Números reales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos
2 Los números reales
- 2.1 La recta real
- 2.2 Representación gráfica de números reales en la recta real
3 Intervalos de la recta real
4 Valor absoluto de un número real
5 Distancia
6 Entornos
7 Ejercicios propuestos

"Dios creó los números naturales, lo demás es obra de los hombres."

L. Kronecker

(pág. 32)

Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos

Recordemos las sucesivas ampliaciones de los conjuntos númericos que se han estudiado en cursos anteriores:

Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Advertencia:

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero (0) puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de las matemáticas, el conjunto de los números naturales puede incluir o no al cero.

Ejemplos

Veamos distintos ejemplos de uso de los números naturales:

Como número cardinal: Los días de la semana son 7.
Como número ordinal: El atleta británico quedó 3º en la prueba de cien metros lisos.
Como identificador: Tú número de carnet de socio del Atleti es el 2868.

Los números naturales

Tutorial 1 (3'08") Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 2 (4'56") Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 3 (4'19") Sinopsis:

Tutorial de introducción al tema:

Números naturales.
Sistemas de numeración.
Sistema de numeración decimal.

Acertijo (2'06") Sinopsis:

Hace unas horas tenía 16 años y el año que viene cumpliré 19. ¿Cómo explicas esta situación?

Los números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números naturales.

¿Qué números aparecieron primero, los cardinales o los ordinales?

Existen dos teorías sobre el origen de la numeración, que además está relacionada con la cuestión de qué números aparecieron primero, los cardinales (1, 2, 3,...) o los ordinales (1º, 2º, 3º,...) La teoría que genera más consenso defiende el argumento de la necesidad. Todo habría comenzado a causa de la necesidad de contar objetos; por ello se habrían creado primero los números cardinales y después, los ordinales.

La otra teoría defiende la base espiritual de los números, que habrían tenido un uso ritual: cierto tipo de ceremonias requerían que los participantes se desplazaran o se situaran en un orden ritual preestablecido; por eso los números ordinales serían anteriores a los cardinales. Esta teoría además postula que los números se originaron en un lugar geográfico determinado, desde el que se propagaron al resto del mundo; también establece la división de los números naturales en pares e impares, considerando los impares masculinos y los pares, femeninos, una clasificación que comparten hoy en día muchas culturas del planeta.

(Extracto de "El mundo es matemático: Del ábaco a la revolución industrial". Pág. 10)"

El género de los números y otras curiosidades

Véanse los artículos de la BBC:

La facultad de abstracción. Historia del cero (2'42") Sinopsis:

Toda abstracción es en sí misma una fuente de contradicciones: su depuración es larga y difícil, pues las ideas siempre tardan en madurar.

Prohibido dividir por cero (5'58") Sinopsis:

Todo cociente de números cuyo denominador sea 0 carece de sentido matemático. De otro modo: si se admite la división por "cero" es el caos, pues entonces 2 = 1. Por eso,si divides por cero, aunque sea sin darte cuenta, serás fusilado de inmediato y expulsado de la comunidad científica por los siglos de los siglos.

Este conjunto es insuficiente si queremos dar solución a ecuaciones como:

$x+3=1\;$

Se precisa de un conjunto más amplio que incluya a los números negativos, el conjunto de los números enteros.

Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. Nos vemos obligados a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros

$\mathbb{Z}=\left \lbrace -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Está formado por:

El conjunto de los números naturales o enteros positivos : $\mathbb{Z}^+=\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$ .
Sus opuestos, los enteros negativos: $\mathbb{Z}^-=\left \lbrace \cdots, -1 ,\ -2,\ -3, \cdots \right \rbrace$ .
El cero (0).

Como consecuencia, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ , que se lee: "el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros".

Números naturales, números enteros y la recta numérica

Tutorial 1 (3'24") Sinopsis:

Los números enteros: utilidad y definición.

Tutorial 2 (3'37") Sinopsis:

Los números enteros: utilidad y definición.

Tutorial 3a (10'19") Sinopsis:

En este video vamos a ver lo que son los números enteros y también las clases de números enteros que hay, es decir, números enteros positivos y números enteros negativos, además del cero.

Tutorial 3b (5'03") Sinopsis:

El conjunto de los números enteros. El subconjunto de los números enteros positivos, el de los negativos y el cero. Representación y notación.

Tutorial 4 (5'48") Sinopsis:

El conjunto de los números enteros. Utilidad. Representación y operaciones en la recta numérica.

Tutorial 5 (8'58") Sinopsis:

Las criaturas o entes llamados números no exixten realmente: nadie ha visto jamás un número, ya sea famoso (como el representado por el símolo 5 y llamado cinco) o no. Los números sólo exixten a la luz de la inteligencia humana. Existen en la medida en que nos son útiles. Los Números Naturales son todos enteros y positivos. Son muy útiles para contar, pero tienen sus limitaciones, de manera que hubo que inventar otro tipo de números...

