Números racionales e irracionales (3ºESO Académicas)

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1 Números racionales
2 Números irracionales
3 Números reales
4 Ejercicios propuestos

(Pág. 34)

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Números racionales

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

$\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace$

Estos números, o bien son enteros, o bien se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.

Proposición

Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

Demostración:[Mostrar]

Autoevaluación: Números racionales Descripción: [Mostrar]

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Números irracionales

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Introducción

El concepto o la idea de número irracional apareció pronto en la geometría. Ya los antiguos griegos observaron que los números racionales no completaban la recta, es decir, que había números que no se podían expresar mediante un número fraccionario.

Se atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500a. C.) y a su Escuela, el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición, esto es, segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario. Estudiando un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno, observaron que la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podía tener un valor racional. Con esto se demostró la no completitud de los números racionales y se dedujo la existencia de unos números hasta entonces desconocidos.

La Escuela Pitagórica llamó a dichos números "inconmensurables". Al principio, la aparición de estos números extraños desconcertó de forma alarmante a los miembros de la Escuela Pitagórica, pues su existencia ponía en evidencia que muchas suposiciones y demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. La sorpresa y preocupación llegó hasta tal punto que llegaron a plantearse el mantener en secreto estos números que contradecían su doctrina, que entre otras cosas preconizaba “la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía”.

Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional.

Proposición

No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número $\sqrt{2} \,$ no es racional.

Demostración:[Mostrar]

Un número secreto (2´49") Sinopsis: [Mostrar]

El formato DIN A4 y la raíz de 2 (4´40") Sinopsis:[Mostrar]

El formarto DIN A: [Mostrar]

blog.imprentaonline24.es

No es necesario estar vinculado al sector de las Artes Gráficas o al mundo del diseño para estar en contacto diario con el sistema de clasificación o medidas de papel DIN A. Seguramente si alguna vez habrás tenido que imprimir un documento o imagen en un tamaño en concreto. Y en algún momento nos hemos preguntado si nuestra impresora podría tolerar ese tamaño de impresión. Estamos habituados a escuchar que si tal o cual formato está en A4, A3, A5, etc. ¿pero de qué manera funcionan todos? ¿cuál es su origen y sus utilidades? A continuación respondemos a estas preguntas.

DIN no es más que un acrónimo que significa Deutches Institut für Normung, que traducido significa Instituto Alemán de Normalización. Esta entidad que surgió en 1917 es la encargada de dictar los estándares o normas técnicas en Alemania. Dichas normas tienen como finalidad exclusiva asegurar y garantizar la calidad de aquello que se quiere normalizar, en este caso el tamaño del papel. Aunque quizás pienses que la normativa DIN sólo hace referencia al formato del papel, lo cierto es que existen y puedes encontrar aproximadamente 30.000 normativas DIN en este 2016 según archivo.

Fue el ingeniero berlinés Walter Porstmann quien estableció hacia el año 1922 las medidas DIN A a partir de la incorporación de la normativa DIN 476. El propósito era estandarizar de alguna manera los diferentes formatos de papel o página para aprovechar el máximo de papel y que hubiera el mínimo desperdicio posible. Dentro de la misma normativa DIN 476 encontramos la serie A, donde se definen precisamente estas medidas. Junto a la serie A también existen otras cuatro plantillas B, C, D y E y cada una de ellas contiene una numeración de varios tamaños: 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Las medidas DIN A parten de un formato referente que es el A0. El resto de formatos y series se calculan siempre a partir de éste.

En la serie A, al tamaño de papel de 1 m² se le llama A0. Las divisiones posteriores que disminuyen la superficie a la mitad, reciben el nombre de A1, A2, A3, A4, etc. Lo que en realidad está indicando la numeración asociada a la letra A es la cantidad de cortes a la mitad desde la hoja original. Así por ejemplo, una hoja tamaño A4 tiene una superficie igual a la mitad de una hoja medida A3.

Cuando se corta por la mitad una hoja en tamaño A0 (1 m²), el lado más corto se convierte en la parte más larga de la hoja resultante (A1). Por tanto, si cortamos cualquier hoja de la serie a la mitad de su lado más largo, obtendremos siempre dos hojas del tamaño siguiente, que al mismo tiempo mantienen perfectamente las proporciones entre el ancho y el largo, siendo la razón de proporcionalidad igual a la raíz cuadrada de 2. Es decir, para cualquier formato DIN A, si dividimos el largo entre el ancho, nos dará (aproximadamente) 1,4142.

Puedes hacer la prueba: Mide el ancho y largo de una hoja tamaño DIN A4 y verás que se cumple la proporción; dóblala por el lado más largo y pártela por la mitad, mide el ancho y el largo de una de las mitades, divide las dos cifras y verás que se sigue cumpliendo: 1,4142.

