Números enteros: Potencias

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1 Potencias de enteros

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Potencias de enteros

Los siguientes videotutoriales condensan lo que vamos a ver en este apartado sobre potencias de números enteros:

Potencias de números enteros

Tutorial 1 (6'09") Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero. Ejemplos.

Tutorial 2 (13'07") Sinopsis:

Ejemplos de potencias de números enteros.

Tutorial 3 (19'28") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica a través de varios ejemplos la potencia con números enteros y las operaciones combinadas con multiplicación, división y potencia de números enteros.

00:00 a 05:55: Potencia de número enteros, definición.
05:55 a 09:15: Ejercicios simples de Potencias.
09:15 a 13:07: Ejercicios de Combinadas de Multiplicación, División y Potencias.

Tutorial 4 (9'54") Sinopsis:

Potencias de números enteros.

Tutorial 5 (18'37") Sinopsis:

Potencias de base entera y exponente natural. Producto de potencias. División de potencias. Potencias de una potencia. Potencia de un producto. Signo de una potencia.

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Definición de potencia

La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números naturales.

Ver: Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

$\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}$ (Se lee: " $a\;$ elevado a $b\;$ ")

El número $a\;$ se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
El número $b\;$ se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Por convenio, se establece que: $a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;$ .
Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.

bartolomecossio.com

¡Ojo, no confundir!

Ejemplos:

Potencias de números enteros

Actividad 1 Descripción:

Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre potencias de números enteros.

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Signo de la potencia

Signo de la potencia

Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Signo de la potencia

Tutorial (3'23") Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero negativo. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'58") Sinopsis:

1) Completa la tabla. En ella debes indicar la base, el exponente, el valor y la cómo se leen las siguientes potencias de números enteros:

$4^2 \ , \ 6^3 \ , \ 2^6 \ , \ (-5)^2 \ , \ 2^3 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ 8^4$

2) Escribe en forma de potencia:

a) $3 \cdot 3 \;$

b) $(-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \;$

c) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\;$

d) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \;$

3) Escribe cómo se leen las siguientes potencias:

$7^4 \ , \ 2^6 \ , \ 5^2 \ , \ 2^3$

Ejercicio 3 (9'38") Sinopsis:

4) Escribe las siguientes potencias en forma de producto:

$15^2 \ , \ 6^4 \ , \ 8^4$

5) Escribe cada producto en forma de potencia, calcula su valor e indica cuál es la base y el exponente.

$3 \cdot 3 \ , \ 6 \cdot 6 \cdot 6$

6) Calcula:

a) Doce elevado al cuadrado.

b) Once elevado al cubo.

c) Tres elevado a la quinta.

d) Dos elevado a la cuarta.

7) Desarrolla las siguientes potencias:

$(-2)^4 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ (-5)^2$

8) Calcula las siguientes potencias y razona cuánto valen todas las potencias de base 1:

$1^0 \ , \ 1^1 \ , \ 1^2 \ , \ 1^3 \ , \ 1^5 \ , \ 1^{1000}$

Signo de la potencia

Actividad 1 Descripción:

Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros con base positiva o negativa.
Actividad para practicar las potencias de enteros.

Actividad 2 Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $( - 3) 4$ b) $( - 4) 5$ c) $( - 10) 5$ d) $( - 2) 10$

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Actividad 3 Descripción:

Actividad sobre potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación en los que debes determinar el signo de la potencia cuya base es un número entero.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

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Propiedades de las potencias de enteros

Las potencias de números enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Ver: Propiedades de las potencias de números naturales

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Propiedades de las potencias de números enteros

Tutorial 1a (6'46") Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

Potencias de exponente 0.
Potencias de exponente 1.
Producto de potencias de la misma base.
Cociente de potencias de la misma base.

Tutorial 1b (5'05") Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

Potencia de otra potencia.
Potencia de un producto.
Potencia de un cociente.