Tutorial 6 (10'58") Sinopsis:

Number systems evolved from the natural "counting" numbers, to whole numbers (with the addition of zero), to integers (with the addition of negative numbers), and beyond. These number systems are easily understood using the number line.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Tutorial 7 (4'13") Sinopsis:

Utilidad de números negativos en la vida real. El conjunto de los números enteros. Representación en la recta numérica.

Este conjunto también se nos queda chico. Por ejemplo, la ecuación

$3x=2\;$

no tiene solución en el conjunto de los números enteros ya que requiere números fraccionarios. Es necesaria la ampliación al conjunto de los números racionales.

Números racionales

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

$\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace$

Estos números, o bien son enteros, o bien se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.

Pero, ¿qué ocurre si queremos resolver la siguiente ecuación?:

$x^2=2\;$

La respuesta la tienes en el siguiente resultado:

Proposición

No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número $\sqrt{2} \,$ no es racional.

Demostración:

Demostración:

Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que $\sqrt{2} \,$ es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.

Por tanto, supongamos que $\sqrt{2} \,$ es racional, o sea, que existe una fracción que es igual a $\sqrt{2} \,$ .

$\cfrac {a}{b}=\sqrt{2} \, , \quad a, b \in \mathbb{Z}$

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

$\cfrac {a^2}{b^2}=2$

Multiplicamos por $b^2\;\!$ los dos miembros de la igualdad:

$a^2=2 \cdot b^2$ [1]

Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces.

Como $b^2\;\!$ es un cuadrado perfecto, el factor 2 o no aparece o lo hace un número par de veces. Entonces, por la expresión [1], el factor 2 aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto $a^2\;\!$ , lo cual no es posible.

Ya hemos llegado al absurdo.

Tambián puedes ver la demostración en el siguiente videotutorial:

Demostración de la irracionalidad de la raíz de 2 (11´57") Sinopsis:

Videotutorial con otra demostración de la irracionalidad de la raíz de 2.

Demostración con un poco de historia. (4´09") Sinopsis:

Videotutorial con la misma demostración que el video e Khan, pero más rápida y con un poco de historia.

Un número secreto (2´49") Sinopsis:

Una breve historia de un número cuyo cuadrado es 2.

El formato DIN A4 y la raíz de 2 (4´40") Sinopsis:

¡La de matemáticas que hay en un folio! ¿Sabes de dónde proviene el formato de hojas A4?.

El formarto DIN A:

blog.imprentaonline24.es

No es necesario estar vinculado al sector de las Artes Gráficas o al mundo del diseño para estar en contacto diario con el sistema de clasificación o medidas de papel DIN A. Seguramente si alguna vez habrás tenido que imprimir un documento o imagen en un tamaño en concreto. Y en algún momento nos hemos preguntado si nuestra impresora podría tolerar ese tamaño de impresión. Estamos habituados a escuchar que si tal o cual formato está en A4, A3, A5, etc. ¿pero de qué manera funcionan todos? ¿cuál es su origen y sus utilidades? A continuación respondemos a estas preguntas.

DIN no es más que un acrónimo que significa Deutches Institut für Normung, que traducido significa Instituto Alemán de Normalización. Esta entidad que surgió en 1917 es la encargada de dictar los estándares o normas técnicas en Alemania. Dichas normas tienen como finalidad exclusiva asegurar y garantizar la calidad de aquello que se quiere normalizar, en este caso el tamaño del papel. Aunque quizás pienses que la normativa DIN sólo hace referencia al formato del papel, lo cierto es que existen y puedes encontrar aproximadamente 30.000 normativas DIN en este 2016 según archivo.

Fue el ingeniero berlinés Walter Porstmann quien estableció hacia el año 1922 las medidas DIN A a partir de la incorporación de la normativa DIN 476. El propósito era estandarizar de alguna manera los diferentes formatos de papel o página para aprovechar el máximo de papel y que hubiera el mínimo desperdicio posible. Dentro de la misma normativa DIN 476 encontramos la serie A, donde se definen precisamente estas medidas. Junto a la serie A también existen otras cuatro plantillas B, C, D y E y cada una de ellas contiene una numeración de varios tamaños: 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Las medidas DIN A parten de un formato referente que es el A0. El resto de formatos y series se calculan siempre a partir de éste.

En la serie A, al tamaño de papel de 1 m² se le llama A0. Las divisiones posteriores que disminuyen la superficie a la mitad, reciben el nombre de A1, A2, A3, A4, etc. Lo que en realidad está indicando la numeración asociada a la letra A es la cantidad de cortes a la mitad desde la hoja original. Así por ejemplo, una hoja tamaño A4 tiene una superficie igual a la mitad de una hoja medida A3.

