Potencias de fracciones (2º ESO)

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-==Potencias de fracciones==+==Potencia de una fracción==
-===Potencias de exponente negativo===+{{Def: potencia fracción}}
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 +'''Nota:''' Esta actividad también incluye raíces de fracciones. En el siguiente enlace puedes ver acerca de ellas.
-===Propiedades de las potencias de números racionales===+[http://maralboran.org/web_ma/Melide/Operaciones_con_fracciones/Potenciasyraicesfracciones.html Potencias y raíces de fracciones]
-Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números enteros.+|url1=http://maralboran.org/web_ma/Melide/Operaciones_con_fracciones/Ejercicios_3.html
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-Ver: [[Potencias y raíces de números enteros (2º ESO)#Propiedades de las potencias de enteros|'''Propiedades de las potencias de números enteros''']] +==Potencias de exponente negativo==
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-{{Videos ejemplos propiedades potencias fracciones}}+{{AI potencias exponente entero}}
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 +{{Propiedades de las potencias de números racionales}}
-d) <math>\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2</math>{{b4}}{{b4}}e) <math>\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2</math>{{b4}}{{b4}}f) <math>\left( \cfrac{3}{5}\right)^0</math>+==Ejercicios propuestos==
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-----+
-d)<math>\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{3-2}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^1=\cfrac{3}{4}</math>+
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-e) <math>\left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2=\left( \cfrac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2}=\left( \cfrac{1}{2}\right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}</math>+
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-}}+
- +
-===Ejercicios propuestos===+
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-[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2b,f; 3b,c,e; 4b,c,e; 5b,d,f; 6b,d,f; 7b,d,f; 8b,c; 9c,e; 11b,d,f;+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2b,f; 3b,c,e; 4b,c,e; 5b,d,f; 6b,d,f; 7b,d,f; 8b,c; 9c,e; 10b,c; 11b,d,f;
|sol= |sol=
}} }}
- 
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-==Potencias de base 10== 
-{{Potencias de 10}} 
-{{Videos: Potencias de 10}} 
-{{p}} 
-===Operaciones con potencias de base 10=== 
-{{Productos y cocientes con potencias de 10}} 
-{{p}} 
- 
-===Descomposición polinómica de un número=== 
-Ya conoces la descomposición polinómica de un número natural 
- 
-Ver: Descomposición polinómica de un número natural 
- 
-A continuación veremos como se descompone un número decimal: 
-{{p}} 
- 
-===Descomposición polinómica de un número decimal=== 
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado= 
-Para descomponer polinómicamente un número decimal procederemos de la siguiente manera: 
-*La parte entera del número, que es un número natural, se descompone como se ha explicado anteriormente. 
-*La parte decimal del número se descompone de forma análoga pero utilizando potencias de exponente negativo, teniendo en cuenta las siguientes equivalencias: 
- 
-<center><math>10^{-1}=0.1 \, ; \ 10^{-2}=0.01 \, ; \ 10^{-3}=0.001 \, ; \ \cdots</math></center> 
-}} 
-{{p}} 
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido=Vamos a obtener la descomposición polinómica del número 5034.652: 
- 
-<math>5034.652 = 5000 + 30 + 4 + 0.6 + 0.05 + 0.002 =\;</math> 
-:::<math>= 5 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 6 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2} + 2 \cdot 10^{-3} 
-</math>}} 
-{{p}} 
- 
-===Notación científica=== 
-{{Definición: Notacion cientifica}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_tutomate 
-|titulo1=Notación científica 
-|duracion=7'37" 
-|sinopsis=Números en notación científica. Ejemplos. 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=B-ZJywpOLzw&list=PLWRbPOo5oaTcOZhRaF3-DuT9bjIDrP8ZB&index=5 
-}} 
-{{AI_descartes|titulo1=Ejemplos de números en notación científica 
-|descripcion=En la siguiente escena, genera distintos números, pulsando el botón inferior. 
- 
-Anótalos en tu cuaderno, explicando qué condiciones cumple para que esté en notación científica. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/notacion/notacion_cientifica_1.html 
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-</iframe></center> 
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/notacion/notacion_cientifica_1.html 
-}} 
-{{AI_descartes|titulo1=Significado del exponente en la notación científica 
-|descripcion=Consulta la ayuda de la escena y contesta. 
- 
-Modifica los valores de las cifras y del exponente y observa qué sucede con la coma en los siguientes casos: 
- 
-*Si el exponente es cero  
-*Si el exponente es negativo  
-*Si el exponente es positivo  
- 
-Anota en tu cuaderno las conclusiones a las que hayas llegado. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/notacion/notacion_cientifica_3.html 
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-</iframe></center> 
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/notacion/notacion_cientifica_3.html 
-}} 
-{{AI_cidead 
-|titulo1=Notación científica 
-|descripcion=Actividades para aprender a manejar la notación científica. 
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena1/2quincena1_contenidos_3b.htm 
-}} 
- 
-===Ejercicios propuestos=== 
-{{ejercicio 
-|titulo=Ejercicios propuestos: ''Potencias de fracciones'' 
-|cuerpo= 
-(Pág. 81) 
- 
-[[Imagen:red_star.png|12px]] 15, 16, 17, 18 
-|sol= 
-}} 
- 
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Tabla de contenidos

(Pág. 78)

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Potencia de una fracción

ejercicio

Procedimiento: Potencia de una fracción

Para elevar una fracción a una potencia se eleva el numerador y el denominador a dicha potencia.

