Divisibilidad

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Tabla de contenidos

1 Múltiplos y divisores
2 Criterios de divisibilidad
3 Números compuestos y números primos
- 3.1 Criba de Eratóstenes
- 3.2 Cómo averiguar si un número es primo
4 Descomposición factorial de un número
5 Máximo común divisor
- 5.1 Propiedad
- 5.2 Números primos entre sí
6 Mínimo común múltiplo
7 Cálculo del mínimo común múltiplo
8 Problemas
9 Ejercicios y problemas
- 9.1 Ejercicios
- 9.2 Problemas
10 Calculadora

Múltiplos y divisores

Plantilla:Múltiplos y divisores

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por:	Criterio
2	El número acaba en 0 ó cifra par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.
7	La diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.
11	Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

Observación:

Los números que aparecen en verde se corresponden con aquellos cuyo criterio es un proceso que se puede usar de forma recursiva, es decir, si después de aplicarlo no sabemos si el número al que hemos llegado es múltiplo del número en cuestión, podemos aplicar nuevamente el criterio sobre ese resultado.

Criterios de divisibilidad

Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5 (3´26") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10 y 11 (8'08") Sinopsis:

Criterios para averiguar si un número es divisible por 2, 3, 5, 10 u 11. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 11 (7'35") Sinopsis:

Criterios para averiguar si un número es divisible por 2, 3, 5, 9 u 11. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5 y 6 (3´28") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5 y 6. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 7, 8, 9, 10 y 11 (4´36") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 7, 8, 9, 10 y 11. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11 (14´50") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11. Ejemplos.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 7, 11 y 10ⁿ (24´50") Sinopsis:

Tutorial que explica los criterios de divisibilidad más básicos e importantes, es decir los "trucos" para saber, sin necesidad de dividir, si 2, 3, 5, 7, 11 y 10ⁿson divisores de un número.

00:00 a 04:20: Definiciones básicas (divisor).
04:20 a 05:55: Criterio de divisibilidad del 2.
05:55 a 07:05: Criterio de divisibilidad del 5.
07:05 a 09:50: Criterio de divisibilidad de potencias de 10.
09:50 a 15:27: Criterio de divisibilidad del 3.
15:27 a 21:00: Criterio de divisibilidad del 11.
21:00 a 24:50: Criterio de divisibilidad del 7.

Criterios de divisibilidad por 6, 2ⁿ, 5ⁿ, 9 (15´46") Sinopsis:

Tutorial que explica algunos criterios de divisibilidad más, es decir los "trucos" para saber, sin necesidad de dividir, si 6, 2ⁿ, 5ⁿ y 9 son divisores de un número.

00:00 a 02:20: Definiciones básicas (divisor).
02:20 a 05:15: Criterio de divisibilidad de las potencias de 2.
05:15 a 07:15: Criterio de divisibilidad de las potencias de 5.
07:15 a 10:30: Criterio de divisibilidad del 9.
10:30 a 15:46: Criterio de divisibilidad del 6 o producto de primos.

Criterio de divisibilidad por 3 (explicación) (8'06") Sinopsis:

Explicación de por qué funciona el criterio de divisibilidad por 3.

Criterio de divisibilidad por 9 (explicación) (8'13") Sinopsis:

Explicación de por qué funciona el criterio de divisibilidad por 9.

Ejemplo 1 (0'41") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 2

Ejemplo 2 (0'58") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 3

Ejemplo 3 (0'49") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 4

Ejemplo 4 (0'30") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 5

Ejemplo 5 (0'42") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 9

Ejemplo 6 (0'25") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 10

Ejemplo 7 (1'45") Sinopsis:

Criterios de divisibilidad por 11

Ejercicio 1 (12'04") Sinopsis:

Comprueba si son divisibles por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11 ó 12, los siguientes números: 405, 316, 814, 3080 y 240.

Ejercicio 2 (1'50") Sinopsis:

Escribe cuatro números de forma que sean divisibles a la vez entre 2 y 11.

Ejercicio 3 (9'07") Sinopsis:

Comprueba si son divisibles por 2, 3, 4, 5, 6, 9 ó 10, los siguientes números: 2 799 588, 5670 y 100 765.

Ejercicio 4 (7'46") Sinopsis:

Comprueba si 380 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 9 ó 10.