Cuando se corta por la mitad una hoja en tamaño A0 (1 m²), el lado más corto se convierte en la parte más larga de la hoja resultante (A1). Por tanto, si cortamos cualquier hoja de la serie a la mitad de su lado más largo, obtendremos siempre dos hojas del tamaño siguiente, que al mismo tiempo mantienen perfectamente las proporciones entre el ancho y el largo, siendo la razón de proporcionalidad igual a la raíz cuadrada de 2. Es decir, para cualquier formato DIN A, si dividimos el largo entre el ancho, nos dará (aproximadamente) 1,4142.

Puedes hacer la prueba: Mide el ancho y largo de una hoja tamaño DIN A4 y verás que se cumple la proporción; dóblala por el lado más largo y pártela por la mitad, mide el ancho y el largo de una de las mitades, divide las dos cifras y verás que se sigue cumpliendo: 1,4142.

Veamos la demostración:

wikipedia.es

Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:

$\cfrac{b}{a} = \cfrac{2a}{b}$

Esto es:

$\cfrac{b^2}{a^2} = 2 \rightarrow \quad \left ( {\cfrac{b}{a}} \right ) ^2 = 2 \rightarrow \quad \cfrac{b}{a} =\sqrt{2} \rightarrow \quad b = \sqrt{2} \cdot a$

Si la proporción entre el lado mayor y menor es raíz de dos, cortando un formato en dos iguales esta proporción se conserva.

Si el formato A0 tiene una superficie de un metro cuadrado, tendremos:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1m^2 \\ \\ b = \sqrt{2} \cdot a \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad a \cdot (\sqrt{2} \cdot a) = 1m^2 \rightarrow \quad \sqrt{2} \cdot a^2 = 1m^2 \rightarrow$

$a^2 = \cfrac{1m^2}{\sqrt{2}} \rightarrow \quad a = \sqrt{\cfrac{1m^2}{\sqrt{2}}} = \cfrac{1m}{\sqrt[4]{2}} = \cfrac{1}{1,189} \; m = 0,841 \; m$

Sabiendo el valor de a el cálculo de b es inmediato:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1 m^2 \\ \\ a = 0,841 m \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad (0,841 m) \cdot b = 1 m^2 \rightarrow \quad b = \cfrac{1 m^2}{0,841 m} = 1,189 m$

Lo que podemos resumir como regla mnemotécnica que el formato DIN A0, tiene por medidas:

$DIN \; A0 \quad \left \{ \begin{matrix} ancho = \cfrac{1}{\sqrt[4]{2}} \; m \\ \\ largo = \sqrt[4]{2} \; m \end{matrix} \right .$

Dividiendo el lado mayor entre dos, obtendremos sucesivamente los distintos formatos A1, A2, A3, A4 ...

Exraido de: blog.imprentaonline24.es y wikipedia.es

De forma más general:

Proposición

Si $p\;$ es un número primo, entonces el número $\sqrt{p} \,$ no es racional.

Demostración:

La demostración es análoga a la de que raíz de 2 es irracional.

Lo haremos, igualmente, "por reducción al absurdo". Supondremos que $\sqrt{p} \,$ es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.

Por tanto, supongamos que $\sqrt{p} \,$ es racional, o sea, que existe una fracción que es igual a $\sqrt{p} \,$ .

$\cfrac {a}{b}=\sqrt{p} \, , \quad a, b \in \mathbb{Z}$

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

$\cfrac {a^2}{b^2}=p$

Multiplicamos por $b^2\;\!$ los dos miembros de la igualdad:

$a^2=p \cdot b^2$ [1]

Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces.

Como $b^2\;\!$ es un cuadrado perfecto, el factor $p\;$ o no aparece o lo hace un número par de veces. Entonces, por la expresión [1], el factor primo $p\;$ aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto $a^2\;\!$ , lo cual no es posible.

Ya hemos llegado al absurdo.

Irracionalidad de la raíz de un número primo (12´06") Sinopsis:

Videotutorial con otra demostración de la irracionalidad de la raíz de un número primo.

Propiedades

La suma de un racional y un irracional es otro irracional

El producto de un racional por un irracional es otro irracional.

Existe al menos un irracional entre cualesquiera dos racionales.

Demostración:

La suma de un racional y un irracional es otro irracional (6´51") Sinopsis:

La demostración, en este videotutorial.

El producto de un racional por un irracional es otro irracional (5´23") Sinopsis:

La demostración, en este videotutorial.

Existe al menos un irracional entre cualesquiera dos racionales (7´48") Sinopsis:

La demostración, en este videotutorial.

