Porcentajes (1º ESO)

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Tabla de contenidos

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1 Concepto de tanto por ciento
- 1.1 Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales
2 Cálculo de porcentajes
3 Aumentos y disminuciones porcentuales
4 Actividades

(Pág. 158)

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Concepto de tanto por ciento

Un porcentaje es una razón entre un número n y 100 y representa las partes que tomamos de un total de 100.
Se representa escribiendo el número seguido del símbolo %, esto es:

$n% = \cfrac{n}{100}$ (se lee " $n\;$ por ciento")

Ejemplos [Mostrar]

Significado del tanto por ciento [Mostrar]

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Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales

Hemos definido un porcentaje como una fracción y sabemos que una fracción se puede escribir como un número decimal. Por tanto, un porcentaje lo podemos expresar de tres formas equivalentes: como porcentaje, como fracción o como número decimal.

Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales [Mostrar]

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Cálculo de porcentajes

Cálculo del porcentaje

Para hallar el $n%\;$ de una cantidad, $C\;$ , podemos proceder de dos formas:

Calculando la fracción de dicha cantidad:

$n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C$

Mediante una proporción (regla de tres directa):

$\left .\begin{matrix}100 \rightarrow C \\ ~n~ \rightarrow x\end{matrix} \right \} \rightarrow x=\cfrac{n \cdot C}{100}$

Ejemplo: Cálculo de porcentajes (2 métodos)

En un pueblo hay 2000 habitantes, de los cuales el 16% son niños. ¿Cuántos niños hay en el pueblo?

Solución:[Mostrar]

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Cálculo rápido de un porcentaje

Hemos visto que un porcentaje es equivalente a una razón de divisor 100, y dividir entre 100 es muy fácil (basta correr la coma decimal dos lugares a la izquierda). Así, si transformamos esa razón en un número decimal mentalmente, el cálculo del tanto por ciento se reduce a una simple multiplicación.

Cálculo rápido de un porcentaje

Calcular el n% de una cantidad equivale a multiplicar la cantidad por el número que resulta de dividir n entre 100.

Ejemplos: [Mostrar]

Porcentajes [Mostrar]

Cálculo rápido de porcentajes Descripción: [Mostrar]

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Porcentajes sencillos

Hay algunos porcentajes que se pueden calcular fácilmente:

Procedimiento

Calcular el 10% equivale a dividir por 10.
Calcular el 20% equivale a dividir por 5.
Calcular el 25% equivale a dividir por 4.
Calcular el 50% equivale a dividir por 2.

Porcentajes sencillos Descripción: [Mostrar]

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Actividades

Cálculo de porcentajes [Mostrar]

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Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes

En cualquier situación con porcentajes están involucrados tres elementos: la cantidad total, la parte de esa cantidad y el propio tanto por ciento.

Estos tres elementos forman parte de una proporción con dos razones igualadas, una de las cuales siempre tiene el número 100 como denominador.

$\cfrac{Tanto \ por \ ciento}{100}=\cfrac{Parte}{Total}$

También podemos verlo como una regla de tres:

$\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento ~ \ \longrightarrow \ Parte \\ \qquad \quad 100 \qquad \quad \longrightarrow \ ~~Total \end{matrix} \right \}$

Porcentajes como proporción directa [Mostrar]

Porcentajes como fracción [Mostrar]

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Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje (porcentaje inverso)

Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

Solución:[Mostrar]

Método 1: A partir de la definición de porcentaje:

Si llamamos $C\;\!$ al total de alumnos de la clase:

$5=\frac{20}{100} \cdot C$

Y despejando $C\;\!$ :

$C=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Método 2: Mediante una regla de tres

                %        alumnos
               ----      -------
  Parte:        20   ---->  5
  Total:       100   ---->  x

Y despejando $x\;\!$ :

$x=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Porcentaje inverso [Mostrar]

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Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

Procentaje correspondiente a una proporción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, $a\;\!$ , repecto a un total, $C\;\!$ , se efectúa la siguiente operación:

$\frac{a}{C}\cdot 100$

Ejemplo: Porcentaje correspondiente a una proporción

En un grupo del instituto, de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados?. ¿Y los suspensos?

Solución:[Mostrar]

$\frac{21}{30}\cdot 100=0,7 \cdot 100=70$

Por tanto el 70% aprueban y el 30% suspenden.