Ejercicio 1 (7'58") Sinopsis:

Calcula:

a) $(-2)^4 \cdot (-2)^3\;$ ; b) $(-6)^9 : (-6)^4\;$

c) $(-8)^2 \cdot (-8)^3\;$ ; d) $(-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)\;$

e) $(-3)^7 : (-3)^4\;$ ; f) $(-2)^5 \cdot (-2)^2\;$

g) $(-7)^{12} : (-7)^{10}\;$ ; h) $(-10)^3 : (-10)^2\;$

Ejercicio 2 (12'23") Sinopsis:

10) Escribe en forma de una sola potencia:

a) $[(-2)^3]^5\;$ ; b) $[(-3)^2]^3\;$

c) $[(-5)^2]^4\;$ ; d) $[(-6)^3]^3\;$

e) $(2^4)^5\;$ ; f) $(3^4)^2\;$

g) $[(-2)^1]^6\;$ ; h) $[(-2)^2]^6\;$

i) $(3^{10})^2\;$ ; j) $(3^2)^{10}\;$

11) Expresa en forma de producto de varias potencias:

a) $[(-3) \cdot (-2) \cdot (-5)]^4\;$

b) $[(-2) \cdot 5 \cdot (-6)]^2\;$

c) $[2 \cdot 7 \cdot 6]^3\;$

a) $[(-2) \cdot (-3) \cdot (-6)]^3\;$

11) Expresa en forma de una sola potencia:

a) $(-2)^3 \cdot (-3)^3 \cdot (-4)^3\;$

b) $(-2)^4 \cdot 3^4\;$

c) $2^6 \cdot 4^6 \cdot 5^6\;$

d) $(-3)^6 \cdot (-10)^6\;$

12) Calcula los cuadrados de los cinco primeros números positivos.

Ejercicio 3 (10'07") Sinopsis:

14) Escribe las cuartas potencias de: -3, -2, -5, 3, 2 y 5.

15) Calcula:

a) $2 \cdot (-3)^2\;$ ; b) $3 \cdot (-2)^2\;$

c) $-1 \cdot (-3)^2\;$ ; d) $-1 \cdot (-2)^2\;$

e) $-2 \cdot (-3)^2\;$ ; f) $-5 \cdot (-5)^2\;$

g) $2 \cdot (-3)^2\;$

Ejercicio 4 (12'24") Sinopsis:

16) Escribe como potencias de base positiva:

$(-3)^2 \ , \ (-3)^3 \ , \ (-5)^2 \ , \ (-5)^3 \ , \ (-7)^2 \ , \ (-7)^3\;$

17) Escribe el resultado como potencia de base positiva:

a) $(-5)^8 : (-5)^5\;$ ; b) $(-10)^5 : (-10)^3\;$

c) $(-20)^5 \cdot (-20)^3\;$ ; d) $(-6)^2 \cdot 6^3\;$

e) $(-3)^4 \cdot 3^2\;$ ; f) $(-2)^5 \cdot 2^3\;$

Ejercicio 5 (2'09") Sinopsis:

Simplifica: $2 a^3 \cdot a^5$

Ejercicio 6 (3'37") Sinopsis:

Simplifica: $\left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2$

Ejercicio 7 (3'42") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3$

Ejercicio 8 (3'40") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}$

Ejercicio 9 (2'47") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}$

Propiedades de las potencias de enteros

Actividad 1: Potencias de productos y cocientes Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de productos y cocientes.

Actividad 2: Producto y cociente de potencias Descripción:

Actividades para aprender a calcular productos y cocientes de potencias.

Actividad 3: Potencia de otra potencia Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de otra potencia.

Actividad 4: Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre las propiedades de las potencias de números entero.

Actividad 5 Descripción:

Actividades sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 3

2.1. Potencia de un producto Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.2. Potencia de un cociente Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.3.Potencia de una potencia Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.4. Producto de potencias de la misma base Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_enteros:_Potencias"

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