Surge, por tanto, la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales, añadiendole estos nuevos números que llamaremos irracionales

Números irracionales

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra $\mathbb{I}$ .

Advertencia:

No existe una notación universal para representar al conjunto de los números irracionales, aunque la letra $\mathbb{I}$ es generalmente aceptada. Una de las razones es que el conjunto de números irracionales no constituye estructura algebraica alguna, como ocurre con los naturales ( $\mathbb{N}$ ), los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ), los reales ( $\R$ ) y los complejos ( $\mathbb{C}$ ). Por otro lado, está el hecho de que la $\mathbb{I}$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios, lo cual puede crear confusión.

Ejemplos:

Son números irracionales:

La raíces cuadradas no exactas de números enteros como $\sqrt{2} \ , \sqrt{5} \ , \sqrt{7} \, \cdots$
Número famosos como el número pi, el número e o el número de oro $Φ$ :

$\pi=3.141592654..., e=2.718281..., \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...$

Números con un patrón que no sea periódico: 5,123456789101112..., 8,12112111211112...

Números irracionales

Tutorial (4´57") Sinopsis:

Aquí se habla un poco sobre algunos números extraños. Aunque no son tan extraños tampoco.

Ejercicio 1 (1´44") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

$\cfrac{\sqrt{8}}{2} \ ; \ \pi \ ; \ 5.0 \ ; \ 0.325 \ ; \ 7.7777... \ ; \ 8 \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$

Ejercicio 2 (4´05") Sinopsis:

¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

$9+\sqrt{45} \ ; \ \cfrac{\sqrt{45}}{3\sqrt{5}} \ ; \ 3\sqrt{9}$

Números irracionales

Actividad Descripción:

Actividades sobre números irracionales.

Autoevaluación Descripción:

Clasifica en números racionales o irracionales.

Números irracionales famosos

El número áureo, Phi:

El número áureo ( $\phi\;$ )

¿Es divina la sección áurea? (5'06") Sinopsis:

¡Phi! El número dorado, la proporción divina... ¿Qué hace de éste número algo tan interesante? ¿Es cierto la sección áurea esconde el secreto del universo y la naturaleza? ¿Es mágica la proporción áurea?

El número áureo (18´) Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Actividades

La divina proporción: el número phi (6') Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número áureo y el cuerpo humano (1'54") Sinopsis:

La proporción áurea en el mundo que nos rodea y en el cuerpo humano como símbolo de belleza.

Phi, el número de oro Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

Para más información ver: El número áureo

El número Pi:

El número Pi ( $\pi\;$ )

¿Qué es Pi? (4'24") Sinopsis:

El número Pi

Historias de pi (25´) Sinopsis:

Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es "pi" ( $π = 3,141592...$ ). La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está intimamente ligada al número pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número. Pero el verdadero padre de pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo. Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de pi aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados.Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.

Actividades

¿Cómo medir Pi? (5'45") Sinopsis:

Distintas formas de obtener aproximaciones del número pi.

Einstein, los rios y el número pi (3'09") Sinopsis:

¿Qué relación hay entre Albert Einstein, los ríos y el famoso número Pi? Hoy en Derivando te lo vamos a explicar. ¡Ah! Y te recomendamos ver este vídeo mientras tomas una taza de té, ya verá cómo lo entiendes mejor.

¿Podemos encontrar El Quijote en los decimales del número Pi? (5'01") Sinopsis:

Una de las constantes matemáticas más importantes que genera fascinantes problemas: el número Pi.

Un truco para aprenderse los 20 primeros dígitos de Pi (3'01") Sinopsis:

Curiosidades de Pi y cómo aprenderse sus decimales.

El número e:

El número e

¿Qué es el número e? (4'12") Sinopsis:

¿Qué tiene el número Pi que no tenga e?

Te explicamos uno de los más importantes números reales irracionales y trascendentes, base de los logaritmos neperianos.

Un número llamado e (13') Sinopsis:

Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.

Actividades

Los números reales

El conjunto de los números reales es el formado por la unión de los números racionales y de los números irracionales y se designa por $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

$\mbox{Reales } (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales }(\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros } (\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\ \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2} \end{cases}$

El conjunto de los números reales

_{de portaleduativo.net}

Sin embargo, sigue habiendo ecuaciones, algunas tan sencillas como

$x^2+1=0\;$

que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Esto se solucionará por medio de un nuevo conjunto numérico, el de los números complejos.

La recta real

(pág. 32)

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales.

Para su construcción:

Se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen y al que se le asocia el número 0.
Se selecciona una unidad U de longitud para medir distancias que es la que separa los números 0 y 1.
Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto.
A cada número real p se le asocia un punto de la recta que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva o negativa, dependiendo de si el número p es positivo o negativo, respectivamente.