Criterios de divisibilidad

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que podrás comprobar si un número dado es múltiplo o no de 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 y 11.
Actividad en la que deberás separar los números por los que es divisible un número dado.

Actividad 2 Descripción:

Actividad 3 Descripción:

Actividad sobre criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 7, 9, 10 y 11.

Actividad 4a (divisibilidad por 2) Descripción:

Averigua los múltiplos de 2

Actividad 4b (divisibilidad por 3) Descripción:

Averigua los múltiplos de 3

Actividad 4c (divisibilidad por 5) Descripción:

Averigua los múltiplos de 5

Actividad 4d (divisibilidad por 11) Descripción:

Averigua los múltiplos de 11

Actividad 5 (divisibilidad por 2, 3 y 5) Descripción:

Averigua qué número no es múltiplo del dado.

Autoevaluación 1 Descripción:

Test de 5 preguntas sobre divisibilidad.

Autoevaluación 2 Descripción:

Test de 5 preguntas sobre divisibilidad.

Autoevaluación 3 Descripción:

Test de 7 preguntas sobre divisibilidad.

Autoevaluación 4 Descripción:

Criterios de divisibilidad del 2, 3, 5 y 11

Autoevaluación 5 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre criterios de divisibilidad.

Números compuestos y números primos

Un número primo es un número natural, mayor que 1, que sólo tiene dos divisores: él mismo y el 1.
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

Propiedad

Un número compuesto puede ponerse como producto de dos números distintos de él y la unidad.
Este proceso se puede repetir, con cada uno de los factores, hasta que el número quede descompuesto en producto de factores primos. A esto se le llama descomponer un número en factores primos.

Ejemplos

15 es compuesto porque 15 = 3·5.
El número 2 es primo ya que sus únicos divisores son 1 y 2. También son primos: 3, 5, 7, 11, 13.

Números primos y compuestos

Tutorial 1 (2´41") Sinopsis:

Conceptos de número primo y número compuesto. Tabla de números primos menores que 100.

Tutorial 2 (2´22") Sinopsis:

Conceptos de número primo y número compuesto.

Tutorial 3 (11´47") Sinopsis:

Conceptos de número primo y número compuesto.

Tutorial 4 (6´19") Sinopsis:

Breve explicación de qué son los números primos, cómo reconocerlos y cómo encontrarlos fácilmente

Tutorial 5 (9´30") Sinopsis:

Conceptos de número primo y número compuesto. Criba de Eratóstenes.

Tutorial 6 (8´49") Sinopsis:

Números primos.

La división y los números primos (9'12") Sinopsis:

The building blocks of all natural numbers are the prime numbers. The early Greeks invented the system still used today for separating natural numbers into prime and composite numbers.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Números naturales. Números primos (17´) Sinopsis:

Los números que nos sirven para contar, los números naturales, uno de los más viejos inventos de la Humanidad. ¿Cómo serían nuestras vidas sin la existencia de estos números?... Desde los pitagóricos, que los consideraron como el principio y la explicación de todo el Universo, hasta nuestros días estos números han ejercido un poderoso influjo sobre los matemáticos de todas las épocas. Uno de los campos que ha tenido en jaque a los grandes matemáticos es el de los números primos; una auténtica caja de sorpresas. Aún hoy, utilizando potentes ordenadores, no se han podido demostrar algunas de las conjeturas formuladas sobre estos números hace más de doscientos años. Veremos algunas de ellas y descubriremos una de las aplicaciones más extrañas de los números primos en la actualidad, su utilización en criptografía. (Ver resumen detallado)

Ejercicio (6´57") Sinopsis:

Determina cuáles de los siguientes números son primos, cuáles son compuestos, y cuáles no son ni primos ni compuestos:

24, 2, 1 y 17.

Números primos menores que 100

Actividades: Números primos y compuestos

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que puedes ver si un número es primo o compuesto.
Actividad en la que debes separar los números primos de los compuestos.

Actividad 2 Descripción:

Actividad 3 Descripción:

Introducción a los números primos y compuestos.

Actividad 4 Descripción:

Repaso sobre números primos y compuestos.

Actividad 5 Descripción:

Actividad en la que aprenderás a determinar si un número es primo o compuesto.

Actividad 6 Descripción:

Actividad en la que deberás decidir si un número es primo o compuesto.

