Números reales

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Tabla de contenidos


     "Dios creó los números naturales, lo demás es obra de los hombres."

L. Kronecker

Introducción

Existen diversos enfoques para introducir los números reales:

  • A partir de una serie de axiomas: Enfoque axiomático.
  • A partir de sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos.

Aquí vamos a ver la segunda.

Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos

Recordemos las sucesivas ampliaciones de los conjuntos númericos que se han estudiado en cursos anteriores:

Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

  • Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
  • Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
  • Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.



Este conjunto es insuficiente si queremos dar solución a ecuaciones como:

x+3=1\;

Se precisa de un conjunto más amplio que incluya a los números negativos, el conjunto de los números enteros.



Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. Nos vemos obligados a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros

\mathbb{Z}=\left \lbrace -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Está formado por:

  • El conjunto de los números naturales o enteros positivos : \mathbb{Z}^+=\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace.
  • Sus opuestos, los enteros negativos: \mathbb{Z}^-=\left \lbrace \cdots, -1 ,\ -2,\ -3, \cdots \right \rbrace.
  • El cero (0).

Como consecuencia, \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}, que se lee: "el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros".

Este conjunto también se nos queda chico. Por ejemplo, la ecuación

3x=2\;

no tiene solución en el conjunto de los números enteros ya que requiere números fraccionarios. Es necesaria la ampliación al conjunto de los números racionales.



Números racionales

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace

ejercicio

Propiedades


  • Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}
  • Todos los números decimales exactos o periódicos se pueden expresar en forma de fracción. Por tanto, son números racionales.
  • Cuando el número de decimales es infinito y no periódico, como ocurre con el número pi (π), no podemos expresarlo en forma de fracción. A estos números los llamaremos irracionales.

Representación de los números racionales mediante diagramas de Vennportaleducativo.net
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Representación de los números racionales mediante diagramas de Venn

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Pero, ¿qué ocurre si queremos resolver la siguiente ecuación?:

x^2=2\;

La respuesta la tienes en el siguiente resultado:

ejercicio

Proposición


No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número\sqrt{2} \, no es racional.

De forma más general:

ejercicio

Proposición


Si p\; es un número primo, entonces el número\sqrt{p} \, no es racional.

ejercicio

Propiedades


  • La suma de un racional y un irracional es otro irracional
  • El producto de un racional por un irracional es otro irracional.
  • Existe al menos un irracional entre cualesquiera dos racionales.

Surge, por tanto, la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales, añadiendole estos nuevos números que llamaremos números irracionales.

Números irracionales

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra \mathbb{I}.

Los números irracionales más famosos son los siguientes:

El número áureo, Phi:

El número Pi:

El número e:



Números reales

El conjunto de los números reales es el formado por la unión de los números racionales y de los números irracionales y se designa por \mathbb{R}.

\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

\mbox{Reales } (\mathbb{R})      \begin{cases}         \mbox{Racionales }(\mathbb{Q})          \begin{cases}             \mbox{Enteros } (\mathbb{Z})                  \begin{cases}                     \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\                                \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9}                 \end{cases}\\                        \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2}         \end{cases}\\          \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2}     \end{cases}

El conjunto de los números realesde portaleduativo.net
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El conjunto de los números reales

de portaleduativo.net

Operaciones con números reales. Propiedades

La recta real

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales.

Para su construcción:

  • Se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen y al que se le asocia el número 0.
  • Se selecciona una unidad U de longitud para medir distancias que es la que separa los números 0 y 1.
  • Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto.
  • A cada número real p se le asocia un punto de la recta que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva o negativa, dependiendo de si el número p es positivo o negativo, respectivamente.


ejercicio

Densidad de los números racionales e irracionales


  • \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}: Entre cada dos números reales existe un racional, y por tanto hay infnitos.
  • \mathbb{I} es denso en \mathbb{R}: Entre cada dos números reales existe un irracional, y por tanto hay infnitos.

ejercicio

Completitud de los números reales


Gracias al axioma del supremo o axioma de completitud, el conjunto de los números reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales de manera que a cada punto de la recta le hace corresponder un único número real y viceversa.

Representación gráfica de números reales en la recta real

En los siguientes ejemplos puedes ver distintos procedimientos de representación, dependiendo de cómo sea el número real que queramos representar:

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

Orden en el conjunto de los reales

Dados dos números reales a\;\! y b\;\!, se dice que a\;\! es menor que b\;\! (a<b)\;\!, si si b-a\;\! es positivo. O dicho de otra forma, si b\;\! está más a la derecha que a\;\! en la recta real.