Los números reales. La recta real (16´23") Sinopsis:

El conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales (tienen un número finito de decimales o son periódicos) y del conjunto de los números irracionales (tienen infinitos decimales y no son periódicos). La "visualización" del conjunto de los números reales es la llamada "recta real": a cada número real le corresponde un único "punto" de la "recta real" y viceversa: cada "punto" de la recta real corresponde a un único número real. Por eso, consideraremos sinónimas las palabras "número" y "punto".

Densidad de los números racionales e irracionales

$\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ : Entre cada dos números reales existe un racional, y por tanto hay infnitos.
$\mathbb{I}$ es denso en $\mathbb{R}$ : Entre cada dos números reales existe un irracional, y por tanto hay infnitos.

Completitud de los números reales

Gracias al axioma del supremo o axioma de completitud, el conjunto de los números reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales de manera que a cada punto de la recta le hace corresponder un único número real y viceversa.

La recta real ampliada (8'14") Sinopsis:

Recta real ampliada: conjunto que resulta al añadir los símbolos +∞ y -∞ al conjunto de los reales. Que quede muy claro: +∞ y -∞ no son números, y para todo real "x" es -∞ < x < +∞.

Representación gráfica de números reales en la recta real

En los siguientes ejemplos puedes ver distintos procedimientos de representación, dependiendo de cómo sea el número real que queramos representar:

Ejemplos

Entero o decimal exacto: Vamos intentar representar un número al azar, el 3,24 por ejemplo, buscamos el 3,2 primero, "ampliamos" buscamos el 3,24 y marcamos.

Decimal periódico: Hacemos con la regla una recta oblicua a la primera y que mida un múltiplo del denominador dividimos esta nueva recta en tantas partes como indique el denominador (si el denominador es 6 dividimos en siete partes), unimos sus extremos y trazamos las paralelas.

Radical cuadrático: Podemos representar un radical cuadrático teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras. En el ejemplo, se muestra como se ha representado $\sqrt{13}$

Resto de irracionales: En este caso se toma su expresión aproximada decimal y se afina tanto como se quiera empleando el método mostrado en decimales exactos.

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

Representación gráfica de números irracionales

Representación de la raíz de 2 Descripción:

Observa en la escena la representación de $\sqrt{2}$ .

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Representación de otras raíces cuadradas Descripción:

Observa en la escena la representación de otras raices cuadradas.

Pulsando sobre el control pasos puedes observar cómo se representa la raíz cuadrada de cualquier número entero.
Representa en tu cuaderno la raíz de 3 y la raíz de 5.
Pulsando el control decimales puedes obtener el número de ellos que desees.
Utiliza el botón Limpiar si quieres ver con más claridad la representación de algún número.

Representación de raíces cuadradas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan gráficamente los números del tipo $\sqrt{n},~n \in \mathbb{N}$ .

Representación gráfica de raíces cuadradas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan gráficamente algunas raíces cuadradas.

Autoevaluación: Representación gráfica de números irracionales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre representación gráfica de números irracionales.

Construcción del número de oro Descripción:

En la escena puedes ver la construcción del número de oro basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclides (siglo III a.C.).

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:

Construcción con regla y compás de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo.

Números reales

Actividad: Números reales

a) Representa los números $0,\ 1,\ 5,\ \phi,\ \pi$ en la recta numérica.

b) ¿Es -5 un número entero?

c) ¿Es 5/3 un número racional?

d) ¿Es pi un numero irracional?

e) ¿Cual es el valor del número de oro?

f) Resuelve la ecuación $x^2-x-1=0\;$

g) ¿Recuerdas cómo se escribe 75 en números romanos?

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) number line 0, 1, 5, golden number, pi

b) is -5 an integer?

c) is 5/3 a rational number?

d) Is pi an irrational number?

e) golden number

f) solve x^2-x-1=0, o bien, solve x^2-x-1=0 over the reals

g) 75 in roman numerals

Ejercicios: Números reales

1. Obtén el valor del número áureo $\phi \,$ teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones $\phi :1 \,$ es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado de lado 1. (Ver fig.1)

Fig.1 Rectángulo áureo

2. Sitúa los siguientes números en el diagrama (Ver fig.2):

$\sqrt{3}, \, 5, \, -2, \, 4.5, \, 7.\widehat{3}, \, -\sqrt[3]{6}, \, \sqrt{64}, \, \sqrt[3]{-27}, \, \sqrt{-8}$

Fig.2

Intervalos de la recta real

(pág. 33)

Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura que debes conocer:

NOMBRE	SIMBOLO	SIGNIFICADO
Intervalo abierto	$(a, b)\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a<x<b \right \}$ Números comprendidos entre a y b.
Intervalo cerrado	$[a, b]\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x \le b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, ambos incluidos.
Intervalo semiabierto	$(a, b]\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a<x \le b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, b incluido.
Intervalo semiabierto	$[a, b)\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x<b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, a incluido.
Semirrecta	$( - \infty , a)\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x<a \right \}$ Números menores que a.
	$( - \infty , a]\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \le a \right \}$ Números menores o iguales que a.
	$( a, + \infty )\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a < x \right \}$ Números mayores que a.
	$[ a, + \infty )\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x \right \}$ Números mayores o iguales que a.