Actividad 7 Descripción:

Actividad en la que deberás decidir si un número es primo o compuesto.

Actividad 8 Descripción:

Actividad en la que deberás pulsar sobre los números primos.

Autoevaluación 1 Descripción:

Identifica números primos.

Autoevaluación 2 Descripción:

Identifica números compuestos.

Autoevaluación 3 Descripción:

Test de 10 preguntas sobre números primos y compuestos.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números primos.

Autoevaluación 5 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números compuestos.

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n, que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

Procedimiento

Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera:

Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos.
Comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así sucesivamente.
El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número declarado como primo es mayor que n. Tras haber tachado sus múltiplos, los número que quedan sin tachar son todos los primos entre 2 y n.

Animación de la criba de Eratóstenes para números primos menores que 120. Se incluye la optimización de comenzar por los cuadrados de números primos.

Determinemos, mediante el siguiente ejemplo, el proceso para determinar la lista de los números primos menores de 20.

Primer paso: listar los números naturales comprendidos entre 2 y 20.

2. Segundo paso: Se toma el primer número no rayado ni marcado, como número primo.

3. Tercer paso: Se tachan todos los múltiplos del número que se acaba de indicar como primo.

4. Cuarto paso: Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces se repite el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos.

Como 3² = 9 < 20, se vuelve al segundo paso:

5. Quinto paso: En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Se tachan sus múltiplos. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y se consideran primos todos los números que no han sido tachados.

Como resultado se obtienen los números primos comprendidos entre 2 y 20, y estos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Criba de Eratóstenes (7´38") Sinopsis:

Determinación de los números primos utilizando la Criba de Eratóstenes.

Optimización del método:

Al seguir este método de búsqueda de primos, cada vez que marcamos un número como primo, no es necesario empezar a buscar sus múltiplos desde el más pequeño, sino desde su cuadrado, pues todos los anteriores ya habrían sido eliminados por ser múltiplos de primos más pequeños.

Criba de Eratóstenes

Criba de Eratóstenes Descripción:

En esta escena podrás practicar el procedimiento de la criba de Eratóstenes para obtener números primos.

Criba de Eratóstenes Descripción:

Actividad para practicar la criba de Eratóstenes.

Cómo averiguar si un número es primo

Procedimiento para ver si un número es primo

Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).

Ejemplo: Averiguar si un número es primo

Averigua si el número 167 es primo.

Solución:

Efectuamos las siguientes divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... hasta que sea divisible o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir:

167 : 2 $\rightarrow$ (cociente=83, resto=1) No es divisible por 2. Como 83>3 sigo probando con 3.

167 : 3 $\rightarrow$ (cociente=55, resto=2) No es divisible por 3. Como 55>5 sigo probando con 5.

167 : 5 $\rightarrow$ (cociente=33, resto=2) No es divisible por 5. Como 33>7 sigo probando con 7.

167 : 7 $\rightarrow$ (cociente=23, resto=6) No es divisible por 7. Como 23>11 sigo probando con 11.

167 : 11 $\rightarrow$ (cociente=15, resto=2) No es divisible por 11. Como 15>13 sigo probando con 13.

167 : 13 $\rightarrow$ (cociente=12, resto=11) No es divisible por 13. Como 12<17 paro.

Por tanto, 167 es primo.

Averiguar si un número es primo

Ejercicio 1 (6´54") Sinopsis:

Números primos y compuestos.
Averigua si son primos o compuestos los siguientes números: 263, 137 y 119.

Ejercicio 2 (13´47") Sinopsis:

Averigua si son primos o compuestos los siguientes números: 43, 293 y 611.

Números primos

Actividad: Números primos y compuestos

a) ¿Es 63 un número primo?

b) ¿Es 181 un número primo?

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) is 63 a prime number?

b) is 181 a prime number?

Descomposición factorial de un número

Se le llama descomposición factorial o factorización de un número, a su expresión como producto de potencias de números primos.

Descomposición en factores primos

Cualquier número puede expresarse como producto de potencias de números primos.

Demostración:

El procedimiento es el siguiente:

Lo dividimos por el menor número primo que podamos.
El cociente que haya resultado lo colocamos debajo del número.
Si podemos, seguimos dividiendo sucesivamente ese cociente por el mismo número primo.
Cuando no podamos hacer la división por ese número primo, lo hacemos por el siguiente primo que se pueda.
Así sucesivamente hasta que el cociente final sea 1.
El producto de todos los números primos por los que hemos ido dividiendo constituyen la descomposición factorial del número.