Veamos la demostración:

wikipedia.es

Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:

$\cfrac{b}{a} = \cfrac{2a}{b}$

Esto es:

$\cfrac{b^2}{a^2} = 2 \rightarrow \quad \left ( {\cfrac{b}{a}} \right ) ^2 = 2 \rightarrow \quad \cfrac{b}{a} =\sqrt{2} \rightarrow \quad b = \sqrt{2} \cdot a$

Si la proporción entre el lado mayor y menor es raíz de dos, cortando un formato en dos iguales esta proporción se conserva.

Si el formato A0 tiene una superficie de un metro cuadrado, tendremos:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1m^2 \\ \\ b = \sqrt{2} \cdot a \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad a \cdot (\sqrt{2} \cdot a) = 1m^2 \rightarrow \quad \sqrt{2} \cdot a^2 = 1m^2 \rightarrow$

$a^2 = \cfrac{1m^2}{\sqrt{2}} \rightarrow \quad a = \sqrt{\cfrac{1m^2}{\sqrt{2}}} = \cfrac{1m}{\sqrt[4]{2}} = \cfrac{1}{1,189} \; m = 0,841 \; m$

Sabiendo el valor de a el cálculo de b es inmediato:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1 m^2 \\ \\ a = 0,841 m \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad (0,841 m) \cdot b = 1 m^2 \rightarrow \quad b = \cfrac{1 m^2}{0,841 m} = 1,189 m$

Lo que podemos resumir como regla mnemotécnica que el formato DIN A0, tiene por medidas:

$DIN \; A0 \quad \left \{ \begin{matrix} ancho = \cfrac{1}{\sqrt[4]{2}} \; m \\ \\ largo = \sqrt[4]{2} \; m \end{matrix} \right .$

Dividiendo el lado mayor entre dos, obtendremos sucesivamente los distintos formatos A1, A2, A3, A4 ...

Exraido de: blog.imprentaonline24.es y wikipedia.es

De forma más general:

Proposición

Si $p\;$ es un número primo, entonces el número $\sqrt{p} \,$ no es racional.

Demostración:[Mostrar]

De forma más general, tenemos el siguiente resultado:

Proposición

Si $p\;$ no es una potencia n-ésima exacta, entonces el número $\sqrt[n]{p} \,$ no es racional.

Demostración:[Mostrar]

A estos números que no son racionales, que los griegos llamaron inconmensurables, los llamaremos números irracionales.

Los matemáticos griegos posteriores estudiaron además de estos irracionales sencillos, otros cada vez más complicados, encontrándose tipos como raíz cuadrada de (raíz cuadrada de a + raíz cuadrada de b) y otros semejantes, pero nunca llegaron a tener la idea general de número irracional. Esta idea aparece ya bien entrado el siglo S. XVI, al considerar la idea de un número decimal aperiódico, esto es, un número decimal cuyas cifras se sucedían de manera indefinida sin obedecer a ley alguna determinada.

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Definición

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra $\mathbb{I}$ .

Advertencia: [Mostrar]

Ejemplos: [Mostrar]

Números irracionales [Mostrar]

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Números irracionales famosos

El número áureo, Phi:

El número áureo ( $\phi\;$ ) [Mostrar]

Phi, el número de oro Descripción: [Mostrar]

Para más información ver: El número áureo

El número Pi:

El número Pi ( $\pi\;$ ) [Mostrar]

El número e:

El número e [Mostrar]

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Propiedades

Propiedades

La suma de un racional y un irracional es otro irracional

El producto de un racional por un irracional es otro irracional.

Existe al menos un irracional entre cualesquiera dos racionales.

Demostración:[Mostrar]

Ejercicios (10´47") Sinopsis: [Mostrar]

Autoevaluación Descripción: [Mostrar]

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Representación gráfica de números irracionales

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

Representación gráfica de números irracionales [Mostrar]

Construcción del número de oro Descripción: [Mostrar]

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:[Mostrar]

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Números reales

El conjunto de los números reales es el formado por la unión de los números racionales y de los números irracionales y se designa por $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

$\mbox{Reales } (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales }(\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros } (\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\ \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2} \end{cases}$

El conjunto de los números reales

_{de portaleduativo.net}

Números reales [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Números racionales e irracionales

(Pág. 34)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_racionales_e_irracionales_%283%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 (Pág. 34)
 ==Números racionales==
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+Estos números, o bien son enteros, o bien se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.
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 ==Ejercicios propuestos==
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 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

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Números racionales e irracionales (3ºESO Académicas)

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Números irracionales famosos

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