La recta real se representa en forma de intervalo: $\mathbb{R}=( - \infty, + \infty )$

Intervalos de la recta real

Tutorial 1 (10'23") Sinopsis:

Intervalos: Tipos y representación.

Tutorial 2 (7'06") Sinopsis:

En este vídeo introducimos los conceptos de intervalo abierto (a;b), intervalo cerrado [a;b], intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha (a;b], intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha [a;b). También hablamos de la amplitud de un intervalo y de los intervalos de amplitud infinita, llamados "no acotados". Ejemplos.

Tutorial 3 (26'35") Sinopsis:

Intervalos: Definición y clasificación

Operaciones con intervalos

Tutorial (20'36") Sinopsis:

Unión, intersección, diferencia y complemento de un intervalo

Unión de intervalos (6'07") Sinopsis:

Unión de intervalos. Ejemplos.

Intersección de intervalos (6'20") Sinopsis:

Intersección de intervalos. Ejemplos.

Intevalos y semirrectas

Intervalos y semirrectas Descripción:

Actividades sobre intervalos y semirrectas.

Desigualdades Descripción:

Interpretación gráfica del conjunto solución de una desigualdad.

Autoevaluación 1: Desigualdades Descripción:

Autoevaluación sobre la interpretación gráfica del conjunto solución de una desigualdad.

Intervalos I Descripción:

Expresión de conjuntos numéricos en forma de intervalos.

Autoevaluación 2: Intervalos I Descripción:

Autoevaluación sobre la expresión de conjuntos numéricos en forma de intervalos.

Intervalos II Descripción:

Expresión de conjuntos numéricos en forma de intervalos.

Autoevaluación 3: Intervalos II Descripción:

Autoevaluación sobre la expresión de conjuntos numéricos en forma de intervalos.

Autoevaluación 4: Intervalos Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre intervalos de números reales.

Autoevaluación 5: Semirrectas Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre semirrectas.

Intervalos y semirrectas

Actividad: Intervalos y semirrectas

Representa:

a) $[-3,+\infty) \;$

b) $0<x<=5 \;$

c) $(-\infty,7],\ [-8,9),\ [-4,7] \;$

d) $\{ x \in \mathbb{R}~ / ~x^2<9 \} \;$

e) $\{ x \in \mathbb{R}~ / ~x^3-5x^2+6x \le 0 \} \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) [-3,+oo[

b) draw 0<x<=5

c) ]-oo,7],[-8,9[,[-4,7]

d) x^2<9, o bien, solve x^2<9

e) x^3-5x^2+6x<=0

Ejercicios resueltos: Intervalos y semirrectas

1. Representar los siguientes conjuntos numéricos:

a) Números mayores que 3.

b) $\left \{ x \in \mathbb{R} \ / 2 \le x<5 \right \}$

c) $\left \{ x \in \mathbb{R} \ / 3 \le x \le 7 \right \}$

d) Números menores que 1 excluyendo el 0.

e) $\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x^2 \ge 4 \right \} = \left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \le 2 \right \} \cup \left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \ge 2 \right \}$

Solución:

a) $\left ( 3, +\infty \right )$

b) $[ 2, 5 )\;$

c) $[ 3, 7 ]\;$

d) $( -\infty, 1 ) - \left \{ 0 \right \} = (-\infty, 0) \cup (0,1)$

e) $( -\infty, -2 ] \cup [ 2 , +\infty ]$

Valor absoluto de un número real

(pág. 32)

El valor absoluto o módulo de un número real $a\;$ es el propio número $a\;$ , si es positivo o nulo. Y su opuesto, $-a\;$ , si es negativo. Es decir:

$|a| = \begin{cases} \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\ -a\, , & \mbox{si } a < 0 \end{cases}$

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a\;$ corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde $a\;$ hasta el cero.

