Números racionales e irracionales (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Números racionales
2 Números irracionales
3 Números reales
4 Ejercicios propuestos

(Pág. 34)

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Números racionales

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

$\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace$

Estos números, o bien son enteros, o bien se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.

Proposición

Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

Demostración:

Demostración:

Bastará aplicar la siguiente proposición:

Dados dos puntos, $x_1\;$ y $x_2\;$ , de la recta numérica, el punto medio, $x_m\;$ entre esos dos puntos viene dado por

$x_m=\cfrac{x_1+x_2}{2}$

Punto medio entre dos puntos de la recta numérica

Ejercicio 1 (2´09") Sinopsis:

Halla el punto medio entre $x_1=3\;$ y $x_2=10\;$ .

Ejercicio 2 (4´01") Sinopsis:

Halla el punto medio entre $x_1=-\cfrac{3}{4}\;$ y $x_2=\cfrac{1}{6}\;$ .

Ejercicio 3 (2´03") Sinopsis:

Halla el punto medio entre $x_1=-2\sqrt{3}\;$ y $x_2=5\sqrt{3}\;$ .

Aplicaremos esto de forma reiterada, y tendremos en cuenta que si $x_1\;$ y $x_2\;$ son números racionales, entonces $x_m\;$ también lo es.

Autoevaluación: Números racionales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números racionales.

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Números irracionales

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Introducción

El concepto o la idea de número irracional apareció pronto en la geometría. Ya los antiguos griegos observaron que los números racionales no completaban la recta, es decir, que había números que no se podían expresar mediante un número fraccionario.

Se atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500a. C.) y a su Escuela, el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición, esto es, segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario. Estudiando un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno, observaron que la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podía tener un valor racional. Con esto se demostró la no completitud de los números racionales y se dedujo la existencia de unos números hasta entonces desconocidos.

La Escuela Pitagórica llamó a dichos números "inconmensurables". Al principio, la aparición de estos números extraños desconcertó de forma alarmante a los miembros de la Escuela Pitagórica, pues su existencia ponía en evidencia que muchas suposiciones y demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. La sorpresa y preocupación llegó hasta tal punto que llegaron a plantearse el mantener en secreto estos números que contradecían su doctrina, que entre otras cosas preconizaba “la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía”.

Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional.

Proposición

No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número $\sqrt{2} \,$ no es racional.

Demostración:

Demostración:

Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que $\sqrt{2} \,$ es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.

Por tanto, supongamos que $\sqrt{2} \,$ es racional, o sea, que existe una fracción que es igual a $\sqrt{2} \,$ .

$\cfrac {a}{b}=\sqrt{2} \, , \quad a, b \in \mathbb{Z}$

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

$\cfrac {a^2}{b^2}=2$

Multiplicamos por $b^2\;\!$ los dos miembros de la igualdad:

$a^2=2 \cdot b^2$ [1]

Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces.

Como $b^2\;\!$ es un cuadrado perfecto, el factor 2 o no aparece o lo hace un número par de veces. Entonces, por la expresión [1], el factor 2 aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto $a^2\;\!$ , lo cual no es posible.

Ya hemos llegado al absurdo.

Tambián puedes ver la demostración en el siguiente videotutorial:

Demostración de la irracionalidad de la raíz de 2 (11´57") Sinopsis:

Videotutorial con otra demostración de la irracionalidad de la raíz de 2.

Demostración con un poco de historia. (4´09") Sinopsis:

Videotutorial con la misma demostración que el video e Khan, pero más rápida y con un poco de historia.

Un número secreto (2´49") Sinopsis:

Una breve historia de un número cuyo cuadrado es 2.

El formato DIN A4 y la raíz de 2 (4´40") Sinopsis:

¡La de matemáticas que hay en un folio! ¿Sabes de dónde proviene el formato de hojas A4?.

El formarto DIN A:

blog.imprentaonline24.es

No es necesario estar vinculado al sector de las Artes Gráficas o al mundo del diseño para estar en contacto diario con el sistema de clasificación o medidas de papel DIN A. Seguramente si alguna vez habrás tenido que imprimir un documento o imagen en un tamaño en concreto. Y en algún momento nos hemos preguntado si nuestra impresora podría tolerar ese tamaño de impresión. Estamos habituados a escuchar que si tal o cual formato está en A4, A3, A5, etc. ¿pero de qué manera funcionan todos? ¿cuál es su origen y sus utilidades? A continuación respondemos a estas preguntas.