\left( \cfrac{a}{b} \right) ^n = \begin{matrix} ~ \\ \underbrace{ \cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{a}{b} \cdot \cdots \cdot \cfrac{a}{b} } \\ n \, \mbox{veces} \end{matrix} = \cfrac{a^n}{b^n}

ejercicio
Ejemplo:

\left( \cfrac{3}{2} \right) ^3 = \cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{3}{2} = \cfrac{3^3}{2^3}=\cfrac{27}{8}

Actividad     Descripción:

Potencias y raíces de fracciones.

Nota: Esta actividad también incluye raíces de fracciones. En el siguiente enlace puedes ver acerca de ellas.

Potencias y raíces de fracciones

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Potencias de exponente negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}

Como consecuencia:

ejercicio

Propiedad

\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)
.


ejercicio
Ejemplos: 

video
Potencias de exponente negativo
Tutorial 1 (6'44")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 2 (13'40")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 3 (0'43")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 4 (6'44")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'52")     Sinopsis:

a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}\;. Ejemplos.

Tutorial 6a (9'22")     Sinopsis:

Exponentes negativos. Ejemplos.

Tutorial 6b (4'39")     Sinopsis:

Razonando sobre el por qué de la definición de los exponentes negativos.

Ejercicio 1 (4'31")     Sinopsis:

Simplifica:

a) 4^{-3} \cdot 4^5\;
b) a^{-4} \cdot a^2\;
c) \cfrac{12^{-7}}{12^{-5}}\;
d) \cfrac{x^{-20}}{x^5}\;
Ejercicio 2 (5'42")     Sinopsis:

Simplifica:

a) (3^{-8} \cdot 7^3)^{-2}\;
b) (a^{-2} \cdot 8^7)^2\;
c) \left( \cfrac{2^{-10}}{4^2} \right)\;
Ejercicio 3 (8'02")     Sinopsis:

Halla el valor de:

11) 100^{-1}\; ;          12) 100^{-3}\; ;          13) 10^{-4}\; ;          14) (10^{-3})^{-1}\;

15) (-3)^{-2}\; ;          16) 2^{-1}\; ;          17) \left( \cfrac{1}{2} \right)^{-1}\; ;          18) \left( \cfrac{1}{7} \right)^{-1}\; ;          19) \left( \cfrac{-1}{5} \right)^{-1}\;

video
Potencias de exponente negativo
Actividad 1     Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Actividad 2     Descripción:

Actividades sobre potencias de exponente negativo.

Actividad 3     Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) 3^{-5}\; b) 5^{-3}\; c) 7^{-2}\; d) 2^{-7}\;

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Autoevaluación 1a     Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 1b     Descripción:

Multiplica y divide potencias (exponentes enteros).

Autoevaluación 1c     Descripción:

Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros)

Autoevaluación 1d     Descripción:

Potencias de exponentes enteros.

Autoevaluación 2a     Descripción:

Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación 2b     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

[editar]

Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números enteros.

Ver: Propiedades de las potencias de números enteros

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

video
Potencias de fracciones
Tutorial (10'06")     Sinopsis:

Tutorial que explica la potencia de exponente entero (positivo y negativo) con fracciones y operaciones combinadas con multiplicación, división y potencias, trabajando la simplificación previa.

Ejercicio 1 (9'43")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \left[\left(\cfrac{3}{5} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{9}{25} \right)^2 \right]^3
b) \left[\cfrac{16}{9} \cdot \left(\cfrac{56}{27} \right)^{-1} \right] \cdot \left(\cfrac{14}{9} \right)^3 \cdot \left(\cfrac{7}{12} \right)^{-2}
Ejercicio 2 (4'05")     Sinopsis:

Simplifica \cfrac{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^5 \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-2}}{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^6}

Ejercicio 3 (2'08")     Sinopsis:

Simplifica: \left[ \left( \cfrac{1}{3} \right)^{10} : \left( \cfrac{1}{3} \right)^7 \right]^2

ejercicio

Ejemplos: Potencias de fracciones

Calcula simplificando previamente:

a) \left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4        b) \left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3        c) \left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3        

d) \left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2        e) \left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2        f) \left( \cfrac{3}{5}\right)^0

Solución:

a)\left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4=\left( \cfrac{3}{7} \cdot \cfrac{7}{6} \right)^4 = \left( \cfrac{3 \cdot \not{7}}{\not{7} \cdot 6} \right)^4 = \left( \cfrac{3}{6} \right)^4= \left( \cfrac{1}{2} \right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}

b)\left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3=\left( \cfrac{3}{10} : \cfrac{6}{5}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{10 \cdot 6}\right)^3=\left(\cfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{\not{3} \cdot \not{5}}{\not{5} \cdot 2 \cdot \not{3} \cdot 2}\right)^3=\left(\cfrac{1}{4}\right)^3=\cfrac{1^3}{4^3}=\cfrac{1}{64}

c)\left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{2+3}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^5=\cfrac{3^5}{4^5}=\cfrac{243}{1024}

d)\left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2=\left( \cfrac{3}{4}\right)^{3-2}=\left( \cfrac{3}{4}\right)^1=\cfrac{3}{4}

e) \left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2=\left( \cfrac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2}=\left( \cfrac{1}{2}\right)^4=\cfrac{1^4}{2^4}=\cfrac{1}{16}

f) \left( \cfrac{3}{5}\right)^0=1

video
Potencias de fracciones. Propiedades
Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de fracciones.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 3     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números racionales.

[editar]

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Potencias de fracciones

(Pág. 80)

1; 2a,c,d,e; 3a,d,f; 4a,d,f; 5a,c,e; 6a,c,e; 7a,c,e; 8a,d; 9a,d; 10a,d; 11a,c,e; 12; 13; 14

2b,f; 3b,c,e; 4b,c,e; 5b,d,f; 6b,d,f; 7b,d,f; 8b,c; 9c,e; 10b,c; 11b,d,f;

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