Ejemplos:

Ejemplos: Valor absoluto

1) Calcula el valor absoluto de los siguientes números: $7.4,~0,~-5.87,~\sqrt{9},~1-\sqrt{3}$

2) ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes expresiones?

a) $|x|=3\;$

b) $|x|=0\;$

c) $|x|=\sqrt{3}\;$

Solución:

$|7.4|=7.4\;$

$|0|=0\;$

$|-5.87|=5.87\;$

$|\sqrt{9}|=|\pm 3|= 3\;$

$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\;$

a) $|x|=3 \iff x=3 \quad \acute{o} \quad x=-3$

b) $|x|=0 \iff x=0$

c) $|x|= \sqrt{3} \iff x= \sqrt{3} \quad \acute{o} \quad x=-\sqrt{3}$

Actividades: Valor absoluto Descripción:

Valor absoluto de un número real. Ejemplos y actividades.

Propiedades del valor absoluto

Propiedades del valor absoluto

1. $|x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0$

2. $\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k$

3. $\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$

4. $\forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k$

5. $|x \cdot y|= |x| \cdot |y|$

6. $\forall n \in \mathbb{N} \, , \, \ |x^n|= |x|^n$

7. $\left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}$

8. $|x^2| = x^2\;$

9. $|x + y| \le |x|+|y|$ (desigualdad triangular)

10. $|x - y| \le |x|+|y|$

11. $|x| - |y| \le |x-y|$

12. $\left| |x| - |y| \right| \le |x-y|$

Valor absoluto de un número real. Propiedades

Tutorial 1 (13´53") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el concepto matemático de valor absoluto de un número real y expresiones sencillas.

00:00 a 03:25: Definición matemática de valor absoluto y ejemplos iniciales.
03:25 a 11:10: Cálculo del valor absoluto de expresiones numéricas sencillas.
11:10 a 13:53: Propiedades del Valor Absoluto.

Tutorial 2 (2´47") Sinopsis:

Definición del valor absoluto de un número.
Ejemplos.
Propiedades del valor absoluto.

Tutorial 3 (8´36") Sinopsis:

Definición del valor absoluto de un número.
Ejemplos.
Propiedades del valor absoluto.

Propiedad nº 3 (demostración) (8´33") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$

Propiedad nº 5 (demostración) (7´38") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x \cdot y|= |x| \cdot |y|$

Propiedad nº 6 (demostración) (2´53") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$\forall n \in \mathbb{N} \, , \, \ |x^n|= |x|^n$

Propiedad nº 7 (demostración) (2´11") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$\left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}$

Propiedad nº 8 (demostración) (3´15") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

No se pudo entender (error de léxico): |x^2\=x^2\;

Propiedad nº 9 (demostración) (12´36") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x + y| \le |x|+|y|$

Propiedad nº 9 (demostración 2) (4´33") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x + y| \le |x|+|y|$

Propiedad nº 9 (demostración 3) (3´22") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x + y| \le |x|+|y|$

Propiedad nº 10 (demostración) (1´43") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x - y| \le |x|+|y|\;$

Propiedad nº 11 (demostración) (1´43") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x|- |y| \le |x-y|\;$

Propiedad nº 12 (demostración) (4´56") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$\left| |x| - |y| \right| \le |x-y|$

Propiedad: La media geométrica es menor que la aritmética (demostración) (7´24") Sinopsis:

Demostración de la propiedad: "La media geométrica es menor que la aritmética"

$0<a<b \rightarrow a< \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2} < b$

Propiedad: Desigualdad triangular generalizada (demostración) (2´35") Sinopsis:

Demostración de la propiedad: "Desigualdad triangular generalizada"

$|x_1+x_2+ \cdots + x_n| \le |x_1|+|x_2|+ \cdots + |x_n|$

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean $x, y, z \in \mathbb{R}$ , se cumplen las siguientes propiedades:

1. $x<y \Rightarrow x+z<y+z$

2. $x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z$

3. $x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z$

4. $x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}$

Como consecuencia, en una inecuación:

Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad? (10'00") Sinopsis:

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad?. Ejemplos.

Ecuaciones con valor absoluto

Procedimiento

Para resolver ecuaciones con valor absoluto utilizaremos la 2ª de las propiedades del valor absoluto, que dice:

$\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k$

Ecuaciones con valor absoluto

Ejercicio 1 (11'54") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|5x-2| = 3\;$

b) $|7x-4|+2 = 0\;$

c) $|6-3x| = |2x+1|\;$

Ejercicio 2 (17'18") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|2x-4|-6 = 0\;$

b) $|3x-2|+5x-6 = 0\;$

c) $7-2x+|3x-3| = 0\;$

Ejercicio 3 (3'13") Sinopsis:

Resuelve:

$|3x+2|+|3-x| = 7\;$

Ejercicio 4 (12'45") Sinopsis:

Resuelve:

