Números reales

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Tabla de contenidos

1 Números reales
2 Representación de los números reales
3 Orden en el conjunto de los reales
4 Ejercicios

Números reales

El conjunto de los números reales es el formado por la unión de los números racionales y de los números irracionales y se designa por $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

$\mbox{Reales } (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales }(\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros } (\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\ \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2} \end{cases}$

El conjunto de los números reales

_{de portaleduativo.net}

Números reales

Tutorial 1: Clasificación de los números reales (10'51") Sinopsis:

Números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Ejemplos.

Tutorial 2: Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos (33'01") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber sobre los distintos tipos de números reales (naturales, enteros, racionales e irraciones). Tutorial que explica de forma matemática y no tan matemática los conjuntos numéricos y como han ido surgiendo en demanda a las necesidades a la hora de poder resolver problemas aritméticos.

Tutorial 3: Números racionales e irracionales (8'58") Sinopsis:

Introducción a números racionales e irracionales.

Ejercicio (1'44") Sinopsis:

Clasifica en racionales e irracionales los siguientes números:

$\cfrac{\sqrt{8}}{2} \, , \, \pi \, , \, 5.0 \, , \, 0.325 \, , \, 7.\hat{7} \, , \, 8\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$

Números reales

Actividad 1 Descripción:

Clasificación de números reales.

Actividad 2 Descripción:

Escena en la que se resume los distintos tipos de conjuntos nunéricos vistos hasta ahora.

Autoevaluación 1 Descripción:

Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Indica a que conjuntos de números pertenece un número dado.

Pulsa el botón "Ejercicio" para generar un ejercicio. Te dan un número y debes decir todos los conjuntos a los que pertenece. Luego pulsa el botón "Solución" para ver si lo has hecho bien.

Copia los ejercicios que hagas en tu cuaderno.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números reales.

Operaciones con números reales. Propiedades

Operaciones con números reales Descripción:

Operaciones con números reales. Propiedades.

Autoevaluación: Propiedades de las operaciones con números reales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las operaciones con números reales.

La recta real

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales.

Para su construcción:

Se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen y al que se le asocia el número 0.
Se selecciona una unidad U de longitud para medir distancias que es la que separa los números 0 y 1.
Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto.
A cada número real p se le asocia un punto de la recta que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva o negativa, dependiendo de si el número p es positivo o negativo, respectivamente.

Los números reales. La recta real (16´23") Sinopsis:

El conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales (tienen un número finito de decimales o son periódicos) y del conjunto de los números irracionales (tienen infinitos decimales y no son periódicos). La "visualización" del conjunto de los números reales es la llamada "recta real": a cada número real le corresponde un único "punto" de la "recta real" y viceversa: cada "punto" de la recta real corresponde a un único número real. Por eso, consideraremos sinónimas las palabras "número" y "punto".

Actividad: La recta real Descripción:

Los números reales en la recta real.

Mueve el punto rojo y observa que todo punto de la recta representa un número real. Utiliza el zoom para ampliar la vista, si lo deseas.

Luego introduce distintos número y observa su representación en la recta real:

Introduce las fracciones $\cfrac{5}{3}, \cfrac{1}{7}, \cfrac{5}{4}, -\cfrac{23}{3}$ (teclea a/b para introducir la fracción $\cfrac{a}{b}$ )
Introduce la raíz cuadrada de 2, 5, 7, 11 (teclea sqrt(n) para introducir la raíz cuadrada de n)

Densidad de los números racionales e irracionales

$\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ : Entre cada dos números reales existe un racional, y por tanto hay infnitos.
$\mathbb{I}$ es denso en $\mathbb{R}$ : Entre cada dos números reales existe un irracional, y por tanto hay infnitos.

Completitud de los números reales

Gracias al axioma del supremo o axioma de completitud, el conjunto de los números reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales de manera que a cada punto de la recta le hace corresponder un único número real y viceversa.

La recta real ampliada (8'14") Sinopsis:

Este video te servirá en el tema de límites para manipular mejor expresiones con límites infinitos.

Recta real ampliada: conjunto que resulta al añadir los símbolos +∞ y -∞ al conjunto de los reales. Que quede muy claro: +∞ y -∞ no son números, y para todo real "x" es -∞ < x < +∞.

Representación gráfica de números reales en la recta real

En los siguientes ejemplos puedes ver distintos procedimientos de representación, dependiendo de cómo sea el número real que queramos representar:

Ejemplos

Entero o decimal exacto: Vamos intentar representar un número al azar, el 3,24 por ejemplo, buscamos el 3,2 primero, "ampliamos" buscamos el 3,24 y marcamos.

Decimal periódico: Hacemos con la regla una recta oblicua a la primera y que mida un múltiplo del denominador dividimos esta nueva recta en tantas partes como indique el denominador (si el denominador es 6 dividimos en siete partes), unimos sus extremos y trazamos las paralelas.