DIN no es más que un acrónimo que significa Deutches Institut für Normung, que traducido significa Instituto Alemán de Normalización. Esta entidad que surgió en 1917 es la encargada de dictar los estándares o normas técnicas en Alemania. Dichas normas tienen como finalidad exclusiva asegurar y garantizar la calidad de aquello que se quiere normalizar, en este caso el tamaño del papel. Aunque quizás pienses que la normativa DIN sólo hace referencia al formato del papel, lo cierto es que existen y puedes encontrar aproximadamente 30.000 normativas DIN en este 2016 según archivo.

Fue el ingeniero berlinés Walter Porstmann quien estableció hacia el año 1922 las medidas DIN A a partir de la incorporación de la normativa DIN 476. El propósito era estandarizar de alguna manera los diferentes formatos de papel o página para aprovechar el máximo de papel y que hubiera el mínimo desperdicio posible. Dentro de la misma normativa DIN 476 encontramos la serie A, donde se definen precisamente estas medidas. Junto a la serie A también existen otras cuatro plantillas B, C, D y E y cada una de ellas contiene una numeración de varios tamaños: 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Las medidas DIN A parten de un formato referente que es el A0. El resto de formatos y series se calculan siempre a partir de éste.

En la serie A, al tamaño de papel de 1 m² se le llama A0. Las divisiones posteriores que disminuyen la superficie a la mitad, reciben el nombre de A1, A2, A3, A4, etc. Lo que en realidad está indicando la numeración asociada a la letra A es la cantidad de cortes a la mitad desde la hoja original. Así por ejemplo, una hoja tamaño A4 tiene una superficie igual a la mitad de una hoja medida A3.

Cuando se corta por la mitad una hoja en tamaño A0 (1 m²), el lado más corto se convierte en la parte más larga de la hoja resultante (A1). Por tanto, si cortamos cualquier hoja de la serie a la mitad de su lado más largo, obtendremos siempre dos hojas del tamaño siguiente, que al mismo tiempo mantienen perfectamente las proporciones entre el ancho y el largo, siendo la razón de proporcionalidad igual a la raíz cuadrada de 2. Es decir, para cualquier formato DIN A, si dividimos el largo entre el ancho, nos dará (aproximadamente) 1,4142.

Puedes hacer la prueba: Mide el ancho y largo de una hoja tamaño DIN A4 y verás que se cumple la proporción; dóblala por el lado más largo y pártela por la mitad, mide el ancho y el largo de una de las mitades, divide las dos cifras y verás que se sigue cumpliendo: 1,4142.

Veamos la demostración:

wikipedia.es

Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:

$\cfrac{b}{a} = \cfrac{2a}{b}$

Esto es:

$\cfrac{b^2}{a^2} = 2 \rightarrow \quad \left ( {\cfrac{b}{a}} \right ) ^2 = 2 \rightarrow \quad \cfrac{b}{a} =\sqrt{2} \rightarrow \quad b = \sqrt{2} \cdot a$

Si la proporción entre el lado mayor y menor es raíz de dos, cortando un formato en dos iguales esta proporción se conserva.

Si el formato A0 tiene una superficie de un metro cuadrado, tendremos:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1m^2 \\ \\ b = \sqrt{2} \cdot a \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad a \cdot (\sqrt{2} \cdot a) = 1m^2 \rightarrow \quad \sqrt{2} \cdot a^2 = 1m^2 \rightarrow$

$a^2 = \cfrac{1m^2}{\sqrt{2}} \rightarrow \quad a = \sqrt{\cfrac{1m^2}{\sqrt{2}}} = \cfrac{1m}{\sqrt[4]{2}} = \cfrac{1}{1,189} \; m = 0,841 \; m$

Sabiendo el valor de a el cálculo de b es inmediato:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1 m^2 \\ \\ a = 0,841 m \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad (0,841 m) \cdot b = 1 m^2 \rightarrow \quad b = \cfrac{1 m^2}{0,841 m} = 1,189 m$

Lo que podemos resumir como regla mnemotécnica que el formato DIN A0, tiene por medidas:

$DIN \; A0 \quad \left \{ \begin{matrix} ancho = \cfrac{1}{\sqrt[4]{2}} \; m \\ \\ largo = \sqrt[4]{2} \; m \end{matrix} \right .$

Dividiendo el lado mayor entre dos, obtendremos sucesivamente los distintos formatos A1, A2, A3, A4 ...

Exraido de: blog.imprentaonline24.es y wikipedia.es

De forma más general:

Proposición

Si $p\;$ es un número primo, entonces el número $\sqrt{p} \,$ no es racional.

Demostración:

La demostración es análoga a la de que raíz de 2 es irracional.