$|3x-3|-|2x-6| = 1\;$

Valor absoluto

Actividad: Valor absoluto

Resuelve

a) $|3x-1|=0 \;$

b) $|3x-1|=4 \;$

c) $|x-5|>2 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) $| 3 x - 1 | = 0$

b) $| 3 x - 1 | = 4$

c) $| x - 5 | > 2$

(pág. 33)

Inecuaciones con valor absoluto

Procedimiento

Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:

$\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$

$\forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k$

Ejercicios resueltos: Valor absoluto

¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) $|x| \ge 3\;$

b) $|x-2|\le 3\;$

Solución:

a) $|x| \ge 3 \iff x \le-3 \quad \acute{o} \quad x \ge 3 \iff$

$\iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right )$

b) $|x-2|\le 3 \iff -3 \le x-2 \le 3 \iff -3+2 \le x-2+2 \le 3+2 \iff$

$\iff -1 \le x \le 5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]$

Inecuaciones con valor absoluto

Tutorial 1a (10'39") Sinopsis:

Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos.

Tutorial 1b (12'54") Sinopsis:

Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'36") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|x| \le 2\;$

b) $|x-1| > 3\;$

Ejercicio 2 (4'43") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-2| < 5\;$

Ejercicio 3 (5'02") Sinopsis:

Resuelve: $\left| \cfrac{x-10}{7} \right| \le 5\;$

Ejercicio 4 (5'45") Sinopsis:

Resuelve: $| 8x+1| >3\;$

Ejercicio 5 (4') Sinopsis:

Resuelve: $| x+6| \ge 1;$

Ejercicio 6 (5'21") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-2| < 5\;$

Ejercicio 7 (9'44") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|3x-2| < 4\;$

b) $|-2x+1| < 5\;$

Ejercicio 8 (4'35") Sinopsis:

Resuelve: $|5x-3| \le 12\;$

Ejercicio 9 (5'18") Sinopsis:

Resuelve: $|8-2x| > 2\;$

Ejercicio 10 (7'50") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-4| \ge |x+4|\;$

Ejercicio 11 (5'56") Sinopsis:

Resuelve: $\left| \cfrac{x+1}{x-2} \right| < 1\;$

Actividades

Autoevaluación: Valor absoluto Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre valor absoluto de un número real.

Distancia

Dados dos puntos $x\;$ e $y\;$ de la recta real, se define la distancia de $x\;$ a $y\;$ como el siguiente número real:

$d(x,y)=|x-y|\;$

Distancia entre dos puntos de la recta real

Tutorial 1 (3'31") Sinopsis:

Definición de distancia entre dos puntos de la recta real: $d(x,y)=|x-y|~,~ \forall x, y \in \mathbb{R}$
Ejemplos.

Tutorial 2 (3'23") Sinopsis:

Cálculo de la distancia entre dos puntos de la recta real. Ejemplo

Ejercicio 1 (1'53") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos $x_1=-2\;$ y $x_2=1\;$ .

Ejercicio 2 (2'55") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos $x_1=-6\;$ y $x_2=-\cfrac{7}{2}\;$ .

Ejercicio 3 (2'37") Sinopsis:

Halla la distancia entre los puntos $x_1=\cfrac{3}{5}\;$ y $x_2=-\cfrac{1}{2}\;$ .

Distancia entre dos puntos

Entornos

Se llama entorno de centro c y radio r, y se denota por $B_r(c)\;$ o $B(c,r)\;$ , al intervalo abierto $(c - r, c + r)\;$ , que viene dado por los puntos x de la recta real que están a una distancia de c menor que r:

$B_r(c) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ |x-c|<r \right\}$

Se llama entorno reducido de centro c y radio r, y se denota por $B^*_r(c)\;$ o $B^*(c,r)\;$ , al entorno de centro c y radio r quitándole su centro:

$B^*_r(c) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ 0<|x-c|<r \right\}$

Entorno de un punto (11'24") Sinopsis:

El "entorno" de centro en el punto "c" y radio r>0 lo forman los puntos cuya distancia a "c" es inferior a "r", que son los puntos del intervalo abierto (c-r ; c+r). Si del entorno de centro en "c" y radio r>0 se elimina el punto "c" se obtiene el "entorno reducido" de centro en "c" y radio "r".

Entorno simple y entorno reducido. (4'01") Sinopsis:

Definición y ejemplos.

Fig.1 - Entorno de centro a y radio r

Autoevaluación: Entornos Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre entornos.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Intervalos y valor absoluto

(Pág. 33)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_reales_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

Números reales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos

Números naturales

Números enteros

Números racionales

Números irracionales

Números irracionales famosos

Los números reales

La recta real

Representación gráfica de números reales en la recta real

Intervalos de la recta real

Valor absoluto de un número real

Propiedades del valor absoluto

Ecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto

Actividades

Distancia

Entornos

Ejercicios propuestos

Vistas

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