raíz cuadrada de cualquier número entero.
Representa en tu cuaderno la raíz de 3 y la raíz de 5.
Pulsando el control decimales puedes obtener el número de ellos que desees.
Utiliza el botón Limpiar si quieres ver con más claridad la representación de algún número.

Representación de raíces cuadradas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan gráficamente los números del tipo $\sqrt{n},~n \in \mathbb{N}$ .

Representación gráfica de raíces cuadradas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan gráficamente algunas raíces cuadradas.

Autoevaluación: Representación gráfica de números irracionales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre representación gráfica de números irracionales.

Construcción del número de oro Descripción:

En la escena puedes ver la construcción del número de oro basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclides (siglo III a.C.).

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:

Construcción con regla y compás de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo.

Números reales

El conjunto de los números reales es el formado por la unión de los números racionales y de los números irracionales y se designa por $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

$\mbox{Reales } (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales }(\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros } (\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\ \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2} \end{cases}$

El conjunto de los números reales

_{de portaleduativo.net}

Clasificación de los números reales (10'51") Sinopsis:

Números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Ejemplos.

Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos (33'01") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber sobre los distintos tipos de números reales (naturales, enteros, racionales e irraciones). Tutorial que explica de forma matemática y no tan matemática los conjuntos numéricos y como han ido surgiendo en demanda a las necesidades a la hora de poder resolver problemas aritméticos.

Conjuntos numéricos Descripción:

Escena en la que se resume los distintos tipos de conjuntos nunéricos vistos hasta ahora.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Números racionales e irracionales

(Pág. 34)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_racionales_e_irracionales_%283%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Números

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 {{entre dos racionales hay infinitos racionales}}
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-Pero hay números que no pueden expresarse por medio de una fracción:
-{{Raiz de 2 no es racional}}
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Números racionales e irracionales (3ºESO Académicas)

De Wikipedia

Revisión de 19:28 20 nov 2017

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