Ejemplo:

Halla la descomposición factorial de 90.

Solución:

Dividimos 90 entre el primer número primo por el que sea divisible. En este caso, por 2. (90:2=45) A continuación, procedemos a dividir 45, cociente de la anterior división, de igual forma. (45:3=15) Así sucesivamente hasta obtener 1 en el cociente (15:3=5; 5:5=1)

Los cocientes 2, 3, 3 y 5 son los factores que descomponen a 90.

$\left . \begin{matrix} 90 \\ 45 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right |\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 5 \\ \; \end{matrix} \qquad 90=2 \cdot3^2 \cdot 5$

Descomposición factorial de un número

Tutorial 1 (8´25") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número. Ejemplos

Tutorial 2 (27´28") Sinopsis:

Tutorial que explica la factorización de números en factores primos. Se explican dos técnicas para realizarlo, la técnica de columna que es el método más habitual que se enseña en casi todas las escuelas y la técnica del árbol, un método muy secillo, rápido y que permite poderlo hacer mentalmente después de práctica.

00:00 a 03:10: Definiciones básicas.
03:10 a 16:32: Método de columna.
16:32 a 27:28: Método de árbol.

Tutorial 3 (9´57") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número. Ejemplos

Tutorial 4 (0´46") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número mediante árbol de factores.

Tutorial 5 (6´42") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número.

Tutorial 6 (6´26") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número.

Tutorial 7 (7´13") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número por el método tradicional y el de árbol.

Ejercicio 1 (8'17") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 18, 56 y 693

Ejercicio 2 (1'12") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 30

Ejercicio 3 (1'05") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 99

Ejercicio 4 (10'02") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 18, 70, 132 y 480

Ejercicio 5 (7'06") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 12, 9 y 108

Ejercicio 6 (6'08") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 1176, 825 y 364

Ejercicio 7 (6'08") Sinopsis:

Descompón en factores primos el número 75.

Ejercicio 8 (3'23") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 95, 85 y 5.

Descomposición factorial de un número

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que puedes ver la descomposición factorial de un número dado.
Actividad para practicar la descomposición en factores primos de un número dado

Actividad 2 Descripción:

Autoevaluación 1 Descripción:

Descomposición factorial de un número.

Autoevaluación 2 Descripción:

Descomposición factorial de un número.

Descomposición factorial de un número

Actividad: Descomposición factorial de un número

Descompón en factores primos el número 156

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

factor 156

Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes elevados al menor exponente.

Ejemplo: m.c.d.

Calcula el m.c.d.(24,60).

Solución:

Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:

$24=2^3 \cdot 3\qquad60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente:

$m.c.d.(24,60)= 2^2 \cdot 3=12$

Actividad Interactiva: m.c.d.

1. Calcula el m.c.d. de dos números.

Actividad:

Calcula mentalmente y anota en tu cuaderno el máximo común divisor de estos dos números; márcalo en la ventana del control inferior y pulsa intro.

Si necesitas ayuda pulsa sobre los triángulos del control de arriba y verás la descomposición factorial de cada número, pero en ese caso el mensaje ENHORABUENA tendrá otro color.

Cada vez que pulses sobre "inicio" aparecerán otros dos números aleatoriamente.

Click aquí si no se ve bien la escena

Propiedad

Si a es múltiplo de b, entonces m.c.d.(a,b)=b.

Por ejemplo, m.c.d.(15, 30)=15.

Números primos entre sí

Dos números son primos entre sí, si su m.c.d. es 1.

Por ejemplo, 6 y 11 son primos entre sí.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números, distinto de cero.

Propiedad

Si a es múltiplo de b, entonces $m.c.m.(a,b)=a \;\!$ .
Los múltiplos comunes de varios números son también múltiplos del m.c.m.
Cualquier múltiplo del m.c.m. de varios números también lo es de dichos números.
Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.m también queda dividido o multiplicado por el mismo número.

Ejemplos

m.c.m.(15, 30)=30, porque 30 es múltiplo de 15.

Cálculo del mínimo común múltiplo

Nos preguntamos a continuación por los múltiplos comunes de dos o más números? ¿Nos interesa encontrar el mayor o el menor? ¿Será útil?.