Lo haremos, igualmente, "por reducción al absurdo". Supondremos que $\sqrt{p} \,$ es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.

Por tanto, supongamos que $\sqrt{p} \,$ es racional, o sea, que existe una fracción que es igual a $\sqrt{p} \,$ .

$\cfrac {a}{b}=\sqrt{p} \, , \quad a, b \in \mathbb{Z}$

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

$\cfrac {a^2}{b^2}=p$

Multiplicamos por $b^2\;\!$ los dos miembros de la igualdad:

$a^2=p \cdot b^2$ [1]

Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces.

Como $b^2\;\!$ es un cuadrado perfecto, el factor $p\;$ o no aparece o lo hace un número par de veces. Entonces, por la expresión [1], el factor primo $p\;$ aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto $a^2\;\!$ , lo cual no es posible.

Ya hemos llegado al absurdo.

Irracionalidad de la raíz de un número primo (12´06") Sinopsis:

Videotutorial con otra demostración de la irracionalidad de la raíz de un número primo.

De forma más general, tenemos el siguiente resultado:

Proposición

Si $p\;$ no es una potencia n-ésima exacta, entonces el número $\sqrt[n]{p} \,$ no es racional.

Demostración:

La demostración sería análoga a las de las proposiciones anteriores.

A estos números que no son racionales, que los griegos llamaron inconmensurables, los llamaremos números irracionales.

Los matemáticos griegos posteriores estudiaron además de estos irracionales sencillos, otros cada vez más complicados, encontrándose tipos como raíz cuadrada de (raíz cuadrada de a + raíz cuadrada de b) y otros semejantes, pero nunca llegaron a tener la idea general de número irracional. Esta idea aparece ya bien entrado el siglo S. XVI, al considerar la idea de un número decimal aperiódico, esto es, un número decimal cuyas cifras se sucedían de manera indefinida sin obedecer a ley alguna determinada.

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Definición

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra $\mathbb{I}$ .

Advertencia:

No existe una notación universal para representar al conjunto de los números irracionales, aunque la letra $\mathbb{I}$ es generalmente aceptada. Una de las razones es que el conjunto de números irracionales no constituye estructura algebraica alguna, como ocurre con los naturales ( $\mathbb{N}$ ), los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ), los reales ( $\R$ ) y los complejos ( $\mathbb{C}$ ). Por otro lado, está el hecho de que la $\mathbb{I}$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios, lo cual puede crear confusión.

Ejemplos:

Son números irracionales:

La raíces cuadradas no exactas de números enteros como $\sqrt{2} \ , \sqrt{5} \ , \sqrt{7} \, \cdots$
Número famosos como el número pi, el número e o el número de oro $Φ$ :

$\pi=3.141592654..., e=2.718281..., \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...$

Números con un patrón que no sea periódico: 5,123456789101112..., 8,12112111211112...

Números irracionales

Tutorial (4´57") Sinopsis:

Aquí se habla un poco sobre algunos números extraños. Aunque no son tan extraños tampoco.

Ejercicio 1 (1´44") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

$\cfrac{\sqrt{8}}{2} \ ; \ \pi \ ; \ 5.0 \ ; \ 0.325 \ ; \ 7.7777... \ ; \ 8 \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$

Ejercicio 2 (4´05") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

$9+\sqrt{45} \ ; \ \cfrac{\sqrt{45}}{3\sqrt{5}} \ ; \ 3\sqrt{9}$

Números irracionales

Actividad Descripción:

Actividades sobre números irracionales.

Autoevaluación Descripción:

Clasifica en números racionales o irracionales.

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Números irracionales famosos

El número áureo, Phi:

El número áureo ( $\phi\;$ )

¿Es divina la sección áurea? (5'06") Sinopsis:

¡Phi! El número dorado, la proporción divina... ¿Qué hace de éste número algo tan interesante? ¿Es cierto la sección áurea esconde el secreto del universo y la naturaleza? ¿Es mágica la proporción áurea?

El número áureo (18´) Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Actividades

La divina proporción: el número phi (6') Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número áureo y el cuerpo humano (1'54") Sinopsis:

La proporción áurea en el mundo que nos rodea y en el cuerpo humano como símbolo de belleza.

Phi, el número de oro Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

Para más información ver: El número áureo

El número Pi:

El número Pi ( $\pi\;$ )

¿Qué es Pi? (4'24") Sinopsis:

El número Pi

Historias de pi (25´) Sinopsis:

Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es "pi" ( $π = 3,141592...$ ). La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está intimamente ligada al número pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número. Pero el verdadero padre de pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo. Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de pi aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados.Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.