También podemos hacerlo mediante una regla de tres:

                      %          alumnos
                    ----         -------
 Total:              100   ---->   30 
 Parte (aprobados):   x    ---->   21

$x=\frac{21 \cdot 100}{30}=70$

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total [Mostrar]

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Actividades

Cálculo del total y del porcentaje [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Porcentajes

(Pág. 159)

4a,b; 5a,b; 6a,b; 8 al 15

1; 2; 3; 4c,d,e; 5c,d,e; 7

Ejercicios propuestos: Porcentajes y fracciones

(Pág. 160)

16, 17, 19

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Aumentos y disminuciones porcentuales

La forma de resolver problemas de aumentos y disminuciones porcentuales no es diferente a la que hemos usado para resolver otros problemas de porcentajes, pero hay que tener especial precaución a la hora de colocar los elementos que intervienen en la regla de tres.

$\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento \ tr\acute{a}s \ disminuir \ o \ aumentar ~ \ \longrightarrow \ Valor \ tr\acute{a}s \ disminuir \ o \ aumentar \\ \qquad \qquad 100 \qquad \qquad \qquad \longrightarrow \ Valor \ inicial \end{matrix} \right \}$

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Aumentos porcentuales

Ejercicio resuelto: Aumentos porcentuales

Las reservas de agua de un embalse han aumentado este año un 20% respecto al año pasado, que eran 60 millones de litros. ¿Cuáles son las reservas actuales?

Solución:[Mostrar]

Método 1: A partir de la definición de porcentaje

Reservas actuales = Reservas del año pasado + aumento del 20% =

$= 60 + \cfrac {20 \cdot 60}{100} = 60 + 12 = 72$ millones de litros.

Método 2: Mediante una regla de tres

                %         Reservas
               -----      --------
  Año pasado:   100  ---->  60
  Año actual:   120  ---->   x

$x=\frac{60 \cdot 120}{100}= 72$ millones de litros

Método 3: Multiplicando por el índice de variación

El índice de variación para un aumento del 20% se calcula como sigue:

$I_V=1+\cfrac{20}{100}=1+0.2=1.2$

Reservas actuales $=60 \cdot 1.2 = 72$ millones de litros.

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Disminuciones porcentuales

Ejercicio resuelto: Disminuciones porcentuales

Las reservas de agua de un embalse han disminuido este año un 20% respecto al año pasado, que eran 60 millones de litros. ¿Cuáles son las reservas actuales?

Solución:[Mostrar]

Método 1: A partir de la definición de porcentaje

Reservas actuales = Reservas del año pasado - disminución del 20% =

$= 60 - \cfrac {20 \cdot 60}{100} = 60 - 12 = 48$ millones de litros.

Método 2: Mediante una regla de tres

                %         Reservas
               ----       --------
  Año pasado:  100   ---->   60
  Año actual:   80   ---->    x

$x=\frac{60 \cdot 80}{100}= 48$ millones de litros

Método 3: Multiplicando por el índice de variación

El índice de variación para una disminución del 20% se calcula como sigue:

$I_V=1-\cfrac{20}{100}=1-0.2=0.8$

Reservas actuales $= 60 \cdot 0.8 = 48$ millones de litros.

Aumentos y disminuciones porcentuales [Mostrar]

Aumentos porcentuales:

Actividad 1 Descripción: [Mostrar]

Actividad 2 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación Descripción: [Mostrar]

Disminuciones porcentuales:

Actividad 1 Descripción: [Mostrar]

Actividad 2 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 Descripción: [Mostrar]

Aumentos y disminuciones porcentuales:

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 Descripción: [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Aumentos y disminuciones porcentuales

(Pág. 161)

1, 2

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Actividades

Problemas con porcentajes (I) Descripción: [Mostrar]

Problemas con porcentajes (II) Descripción: [Mostrar]

Problemas de variaciones porcentuales Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 (Problemas) Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 4 Descripción: [Mostrar]

Problemas resueltos Descripción: [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Porcentajes_%281%C2%BA_ESO%29"

Categorías: Matemáticas | Aritmética

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-:b) El 5% de 250.
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 ==Aumentos y disminuciones porcentuales==
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-'''Método 1: A partir de la definición de porcentaje'''
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-'''Método 2: Mediante una regla de tres'''
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Cálculo de porcentajes

Cálculo rápido de un porcentaje

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Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

Actividades

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Aumentos y disminuciones porcentuales

Aumentos porcentuales

Disminuciones porcentuales

Ejercicios propuestos

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