En el caso de los múltiplos, nos interesará encontrar el común más pequeño. No tiene sentido preguntarse por el mayor, pues hay infinitos múltiplos comunes a varios números. Una vez encontrado el más pequeño, se pueden conseguir tantos como quieras, sólo tienes que multiplicarlo por cualquier número natural.

Una posible estrategia sería buscar múltiplos de los números por separado hasta que lleguemos a encontrar el primero que sea igual para todos. A este procedimiento lo llamaremos 2método artesanal".

Procedimiento artesanal

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números obtendremos los múltiplos de dichos números y seleccionaremos el primero que se repita en todos ellos.

Ejemplo:

Calcula el m.c.m.(24,60) por el método artesanal:

Múltiplos de 24: 24, 48, 72, 96, 120, 144,...

Múltiplos de 60: 60, 120, 180, ...

m.c.m.(24,60)= 120

Mínimo común múltiplo (método artesanal)

Tutorial (3´52") Sinopsis:

Problemas prácticos en los que calcularemos el m.c.m. por el método artesanal.

Ejercicio 1 (2´37") Sinopsis:

1) Dados los números del 1 al 20:

a) Rodea de rojo los múltiplos de 3 y de azul los de 6.

b) ¿Cuáles son múltiplos comunes de 3 y 6?

c) ¿Cuál es el m.c.m. de 3 y 6?

Ejercicio 2 (7´05") Sinopsis:

2) Calcula hallando los múltiplos comunes:

a) m.c.m.(3, 5)

b) m.c.m.(4, 5)

c) m.c.m.(3, 7)

d) m.c.m.(4, 6)

e) m.c.m.(3, 9)

Ejercicio 3 (6´48") Sinopsis:

3) Calcula hallando los múltiplos comunes:

a) m.c.m.(10, 20, 8)

b) m.c.m.(2, 4, 5)

c) m.c.m.(3, 4, 6)

Ejercicio 4 (6´27") Sinopsis:

Calcula m.c.m.(15, 6, 10)

Mínimo común múltiplo (método artesanal) Descripción:

Actividad en la que podrás obtener el m.c.m. de dos números por el método artesanal.

El método artesanal es lento y puede llegar a exigir escribir mucho. No es un buen método para números grandes. A continuación presentamos un método mejor, que llamaremos "método óptimo", y que se apoya en la factorización.

Sabemos que cada múltiplo de un número entero contiene a todos los factores primos de dicho número. Entonces, lo lógico sería coger todos los factores que aparezcan en las descomposiciones de los números con los que trabajemos. Lógicamente, si hay factores repetidos, los escogeremos una sola vez, ya que queremos que nuestro múltiplo común sea el menor de todos los que hay.

Procedimiento óptimo

Para obtener el m.c.m. de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

Se descomponen los números en factores primos.
Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.m.

Ejemplo:

Calcula el m.c.m.(24,60) por el método óptimo:

Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:

$24=2^3 \cdot 3\qquad60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Multiplicando todos los factores elevados al mayor exponente:

$m.c.m.(24,60)= 2^3 \cdot 3 \cdot 5=120$

Mínimo común múltiplo

Tutorial 1 (8´14") Sinopsis:

Tutorial que explica el significado del mínimo común múltiplo con un simpático ejemplo.

Tutorial 2 (11´18") Sinopsis:

Tutorial que explica el significado del mínimo común múltiplo, es decir "¿qué es?" y las distintas técnicas para su cálculo, desde mentalmente o bien obteniendo los múltiplos de los números, para el caso de número pequeños, o el algoritmo general.

00:00 a 06:33: ¿Qué es el Mínimo Común Múltiplo? Método de extracción de múltiplos.
06:33 a 11:18: Método general para calcular el MCM. Ejemplos.

Tutorial 3 (10´38") Sinopsis:

Tutorial que explica qué es y cómo se calcula el mínimo común múltiplo de dos o tres números.

Tutorial 4 (3´33") Sinopsis:

Mínimo común múltiplo de dos números enteros. Ejemplo.

Tutorial 5 (2´35") Sinopsis:

Tutorial que explica qué es y cómo se calcula el mínimo común múltiplo de dos números. Desarrolla un ejemplo en el que calcula el m.c.m. mediante el método artesanal.