Actividades

¿Cómo medir Pi? (5'45") Sinopsis:

Distintas formas de obtener aproximaciones del número pi.

Einstein, los rios y el número pi (3'09") Sinopsis:

¿Qué relación hay entre Albert Einstein, los ríos y el famoso número Pi? Hoy en Derivando te lo vamos a explicar. ¡Ah! Y te recomendamos ver este vídeo mientras tomas una taza de té, ya verá cómo lo entiendes mejor.

¿Podemos encontrar El Quijote en los decimales del número Pi? (5'01") Sinopsis:

Una de las constantes matemáticas más importantes que genera fascinantes problemas: el número Pi.

Un truco para aprenderse los 20 primeros dígitos de Pi (3'01") Sinopsis:

Curiosidades de Pi y cómo aprenderse sus decimales.

El número e:

El número e

¿Qué es el número e? (4'12") Sinopsis:

¿Qué tiene el número Pi que no tenga e?

Te explicamos uno de los más importantes números reales irracionales y trascendentes, base de los logaritmos neperianos.

Un número llamado e (13') Sinopsis:

Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.

Actividades

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Propiedades

Propiedades

La suma de un racional y un irracional es otro irracional

El producto de un racional por un irracional es otro irracional.

Existe al menos un irracional entre cualesquiera dos racionales.

Demostración:

La suma de un racional y un irracional es otro irracional (6´51") Sinopsis:

La demostración, en este videotutorial.

El producto de un racional por un irracional es otro irracional (5´23") Sinopsis:

La demostración, en este videotutorial.

Existe al menos un irracional entre cualesquiera dos racionales (7´48") Sinopsis:

La demostración, en este videotutorial.

Ejercicios (10´47") Sinopsis:

Ejercicios sobre las propiedades de las operaciones con números irracionales.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios sobre las propiedades de las operaciones con números irracionales.

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Representación gráfica de números irracionales

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

Representación gráfica de números irracionales

Representación de la raíz de 2 Descripción:

Observa en la escena la representación de $\sqrt{2}$ .

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Representación de otras raíces cuadradas Descripción:

Observa en la escena la representación de otras raices cuadradas.

Pulsando sobre el control pasos puedes observar cómo se representa la raíz cuadrada de cualquier número entero.
Representa en tu cuaderno la raíz de 3 y la raíz de 5.
Pulsando el control decimales puedes obtener el número de ellos que desees.
Utiliza el botón Limpiar si quieres ver con más claridad la representación de algún número.

Representación de raíces cuadradas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan gráficamente los números del tipo $\sqrt{n},~n \in \mathbb{N}$ .

Representación gráfica de raíces cuadradas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan gráficamente algunas raíces cuadradas.

Autoevaluación: Representación gráfica de números irracionales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre representación gráfica de números irracionales.

Construcción del número de oro Descripción:

En la escena puedes ver la construcción del número de oro basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclides (siglo III a.C.).

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:

Construcción con regla y compás de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo.

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Números reales

El conjunto de los números reales es el formado por la unión de los números racionales y de los números irracionales y se designa por $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

$\mbox{Reales } (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales }(\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros } (\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\ \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2} \end{cases}$

El conjunto de los números reales

_{de portaleduativo.net}

Números reales

Tutorial 1: Clasificación de los números reales (10'51") Sinopsis:

Números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Ejemplos.

Tutorial 2: Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos (33'01") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber sobre los distintos tipos de números reales (naturales, enteros, racionales e irraciones). Tutorial que explica de forma matemática y no tan matemática los conjuntos numéricos y como han ido surgiendo en demanda a las necesidades a la hora de poder resolver problemas aritméticos.

Tutorial 3: Números racionales e irracionales (8'58") Sinopsis:

Introducción a números racionales e irracionales.

Ejercicio (1'44") Sinopsis:

Clasifica en racionales e irracionales los siguientes números:

$\cfrac{\sqrt{8}}{2} \, , \, \pi \, , \, 5.0 \, , \, 0.325 \, , \, 7.\hat{7} \, , \, 8\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$

Números reales

Actividad 1 Descripción:

Clasificación de números reales.

Actividad 2 Descripción:

Escena en la que se resume los distintos tipos de conjuntos nunéricos vistos hasta ahora.

Autoevaluación 1 Descripción:

Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Indica a que conjuntos de números pertenece un número dado.

Pulsa el botón "Ejercicio" para generar un ejercicio. Te dan un número y debes decir todos los conjuntos a los que pertenece. Luego pulsa el botón "Solución" para ver si lo has hecho bien.

Copia los ejercicios que hagas en tu cuaderno.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números reales.

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