Radical cuadrático: Podemos representar un radical cuadrático teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras. En el ejemplo, se muestra como se ha representado $\sqrt{13}$

Resto de irracionales: En este caso se toma su expresión aproximada decimal y se afina tanto como se quiera empleando el método mostrado en decimales exactos.

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

Representación gráfica de números irracionales

Representación de la raíz de 2 Descripción:

Observa en la escena la representación de $\sqrt{2}$ .

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Representación de otras raíces cuadradas Descripción:

Observa en la escena la representación de otras raices cuadradas.

Pulsando sobre el control pasos puedes observar cómo se representa la raíz cuadrada de cualquier número entero.
Representa en tu cuaderno la raíz de 3 y la raíz de 5.
Pulsando el control decimales puedes obtener el número de ellos que desees.
Utiliza el botón Limpiar si quieres ver con más claridad la representación de algún número.

Representación de raíces cuadradas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan gráficamente los números del tipo $\sqrt{n},~n \in \mathbb{N}$ .

Representación gráfica de raíces cuadradas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan gráficamente algunas raíces cuadradas.

Autoevaluación: Representación gráfica de números irracionales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre representación gráfica de números irracionales.

Construcción del número de oro Descripción:

En la escena puedes ver la construcción del número de oro basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclides (siglo III a.C.).

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:

Construcción con regla y compás de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo.

Números reales

Actividad: Números reales

a) Representa los números $0,\ 1,\ 5,\ \phi,\ \pi$ en la recta numérica.

b) ¿Es -5 un número entero?

c) ¿Es 5/3 un número racional?

d) ¿Es pi un numero irracional?

e) ¿Cual es el valor del número de oro?

f) Resuelve la ecuación $x^2-x-1=0\;$

g) ¿Recuerdas cómo se escribe 75 en números romanos?

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) number line 0, 1, 5, golden number, pi

b) is -5 an integer?

c) is 5/3 a rational number?

d) Is pi an irrational number?

e) golden number

f) solve x^2-x-1=0, o bien, solve x^2-x-1=0 over the reals

g) 75 in roman numerals

Ejercicios: Números reales

1. Obtén el valor del número áureo $\phi \,$ teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones $\phi :1 \,$ es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado de lado 1. (Ver fig.1)

Fig.1 Rectángulo áureo

2. Sitúa los siguientes números en el diagrama (Ver fig.2):

$\sqrt{3}, \, 5, \, -2, \, 4.5, \, 7.\widehat{3}, \, -\sqrt[3]{6}, \, \sqrt{64}, \, \sqrt[3]{-27}, \, \sqrt{-8}$

Fig.2

Representación de los números reales

Cuando en una recta se representan los números racionales e irracionales se obtiene la recta real. Cualquier punto de la recta real representa un número real. .

Actividad Interactiva: Representación de los números reales

Actividad 1. Representación gráfica de los números reales en la recta real.

Actividad:

Mueve el punto rojo y observa que todo punto de la recta representa un número real. Utiliza el zoom para ampliar la vista, si lo deseas.

Luego introduce distintos número y observa su representación en la recta real:

Introduce las fracciones $\cfrac{5}{3}, \cfrac{1}{7}, \cfrac{5}{4}, -\cfrac{23}{3}$ (teclea a/b para introducir la fracción $\cfrac{a}{b}$ )
Introduce la raíz cuadrada de 2, 5, 7, 11 (teclea sqrt(n) para introducir la raíz cuadrada de n)

Orden en el conjunto de los reales

Dados dos números reales $a\;\!$ y $b\;\!$ , se dice que $a\;\!$ es menor que $b\;\!$ , $(a<b)\;\!$ si $b\;\!$ está más a la derecha que $a\;\!$ en la recta real. O dicho de otra forma, si $b-a\;\!$ es positivo $(b-a>0)\;\!$

Actividad Interactiva: Orden en el conjunto de los reales

Actividad 1. Comparando dos números reales por su ubicación en la recta real.

Actividad:

Pulsa "inicio" para ver ejemplos. Fíjate que el punto rojo representa un número más pequeño que el punto azul. Mueve el punto rojo. Si los números se salen de pantalla, utiliza el zoom.

Ejercicios

Actividad Interactiva: Conjuntos numéricos

Actividad 1. Indica a que conjuntos de números pertenece un número dado.

Actividad:

Pulsa el botón "Ejercicio" para generar un ejercicio. Te dan un número y debes decir todos los conjuntos a los que pertenece. Luego pulsa el botón "Solución" para ver si lo has hecho bien.

Copia los ejercicios que hagas en tu cuaderno.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_reales"

Números reales

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Tabla de contenidos

Números reales

Operaciones con números reales. Propiedades

La recta real

Representación gráfica de números reales en la recta real

Representación de los números reales

Orden en el conjunto de los reales

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