Ejercicio 1 (6'19") Sinopsis:

Cálcula el mínimo común múltiplo de:

a) 12 y 18

b) 360 y 84

c) 40, 72 y 300

Ejercicio 2 (11'24") Sinopsis:

Cálcula el mínimo común múltiplo de:

a) 4 y 3

b) 4 y 30

c) 75, 25 y 15

d) 98, 10 y 45

Ejercicio 3 (5'24") Sinopsis:

Cálcula el mínimo común múltiplo de:

a) 6 y 8

b) 14, 21 y 28

Ejercicio 4 (12'12") Sinopsis:

Cálcula el mínimo común múltiplo de:

a) 4 y 6

b) 9, 10 y 15

Ejercicio 5 (5´05") Sinopsis:

Calcula el mínimo común múltiplo de 28 y 21 por el método artesanal y el método óptimo.

Ejercicio 6 (8´39") Sinopsis:

Calcula:

m.c.m.(6, 8)
m.c.m.(2, 4, 10)
m.c.m.(10, 15)
m.c.m.(2, 5, 30)

Ejercicio 7 (6´31") Sinopsis:

Calcula:

m.c.m.(4, 10)
m.c.m.(8, 14, 20)

Ejercicio 8 (4'41") Sinopsis:

Calcula: m.c.m.(72, 108).

Ejercicio 9 (6'45") Sinopsis:

Calcula: m.c.d.(336, 540).

Ejercicio 10 (4'43") Sinopsis:

Calcula: m.c.d.(12, 9, 108).

Ejercicio 11 (7´30") Sinopsis:

Calcula:

a) m.c.m.(20, 2)

b) m.c.m.(24, 18)

Ejercicio 12 (4´21") Sinopsis:

Calcula m.c.m.(20, 18)

Mínimo común múltiplo

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que podrás obtener el m.c.m. de dos números por descomposición factorial.
Actividad en la que deberás obtener el m.c.m. de dos números por descomposición factorial.
Actividad en la que deberás obtener el m.c.m. de tres números por descomposición factorial.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre cómo se calcula el mínimo común múltiplo.

Autoevaluación 1 Descripción:

Cálculo del mínimo común múltiplo de dos números

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de cálculo del mínimo común múltiplo de dos números

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el m.c.m.

Mínimo común múltiplo

Actividad: Mínimo común múltiplo

a) Halla el m.c.m.(12, 56, 80)

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) lcm(12, 56, 80)

Problemas

Problema resuelto: m.c.m.

Un distribuidor de electrodomésticos desea cargar dos palés, uno con lavavajillas de 45 kg y otro con frigoríficos de 40 kg, de forma que ambos pesen lo mismo y lo menos posible. ¿Cuánto pesará cada palé?

Solución:

Solución: 360 Kg

Problemas: Mínimo común múltiplo

Problema 1 (3´45") Sinopsis:

María tarda 6 min en dar una vuelta al barrio corriendo y Pedro 8 min. ¿Cuándo coincidirán de nuevo en la plaza si han salido juntos de ella a las 10:15?

Problema 2 (3´56") Sinopsis:

Un viajero va a Brasil cada 18 días y otro cada 24. Si hoy han estado los dos en Brasil, ¿cuántos días pasarán para que vuelvan a coincidir?

Problema 3 (2´46") Sinopsis:

Necesitamos hacer bolsitas con 3 caramelos de los colores de las luces de un semáforo (rojo, verde y amarillo). En la tienda donde venden los caramelos me dicen que los caramelos rojos vienen en paquetes de 6, los amarillos en paquetes de 5 y los verdes en paquetes de 10. ¿Cuántos paquetes, como mínimo, tenemos que usar para hacer bolsitas con cada uno de los tres colores sin que nos sobre ninguno?.¿Cuántas bolsitas nos saldrán?

Problema 4 (8´52") Sinopsis:

Cuatro ciclistas compiten en una pista circular y la recorren totalmente en 8, 10, 12 y 15 segundos, respectivamente. Si parten juntos, ¿en cuantos minutos se encontraran en la partida?

A) 120; B) 1; C) 2; D) 3

Problema 5 (4´25") Sinopsis:

De los 630 primeros números enteros positivos, ¿cuántos son múltiplos de 3 y 7 a la vez?