Intervalos de la recta real

Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura que debes conocer:

NOMBRESIMBOLOSIGNIFICADOREPRESENTACIÓN
Intervalo abierto
(a, b)\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a<x<b \right \}
Números comprendidos entre a y b.
Imagen:Intervalo abierto.png
Intervalo cerrado
[a, b]\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x \le b \right \}
Números comprendidos entre a y b, ambos incluidos.
Imagen:Intervalo cerrado.png
Intervalo
semiabierto
(a, b]\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a<x \le b \right \}
Números comprendidos entre a y b, b incluido.
Imagen:Intervalo semiabierto 01.png
[a, b)\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x<b \right \}
Números comprendidos entre a y b, a incluido.
Imagen:Intervalo semiabierto 02.png
Semirrecta
( - \infty , a)\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x<a \right \}
Números menores que a.
Imagen:Semirrecta 01.png
( - \infty , a]\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \le a \right \}
Números menores o iguales que a.
Imagen:Semirrecta 02.png
( a, + \infty )\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a < x \right \}
Números mayores que a.
Imagen:Semirrecta 03.png
[ a, + \infty )\,\!
\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x \right \}
Números mayores o iguales que a.
Imagen:Semirrecta 04.png

La recta real se representa en forma de intervalo: \mathbb{R}=( - \infty, + \infty )

ejercicio

Ejercicios resueltos: Intervalos y semirrectas


1. Representar los siguientes conjuntos numéricos:

a) Números mayores que 3.
b) \left \{ x \in \mathbb{R} \ / 2 \le x<5 \right \}
c) \left \{ x \in \mathbb{R} \ / 3 \le x \le 7 \right \}
d) Números menores que 1 excluyendo el 0.
e)\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x^2 \ge 4 \right \} = \left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \le 2 \right \} \cup \left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \ge 2 \right \}

Valor absoluto de un número real

El valor absoluto o módulo de un número real a\; es el propio número a\;, si es positivo o nulo. Y su opuesto, -a\;, si es negativo. Es decir:

|a| = \begin{cases}   \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\        -a\, , & \mbox{si } a < 0  \end{cases}

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a\; corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde a\; hasta el cero.

Propiedades del valor absoluto

ejercicio

Propiedades del valor absoluto


1.  |x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0
2.   \forall k>0 \, , \,  \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k
3.   \forall k>0 \, , \,  \ |x|<k \iff -k < x < k
4.   \forall k>0 \, , \,  \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k
5.   |x \cdot y|= |x| \cdot |y|
6.   \forall n \in \mathbb{N} \, , \,  \ |x^n|= |x|^n
7.   \left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}
8.   |x^2| = x^2\;
9.   |x + y| \le |x|+|y| (desigualdad triangular)
10.   |x - y| \le |x|+|y|
11.   |x| - |y| \le |x-y|
12.   \left| |x| - |y| \right| \le |x-y|

ejercicio

Reglas para trabajar con desigualdades


Sean x, y, z \in \mathbb{R}, se cumplen las siguientes propiedades:

1.  x<y \Rightarrow x+z<y+z
2.  x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z
3.  x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z
4.  x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}

Como consecuencia, en una inecuación:

  • Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
  • Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

Ecuaciones con valor absoluto

ejercicio

Procedimiento


Para resolver ecuaciones con valor absoluto utilizaremos la 2ª de las propiedades del valor absoluto, que dice:

\forall k>0 \, , \,  \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k

(pág. 33)

Inecuaciones con valor absoluto

ejercicio

Procedimiento


Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:

  •   \forall k>0 \, , \,  \ |x|<k \iff -k < x < k
  •   \forall k>0 \, , \,  \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k

ejercicio

Ejercicios resueltos: Valor absoluto


¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) |x| \ge 3\;
b) |x-2|\le 3\;

Actividades

Distancia

Dados dos puntos x\; e y\; de la recta real, se define la distancia de x\; a y\; como el siguiente número real:

d(x,y)=|x-y|\;

Distancia entre dos puntos
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Distancia entre dos puntos

ejercicio

Proposición


Dados dos puntos, x_1\; y x_2\;, de la recta numérica, el punto medio, x_m\; entre esos dos puntos viene dado por

x_m=\cfrac{x_1+x_2}{2}

Entornos

  • Se llama entorno de centro c y radio r, y se denota por B_r(c)\; o B(c,r)\;, al intervalo abierto (c - r, c + r)\;, que viene dado por los puntos x de la recta real que están a una distancia de c menor que r:
B_r(c) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ |x-c|<r \right\}
  • Se llama entorno reducido de centro c y radio r, y se denota por B^*_r(c)\; o B^*(c,r)\;, al entorno de centro c y radio r quitándole su centro:
B^*_r(c) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ 0<|x-c|<r  \right\}

Fig.1 - Entorno de centro a y radio r
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Fig.1 - Entorno de centro a y radio r
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