A) 10; B) 21; C) 20; D) 30

Problema 6 (10´03") Sinopsis:

El número de páginas de un libro está comprendido entre 300 y 350. Si se cuentan de 3 en 3, sobran 2; de 4 en 4 sobran 3 y de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

A) 325; B) 345; C) 315; D) 335

Problema 7 (8´23") Sinopsis:

Claudia va al hospital cada 15 días, Joaquín cada 12 y Ángel cada 18. Si hoy es 05 de Septiembre y se encontraron en el hospital, entonces la fecha más próxima en la cual se encontrarán los tres nuevamente será:

A) 5 de Enero; B) 5 de Diciembre; C) 4 de Marzo; D) 4 de Febrero; E) 2 de Marzo

Problema 6 (3´57") Sinopsis:

Antonio va al piscina cada 6 días y Alba cada 4 días. ¿Cuántos días, pasarán para que vuelvan a coincidir por primera vez? ¿Qué día de la semana será?

Nivel más avanzado:

Problema 1 (5´59") Sinopsis:

Se compran televisores de 17 pulgadas a 3 por 1200 dólares y se venden a 4 por 2400 dólares. Para ganar 3000 dólares, ¿cuántos se debe vender?

A) 12; B) 15; C) 14; D) 8; E) 10

Problema 2 (11´16") Sinopsis:

Un vendedor tiene entre 600 y 800 naranjas. Si se puede agruparlas de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24 sin que sobre alguna, ¿cuántas naranjas tiene el vendedor?

A) 640; B) 6800; C) 720; D) 760; E) 800

Problema 3 (9´17") Sinopsis:

Se tiene tres reglas calibradas, de 48 cm cada una. La primera está calibrada con divisiones de 4/21 cm; la segunda, con divisiones de 24/35 cm; y la tercera, con divisiones de 8/7 cm. Si se hace coincidir las tres reglas en sus extremos de calibración, ¿cuántas coincidencias de calibración hay en las tres reglas?

A) 13; B) 14; C) 4; D) 15; E) 12

Problemas: Mínimo común múltiplo

Problema 1 Descripción:

Marina tiene una planta que riega cada 3 días y otra que riega cada 5. Si el lunes ha regado las dos, ¿qué día de la semana volverá a regar otra vez las dos?

Problema 2 Descripción:

En una parada de autobús comienzan dos líneas. Los autobuses de una línea salen cada 6 minutos, y los de la otra, cada 8. Si dos autobuses de distintas líneas salen a la misma hora, ¿Cuántos minutos tardarán en volver a coincidir en la salida?

Problema 3 Descripción:

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos, y un tercero cada minuto. A las 6:30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir durante los próximos 5 minutos.

Problema 4 Descripción:

Tres ciclistas tardan en dar la vuelta a un velódromo 48, 56 y 72 segundos, respectivamente. Si salen a la vez, ¿al cabo de cuántos segundos volverán a coincidir en la salida?

Actividad Interactiva: m.c.d. y m.c.m.

Actividad 1: Una fórmula que relaciona el m.c.d. y el m.c.m.

Actividad:

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Ejercicios y problemas

Ejercicios

Actividad Interactiva: m.c.d. y m.c.m.

Actividad 1: Las baldosas de mi cuarto.

Actividad:

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Ejercicios

1. Averigua si son primos o no los números 233 y 1.573.

Solución:

233 es primo.
1.573 es compuesto.

2. Descompón en factores los números 3.450 y 114.400.

Solución:

$3.450=2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 23$
$114.400=2 \cdot 5 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 13$

3. Escribe todos los divisores de 840

Solución:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420 y 840.

4. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:

a) 55 y 35 b) 20, 40 y 60 c) 16 y 68 d) 12, 18 y 24.

Solución:

m.c.d.: a) 5 b) 20 c) 4 d) 6
m.c.m.: a) 385 b) 120 c) 272 d) 72

5. ¿Cuáles de estos pares de números son primos entre sí?

a) 84 y 41 b) 150 y 21 c) 200 y 131 d) 132 y 121.

Solución:

a), c) y d)

Problemas

Problemas

1. Cierto planeta A tarda 150 días en completar una orbita completa alrededor de su sol. Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas están alineados con el sol, ¿Cuánto tardarán en volver a estarlo?

Solución:

450 años.

2. Jaime hace una revisión rutinaria de su vehículo cada 15.000 km y hace otra revisión más a fondo cada 70.000 km ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos revisiones?

Solución:

210.000 km.

3. Una empresa vinícola de Montilla tiene que embasar 1.650 litros de vino dulce y 3.600 litros de vino fino, en toneles iguales de la mayor capacidad posible. ¿De qué capacidad serán los toneles?

Solución:

150 l.

4. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si queremos que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la anchura del azulejo?

Solución:

30 cm.

5. En una peña hay entre 300 y 400 amigos. Para hacer una competición podemos formar grupos de 9, de 15 o de 21, sin que sobre o falte nadie. ¿Cuántos son en la peña?

Solución:

315

6. Si agrupamos las cajas de una almacén de 2 en 2, de 3 en 3, o de 4 en 4, siempre sobra 1. Calcula cuántos cajas hay sabiendo que no hay más de 20.

Solución:

Calculadora

WIRIS: Factorizar, m.c.d., m.c.m., números primos

Ejemplos:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ayúdate de los ejemplos anteriores y utiliza el editor para:

a) Calcular m.c.d.(24,68,80).

b) Calcular m.c.m.(12,16,20).

c) Descomponer en factores primos del número 2.560.

d) Comprobar si el número 331 es primo.

Hazlos primero en tu cuaderno.

Editor:

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Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Divisibilidad"

Categorías: Matemáticas | Números

 ==Mínimo común múltiplo==
-{{Caja Amarilla|texto=
+{{Mínimo común múltiplo}}
-El '''mínimo común múltiplo''' (m.c.m.) de dos o más números es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números.<br>Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman todos los factores elevados al mayor exponente.}}{{p}}
-{{Ejemplo
-|titulo=Ejemplo: ''m.c.m.''
-|enunciado=
-:Calcula el m.c.m.(24,60).
-|sol=
-Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:<br>
-<center><math>24=2^3 \cdot 3\qquad60=2^2 \cdot 3 \cdot 5</math></center>
-Multiplicando todos los factores elevados al mayor exponente:
-<center><math>m.c.m.(24,60)= 2^3 \cdot 3 \cdot 5=120</math></center>
-}}{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''m.c.m.''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Calcula el m.c.m. de dos o tres números.
-|actividad=
-Calcula y anota en tu cuaderno el mínimo común múltiplo de estos números; márcalo en la ventana del control inferior y pulsa intro.
-Si necesitas ayuda pulsa sobre los triángulos del control de arriba y verás la descomposición factorial de cada número, pero en ese caso el mensaje ENHORABUENA tendrá otro color.
-Cada vez que pulses sobre "inicio" aparecerán otros dos números aleatoriamente.
-* '''Calcula el m.c.m. de dos números menores que 10:'''
-{{p}}
-<center><iframe>
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Multiplos_divisores/mcm2n_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
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-* '''Calcula el m.c.m. de dos números menores que 100:'''
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Multiplos_divisores/mcm2n_2.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-{{p}}
-* '''Calcula el m.c.m. de tres números menores que 10:'''
-{{p}}
-<center><iframe>
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Multiplos_divisores/mcm3n_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
-<br>
-===Propiedades===
-{{Caja Amarilla|texto=
-{{p}}
-*Si a es múltiplo de b, entonces <math>m.c.m.(a,b)=a \;\!</math>.{{p}}
-*Si a y b son primos entre sí, entonces <math>m.c.m.(a,b)=a \cdot b</math>.}}
-{{p}}
-Por ejemplo:
-*m.c.m.(15, 30)=30, porque 30 es múltiplo de 15.
-*m.c.m.(4,11)=44, porque 4 y 11 son primos entre sí.
-<br>
 {{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''m.c.d. y m.c.m.''|cuerpo=
 {{ai_cuerpo

Divisibilidad

De Wikipedia

Revisión de 07:47 20 feb 2009

Tabla de contenidos

Múltiplos y divisores

Criterios de divisibilidad

Números compuestos y números primos

Criba de Eratóstenes

Cómo averiguar si un número es primo

Descomposición factorial de un número

Máximo común divisor

Propiedad

Números primos entre sí

Mínimo común múltiplo

Cálculo del mínimo común múltiplo

Problemas

Ejercicios y problemas

Ejercicios

Problemas

Calculadora

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